數學與英文的教材，加上學習方法、觀念心態、時間管理與教學現場的觀察。比起把知識倒給你，我更想分享「怎麼學」這件事。
共 191 篇文章
來，比較這三句： "I lived here in 2020." "I have lived here since 2020." "I had lived here before I moved to Tokyo." 中文翻譯都很像，但英文意思天差地遠： 過去簡單：2020 那年住在這（現在可能不住了） 現在完成：從 2020 一直住到現在（還在住） 過去完成：搬去東京前住過這（過去的過去） 英文…
2026-04-08來，比較這兩種寫法： A: "I won't go. He doesn't come." B: "I won't go unless he comes." A 用兩句話表達；B 用「unless」一字串連兩個邏輯，更精煉、更英文！ 副詞子句 (Adverb Clause) 就是英文寫作的「邏輯連接器」：用 when, because, although, if, so that 等連接詞，精準表達…
2025-07-02"Your gate is B12." 抬頭看螢幕是這一句。櫃檯人員說 "May I see your passport?"，廣播響起 "Passengers traveling with children, please proceed to your gate."，安檢人員問 "Is this bag yours?" your、yours、this、that、my、mine，這幾個字是英文裡最…
2026-05-12介紹一台新筆電，光說「更快、更輕」還不夠。觀眾想知道它能做什麼，也想看你操作。看 Apple 發布會時，可以留意介紹產品到實際展示之間，是怎麼接起來的。 自己上台做英文報告，不必模仿 Tim Cook 的腔調。先弄清楚每一段要讓聽眾知道什麼，再選用得上的句型。下面的英文都拿來作句型練習；沒有附場次與逐字稿的句子，不應當成 Cook 或其他講者的原話引用。 Apple keynote 的五段結構 下…
2026-05-27考試制度提醒： 台灣現行分科測驗沒有英文考科。現行分科測驗科目請以大考中心最新簡章為準（115 學年度包含數學甲、數學乙、歷史、地理、公民與社會、物理、化學、生物）。本篇是通用的進階英文議論文教學，可用於英文寫作訓練、校內考試、TOEFL、IELTS 或 GRE；不是現行「分科英文」教材。 Should university education be free for all students? …
2025-07-07來，看下面四句話： You can go now. You may go now. You should go now. You must go now. 全部都是「你走吧」，但語氣完全不同： can = 「你可以走」（許可） may = 「你可以走」（更正式的許可） should = 「你最好走」（建議） must = 「你必須走」（強制！） 英文助動詞就是語氣調節器：同一個句子加上不同的助動詞…
2025-07-11上一篇你拿到了五大句型的「萬能鑰匙」。但你有沒有發現一件詭異的事： 為什麼 "She is happy" 變否定是 "She isn't happy"， 但 "She likes pizza" 變否定卻變成 "She doesn't like pizza"？ 為什麼一個動詞自己變否定，另一個動詞還要找 do 來幫忙？ 英文的動詞，其實分成兩個幫派：一邊是自帶武器的 be 動詞，一邊是需要請保鑣的一…
2025-07-17Permission to Dance. Boy with Luv. Life Goes On. Dynamite. Butter. 歌名短短幾個字，with、on、to 已經把關係帶出來了。不過它們長得像介系詞，也不代表每次都在做介系詞的工作。 下面借舞台、錄音室、機場和訪談情境練用法，混有歌名、短語與教學例句。沒有標明來源的句子，不當成 BTS 的逐字歌詞或實際行程紀錄；先看它在句子裡怎麼用。…
2025-10-31來，看一個經典學測題： "Ada and her friends had larger, safer houses for their families." (A) build (B) building (C) built (D) to build 如果你直覺選了 (A) build，你錯了。 正確答案是 (C) built。為什麼？因為房子不會自己蓋，它是被蓋的！ 英文有一群「狡猾的動詞」叫做使…
2025-07-22」 如果是自己拿工具修車，可以說「I repaired my car.」；如果是請人處理，就可以說「I had my car repaired.」。中文都可能說「把車修好了」，英文卻要把誰動手這件事分清楚。 使役句型用來表達讓人做事，或安排某件事被完成。先找出動手的人、被處理的東西，再選 have、get、make 或 let，會比把中文的「讓」一律翻成同一個字清楚。 使役句型與容易混淆的結構 h…
2026-08-21ChatGPT 語言能力比你好，但它學英文的方法跟你想的不一樣。 你學英文是背單字、背文法、背句型，一個字一個字往句子裡面塞。ChatGPT 不是。它看過幾十億個英文句子，它學到的是「模式」：哪個詞出現在哪個位置，哪些詞經常黏在一起，什麼結構放在什麼地方。 所以它產出的英文永遠是通順的。不是因為它「懂」文法，而是它見過太多正確的句子，它知道什麼「看起來對」。 這篇文章要做的事情很簡單：把 Chat…
2025-11-10來，比較這兩種寫法： A: "John bought a book yesterday."（普通陳述） B: "It was John that bought a book yesterday."（強調是「約翰」） 兩句意思相近，但 B 把「John」拋光、放大、聚焦，這就是英文的強調術！ 英文有 3 種主要的「強調工具」： It is/was...that...（分裂句） do/does/did…
2025-07-25"I want a latte, a mocha, and two coffees." 點餐時聽到 "two coffees"，先別急著判錯。這裡可以指兩杯咖啡；如果只是在談咖啡這種飲料，coffee 通常又是不可數的。 差別在於你數的是什麼。同一份菜單，coffee、tea、milk 可以是在說飲料本身，cup、bottle、can 則把杯數或瓶數說出來。先分清楚物質和份數，後面的用法就比較好理…
2025-11-17想像這個場景： 你坐在學測考場上，英文科第二部分。你讀完一篇閱讀測驗，覺得「嗯，大概懂了」，然後開始選答案。出了考場你信心滿滿。成績出來，英文 12 級分，你覺得還行。但你仔細看，文法和句子結構的題目扣了 3 分。 3 分。可能就是你跟第一志願的距離。 我在台灣教英文快二十年，看過上萬份學生作文和模擬考卷。有些錯誤我每天至少看到 50 次。原因很簡單：中文的邏輯跟英文不一樣，你的大腦會自動幫你「翻…
2025-11-25來，回答這 3 題： 「跟你哥一樣高」用 as _ as？ 「比你哥更高」用 _ than？ 「全班最高」用 the _？ 如果你的答案是 as tall as / taller than / the tallest，恭喜，你已經抓到了比較三等級的骨架！ 英文世界裡，要描述「誰跟誰比、誰最厲害」，有一套精確的三段式：原級 / 比較級 / 最高級。學會這套，你寫英文時可以精準表達等級關係，不管是商品…
2025-08-01英文老師最常在你的作文上畫紅線的地方，連接詞絕對排前三名。為什麼？ 因為中文寫「雖然...但是...」「因為...所以...」是天經地義，但英文 ❌ 雙連接詞共存就是大忌諱。 英文裡，連接詞像獨佔欲很強的人：「有我就沒你」。一個句子裡只能有一個主軸連接詞。學會這個原則，你的英文作文會立刻提升一個等級。 今天威威學長帶你拆解英文連接詞的 7 大幫派，外加 5 種雙胞胎搭配和倒裝句型。 繫好安全帶 �…
2025-08-06「學好英文很重要」這句中文，除了 It is important to learn English well. 還有別的寫法嗎？ 有。把主詞換成動名詞，Learning English well is important. 一樣正確；再換個說法，It matters that you learn English well. 也通。三句文法都對，差別是你把重點擺在哪裡，而這正是大考翻譯與作文真正在看…
2025-08-11假設有個學生，用單字卡一張一張背，每天五十個，背了兩個月，字彙測驗幾乎每次滿分。然後給他一段 CNN 新聞，國中程度的難度，他讀不下去。 不是字不夠，三千個字綽綽有餘。問題是他沒見過那些字「連在一起」的樣子：一個句子裡每個字他都認得，整句話他看不懂。 把英文拆成碎片 台灣的英文教育有一個根深蒂固的習慣：拆。 單字課背單字，文法課學文法，閱讀課練閱讀，寫作課練寫作，聽力課練聽力。每一科都是獨立的：背…
2025-12-02學測英文作文不是比誰使用最多艱深單字，而是看你能不能完成題目指定的寫作任務，並以清楚、連貫、可理解的英文表達內容。 依大考中心 115 學年度說明，英文作文滿分為 20 分，採整體式評分。評閱會綜合考量： 內容是否切題、完整； 組織是否連貫、完善； 文法與句構是否適切； 用字與拼字是否正確。 一、官方五個分數等級 評分不是把四個面向各自機械加總，而是先看全文的整體表現，再依評分指標檢查分數是否合理…
2025-08-15"It's raining cats and dogs." 照字面翻是「下貓下狗」，真正的意思是「傾盆大雨」。 慣用語（idioms）要把整組意思一起學。像 cats 和 dogs 單看都認得，放進這句就不能各翻各的。 字表依主題分成七組，附上實際意思、例句和中文對照，多數也列了字面翻譯。字面翻譯可以拿來想像畫面，中文成語則幫忙記大意；英文和中文的說法不一定能一對一替換，用法還是要回例句裡看。 身…
2025-08-21學測的片語題不會告訴你「這是片語」，它只會把片語埋在句子裡。所以這份清單照「主要動詞」分組：get、take、put、come、go……同一個動詞配不同介系詞，意思差多少，排在一起最快看出來。 每個片語都附中文意思和例句。建議每天記 20-30 個，念出聲。 一、Get 片語（20個） 二、Take 片語（20個） 三、Put 片語（15個） 四、Come 片語（15個） 五、Go 片語（15個）…
2025-08-26來，先做一個小實驗： 莎士比亞全集 884,647 字、聖經 783,137 字、《哈利波特》七本書、你 IG 上每一則英文限動，全部都是用 5 種句型寫成的。 不可思議對吧？但這就是事實。 英文跟中文最大的差異，是英文的句子有骨架。骨架不是隨便長的，只有 5 種。學會這 5 種骨架，你看任何英文長句，不管它後面接了多長的修飾語、嵌了多少從句，都能在 3 秒內看穿它的本質。 這不是誇張。這是英文的…
2025-08-29來，先回答一個問題： 「我想考全民英檢，但初級、中級、中高級、高級到底差在哪？我該從哪一級開始？」 如果你心裡浮現這個疑問，完全正常。我第一次接觸 GEPT 的時候，也卡在這個問題上。 全民英檢 (GEPT) 是台灣最普及的英檢，分四個等級，對應四種不同的英文程度。考錯級別，要嘛簡單到沒挑戰，要嘛難到信心崩潰。 我帶過一個高中生，英文程度其實已經到 B1，卻因為媽媽說「先試試初級」，結果初級拿了 …
2025-09-05標題很長，其實只有一句話： In 200 meters, turn right. 這句你聽過幾百遍了。但換成你自己要說，你講得出來嗎？Google Maps 的英文語音導航，就是一份現成的方向詞彙教材。它每天在你耳邊念的，正是你在國外問路時會聽到的句子。 方向動詞：六句話走完一條路 Turn left. 左轉。就兩個字。不用加 please，也不用說 "Could you turn left"。導…
2025-12-10來，回答這 5 題： "I have seen him yesterday." 對不對？ "Although he is poor, but he is happy." 對不對？ "She is enough old to drive." 對不對？ "Despite of the rain, we went out." 對不對？ "I'm boring." 對不對？ 答案：全部都錯！ 如果你覺得「…
2025-09-11還記得我們從哪裡開始的嗎？第一章的關係代名詞，可能你還搞不清楚 which 跟 that 的差別，現在你已經能自己寫出漂亮的複雜句了。這段路走得不容易，但你真的做到了！ 從基礎句型到進階文法，從單純的知識點到實戰應用，我們一起走過了： 基礎篇：五大句型、時態、語態 進階篇：關係代名詞、分詞構句、倒裝句 應用篇：翻譯技巧、閱讀策略、寫作模板 實戰篇：考題拆解、錯題分析、考場策略 29 章，每一章都是…
2026-08-20ambivalent 是心裡有互相拉扯的感受；equivocal 則是意思模稜兩可，可能有不只一種解讀。看中文都覺得「不太確定」，回頭讀英文定義，才會發現它們說的是不同的事。 這份字表供準備 GRE General Test (Verbal Reasoning) 使用；Verbal Reasoning 指語文推理。五組表格列出讀音、中文釋義、英文定義、同義詞和反義詞，記憶技巧放在最後一欄。讀的時候…
2025-09-16恭喜你來到文法特快車的最終站！ 28 章一路走來，從五大句型到分詞構句，從假設語氣到倒裝，你已經掌握英文文法 95% 的內容。 但 GRE 不是學測，它長句更長、結構更複雜、陷阱更深！這一章是「最後 5%」，專門攻 GRE 的： 長難句分析（GRE 閱讀的命門） 進階假設語氣 + 倒裝 平行結構（GRE 寫作的痛點） 分詞構句進階應用（獨立主格） GRE Analytical Writing 文法…
2025-09-19Section 1：Question Types 題目說安全帽法上路後，頭部重傷的人數下降，接著把下降歸功於新法。我們先停一下：如果騎車的人也變少了，光看傷者人數還能這樣判斷嗎？GRE 邏輯推理（Logical Reasoning）常要你檢查的，就是證據和結論之間這一段。 1.1 Strengthen（加強題） 加強題要找能讓論證更有支持的資訊。它不一定能證明結論，只要比其他選項更能補上推理缺少的…
2025-09-26Passage 1：Social Science — The Rise of Megacities By 2050, the United Nations estimates that nearly 70 percent of the world's population will live in urban areas, up from approximately 55 percent toda…
2025-10-01Section 1：GRE RC Passage Types 海洋酸化那篇到了第三段，有研究者提出生物可能適應的看法，後面卻用 However 指出變化速度太快。如果只把這段記成「生物能適應」，就會讀反作者的回應。GRE 閱讀理解（Reading Comprehension，簡稱 RC）需要分清楚每段在做什麼，也要分清楚那是誰的話。 1.1 Argument Passage（論證型） 作者提出主張…
2025-10-06Section 1：Text Completion (TC) Format 1.1 題目結構 TC-1 的外交官刻意不表態，後半句 designed to avoid committing to any specific position 已經在解釋空格的意思。先讀懂這段，你就有理由去找「模稜兩可」的字。Text Completion（TC，文本填空）會給一段文字、一到三個空格，各格都要依上下文選…
2025-10-10Section 1：Issue Essay Format and Scoring 1.1 什麼是 Issue Essay？ 題目把「一個社會推崇什麼英雄」和「這個社會的性格」連在一起。你可以同意，也可以懷疑這樣看夠不夠全面。GRE Issue Essay 要你在 30 分鐘內把立場寫清楚，再用理由和例子支撐。 題目範例： "The best way to understand the charac…
2025-10-16每年學測英文滿級分的人，不是英文最好的人，是最會考試的人。 這句話聽起來很刺，但請你聽我講完。 我教書教了這麼多年，看過太多英文程度不錯的學生，學測考 13、14 級分。他們的文法紮實，單字背了三千多個，閱讀測驗也能大致看懂。但他們就是拿不到 15 級分。 為什麼？ 因為他們的學習方式，是「把英文當學科在讀」，而不是「把英文當技能在練」。 差別在哪？往下看。 第一部分：滿級分的人在做什麼 我觀察過…
2026-01-01台灣科技產業蓬勃發展的主要動力是什麼？ 這句中文看起來沒什麼。但如果你要翻成英文，它會一次考你四件事：詞彙、文法、搭配、語序。 先看 driving forces 這個詞組。force 要加 s，因為 driving forces 是「驅動力」：英文講「多股力量」通常用複數。寫成 driving force（單數），意思變成「那個唯一的推動力」，語意就窄了。 再看句子架構。中文說「台灣科技產業蓬勃…
2026-01-09「如果我明天有空，我會去參加。」想像你正在回朋友的邀約：行程還沒確定，你是真的有機會去；換個情境，你明天已經排滿，只是在想「要是有空就好了」。中文都能用「如果」，英文卻會用不同的動詞形式。 If I have time tomorrow, I will go to the party. 是把赴約當成可能發生的事。If I had time tomorrow, I would go to the p…
2026-08-26來，用 30 秒判斷下面這兩句的意思差多少： "He stopped to smoke." "He stopped smoking." 如果你以為兩句一樣，你被英文最大的「雙面間諜」陷阱抓到了！ 實際上： stopped to smoke = 停下手邊的事，去抽煙（他停下來抽煙了） stopped smoking = 戒煙了（他不再抽煙） 這兩句意思完全相反！差別只在 to V vs. V-ing…
2025-10-21一張旅行照，旁邊只放幾個英文字；等咖啡的限動，也常只寫自己在做什麼。像這些短語： Living my best life. Exploring Tokyo. Learning to code. Feeling grateful. 它們都有 -ing，但嚴格說還不是完整的現在進行式句子。在貼文情境裡，可以把省略的主詞和 be 動詞補回來，看看那句話原本怎麼組成。 這個補回去的動作很適合拿來練文法。發…
2026-01-30中文裡只要說「我吃飯」，可以是過去、現在、未來，時間靠前後文或時間副詞判斷。但英文不一樣。英文的動詞會變身：同一個 eat 可以變成 ate, eats, will eat, am eating, have eaten...光是一個動詞就有一堆面孔。 為什麼這麼麻煩？因為英文要求動詞自己告訴你「這件事什麼時候發生」「狀態如何」「還在進行還是已經完成」。 英文有 12 種時態，聽起來嚇人？別擔心。4…
2025-10-24來，比較這兩句話： A: "I have never seen such a beautiful sunset." B: "Never have I seen such a beautiful sunset!" 意思一樣對吧？但第二句的氣場差 10 倍！ 英文寫作家邱吉爾、馬丁路德金都愛用倒裝，它就像句子的「戲劇化開關」：把「重點」搬到句首，立刻製造驚嘆、強調、文學感。 倒裝句在分科測驗、GRE、…
2025-10-31學長自己是數學理科出身的，我一直相信語言也是一套充滿邏輯的系統：搞懂它的運作規則，你就不用死背文法，而能像寫數學式子一樣，自然而然寫出正確的英文句子。 Birds fly. 兩個字、三個音節，就是一個完整的英文句子，而且它把整套英文的骨架露在外面了。 🗺️ 文法地圖定位卡 📍 你現在在這裡：系統一「句子的地基」· 第 1 講（全套講義的起點） ⬅️ 前置知識：完全不需要！這是開機第一課。 ➡️…
2026-09-02接下來要處理的是句子裡最容易配錯的那個角色：主詞本身。 中文說「他去上學」、「她去上學」，這個「他」在中文裡從頭到尾長得一樣；英文不是。我、你、他、她、它、我們、他們，七個代名詞長得不一樣，後面跟的動詞還會跟著換。把這七個字排進一張「人稱 × 單複數」的表，位置一確定，動詞就跟著確定。 🗺️ 文法地圖定位卡 📍 你現在在這裡：系統一「句子的地基」· 第 2 講（駕駛家族總整理） ⬅️ 前置知識…
2026-09-02這一講要把同一句話切換成「否定」（我不喜歡）和「疑問」（你喜歡嗎）兩種模式。會問問題其實是很實用的技能，至少以後遇到喜歡的人，你問得出口😀 切換的規則非常機械：先看這句用的是 Be 動詞還是一般動詞，後面該呼叫誰就固定了。順便處理英文很愛用的縮寫（I'm / don't / isn't）。 🗺️ 文法地圖定位卡 📍 你現在在這裡：系統一「句子的地基」· 第 3 講（句型變身術） ⬅️ 前置知…
2026-09-02前面幾講的句子都停在「現在」。英文最有力的地方，是它能用動詞的變化精準標記「事情發生在什麼時候」：這就是時態 (Tense)。中文的動詞不隨時間改變形狀：昨天吃、現在吃、明天吃，都是「吃」，時間交給「昨天／明天」這類詞去交代；英文把這個工作交給了動詞本身。 現在進行式（正在做）、過去簡單式（做過了）、過去進行式（當時正在做）。三個公式長得很像，差別就在助動詞和動詞的形狀。😀 🗺️ 文法地圖定位…
2026-09-02未來的事，英文給了兩個工具：一個用在「當下決定」，一個用在「早就計畫好」。兩者意思很近，考題卻很愛把它們放在同一題。另外還有所有格：「我的、他的、Tom 的」這組標籤，貼錯地方整句話就會走鐘。 🗺️ 文法地圖定位卡 📍 你現在在這裡：系統二「動詞與時態導航」· 第 5 講（未來式＋所有格） ⬅️ 前置知識：第 1 講（Be 動詞 vs 一般動詞）、第 2 講（人稱與所有格 my/your/hi…
2026-09-02will 是「助動詞」家族的一員。助動詞除了標記時態，也能標記語態；而 can（能夠）、may（可以）、must（必須）、should（應該）這一群，專門用來調節句子的語氣。 同一個動作，掛上不同的助動詞，就會變成「能力、許可、義務、建議」四種完全不同的意思；而且助動詞有一個特權，會讓它的否定句和疑問句當場變簡單。 🗺️ 文法地圖定位卡 📍 你現在在這裡：系統二「動詞與時態導航」· 第 6 講…
2026-09-25到目前為止，我們學會的疑問句都是「Yes/No 問句」，例如 Are you happy?（你開心嗎？）這種只能回答是或不是的問題。但如果我們想問「你喜歡什麼？他是誰？你住在哪裡？」這種需要「具體答案」的問題，就要用到「疑問詞」了！ 疑問詞就是英文的「情報特務」，專門負責問出特定的情報。今天學長要教你 5W1H 的用法，還有一個超重要的「What 磁鐵定律」！ 核心觀念一：5W1H 疑問詞（情報特…
2026-10-12第 7 講我們學了 5W1H 疑問詞。其中 How（如何）其實是一個「大家族」，它可以跟別的字組合，變成各種「精密測量工具」，用來問「多長、多少、多遠、多常」。 今天學長要帶你認識 How 家族的測量模組，還有 What 的「時間模組」。這些都是會考必考，學會之後你就能精準問出各種「量」！ 核心觀念一：How 測量模組（時間 / 距離 / 頻率） How 加上不同的字，就變成不同的測量工具： 🌰…
2026-10-12前面我們打造了一台時光機，學會了「現在（正在發生）」、「過去（已經結束）」和「未來（即將發生）」。今天，我們要為這台時光機加裝一個最高階、也是台灣學生最容易大當機的模組：「完成式 (Perfect Tense)」！ 很多同學會問學長：「學長，『過去式』就已經是發生的事了，那『現在完成式』到底是什麼鬼？為什麼要發明這麼麻煩的東西？」因為，英文需要一種特殊的「橋樑」，把「過去發生的事」跟「現在的狀況」…
2026-10-12到目前為止，我們一直專注在句子的「引擎」：動詞。今天，我們要來認識英文句子裡的「實體貨物」：名詞 (Noun)。 名詞就是「人、事、物的名字」：book（書）、water（水）、Tom（人名）、happiness（快樂）。今天學長要教你兩件最重要的事：可數 vs 不可數，以及名詞在句子裡可以擔任的「三大職位」。 核心觀念一：可數名詞 vs. 不可數名詞 英文的名詞分成兩大類，這會影響「能不能加 s…
2026-10-12第 10 講我們認識了名詞（人、事、物的名字）。但英文有個超酷的魔法：動詞可以穿上「名詞偽裝衣」，變成名詞來用！ 例如「我喜歡『游泳』」，這裡的「游泳」本來是動作（swim），但在句子裡它變成了「一件事」（名詞）。英文有兩種偽裝衣：動名詞（V-ing）和不定詞（to V）。今天學長教你什麼時候該穿哪一件！ 核心觀念一：動名詞（V-ing）— 動詞變名詞 把動詞加上 -ing，它就從「動作」變成「一…
2026-10-12到目前為止，我們的句子都很「樸素」，像 I have a dog（我有一隻狗）、He runs（他跑）。但如果我們想說「我有一隻『可愛的』狗」、「他跑得『很快』」，就需要「修飾」的功力了！ 今天學長要教你兩種修飾高手：形容詞和副詞，還有怎麼「比較」東西（比較級、最高級、as...as 天平）。學會之後，你的英文會變得更有畫面、更有層次！ 核心觀念一：形容詞 vs. 副詞（修飾的兩大高手） 「修飾」…
2026-10-12到目前為止，我們寫的句子都是「主動」的：主詞是動作的發動者，例如 I broke the cup（我打破了杯子）。但有时候，我們想強調的是「承受動作的那一個」，例如「杯子『被』打破了」。 這就是「被動語態 (Passive Voice)」。學長把它想成「鏡頭切換」：把鏡頭從「做動作的人」轉到「承受動作的東西」上。今天一次搞懂！ 核心觀念一：被動語態的黃金公式（Be + p.p.） 被動語態的結構非…
2026-10-12我們已經學會寫出完整的句子了。但如果我們想說「那個『正在跑步的』男孩是我弟弟」、「我有一本『很有趣的』書」；也就是想在名詞後面「加長」描述，該怎麼辦？ 今天學長要教你兩個「加長描述」的法寶：關係代名詞（who / which / that，把兩句話黏起來的「超級膠水」）和分詞（V-ing / p.p. 當形容詞）。這是讓你的英文從「短句」升級成「長句」的關鍵！ 核心觀念一：關係代名詞（who / …
2026-10-12今天我們要進行的是英文文法系統裡，非常精彩的「六大特殊模組」大集合！這六個模組在國中會考和各種英文檢定中，是出題老師最愛設陷阱的地方。 不用死背，學長一樣會用理科的底層邏輯，幫你把「存在宣告、受害者代號、雙物件引擎、感測器等號、特務潛入以及確認開關」一次安裝到你的大腦裡。絕對不能遺漏任何一個細節！ 核心觀念一：存在的宣告（There is / There are 系統） 在中文裡，我們會說「桌上『…
2026-10-12在我們之前的課程裡，我們學的都是「單引擎」的車子，也就是一句話裡面只有「一個主詞 ＋ 一個動詞」。 但是，當我們的思緒越來越複雜，我們想要表達「因為...所以...」、「當...的時候...」或是「雖然...但是...」，我們就必須把兩台車子（兩個子句）連在一起開！ 要把兩台車連在一起，我們需要非常堅固的「聯結車卡榫」：連接詞 (Conjunction)。而當一台車子被裝上特定的卡榫後，它就不再是…
2026-10-12恭喜你把前面 16 講的主線課程全部跑完了！不過，學長在幫整套系統做最後 Debug 時，發現有四個「國中必考、但主線課程容易被遺漏」的模組。接下來這四講，我們要一個一個把這些「系統補丁」安裝上去，讓你的文法防禦力達到 100% 無死角！ 第一個補丁，學長要給你「系統管理員權限」：使役動詞（可以強迫別人做事），以及「監視器模組」：感官動詞（用眼睛耳朵錄下別人正在做的事）。 核心觀念一：使役動詞（M…
2026-10-12這是第二個系統補丁。 中文裡，「我花了一百塊買書」、「這本書花了我一百塊」、「我花了兩小時讀書」，我們都用同一個「花」字。但在英文的邏輯系統裡，「花費」這件事被拆成了四個不同的動詞：spend、take、cost、pay！ 關鍵的差別在於：到底是「人」主導花費，還是「物品/事情」主導消耗？花的是「金錢」還是「時間」？ 選錯動詞，整句話就當機。這是國中會考必考的陷阱區，學長今天一次幫你拆清楚！ 核心…
2026-10-12這是第三個系統補丁。 「在早上」是 in the morning，「在星期一」是 on Monday，「在八點」是 at 8:00，憑什麼？很多同學背到懷疑人生。其實，in / on / at 這三個介系詞是有邏輯的！ 學長把它們想成 Google Maps 的「縮放功能」：鏡頭拉得越遠，範圍越大；鏡頭推得越近，點越精確。時間和地點都適用同一套邏輯！ 核心觀念：時空座標的漏斗邏輯 介系詞就像 Go…
2026-10-12這是最後一個系統補丁，安裝完它，你的國中英文文法系統就 100% 完整了！ 「我有兩隻貓，一隻是黑的，另一隻是白的。」這個「另一隻」到底要用 another 還是 the other？很多同學到畢業都還在猜。其實，學長用一個「球箱抽獎」的邏輯，讓你一秒判斷！ 核心觀念：球箱抽樣法則 想像你有一個箱子，裡面裝著球，你要怎麼拿？關鍵只有一個：你知不知道箱子裡「還剩幾顆」？ 👑 學長的核心邏輯： 有沒…
2026-10-12威威學長帶著「進階補丁包」回來啦！ 前面 20 講，我們把國中英文最難的「動詞骨架、時態、句型、子句」全部打通了。接下來這 6 講是進階補丁，專門補上那些「零散但高頻」的小模組，讓整套課程 100% 對齊 108 課綱！ 第一個補丁，我們來搞定三個「貼在名詞前面的小標籤」：冠詞（a/an/the）、數詞（一、二、三／第一、第二）、指示代名詞（this/that/these/those）。它們個頭小…
2026-10-12威威學長的進階補丁第二彈來啦！ 上一講我們搞定了名詞前面的小標籤（冠詞、數詞、指示代名詞）。這一講我們要升級「代名詞」這個大家族。第 2 講學了主格、第 5 講學了所有格、第 15 講學了受格，但還有幾個進階成員沒登場：反身代名詞（我自己）、相互代名詞（彼此）、數量詞（一點點／幾乎沒有）。把它們裝上，你的代名詞系統就 100% 完整了！ 核心觀念一：反身代名詞（-self / -selves）— …
2026-10-12威威學長的進階補丁第三彈！ 第 19 講我們學了介係詞的「時空漏斗」：in / on / at。但介係詞是個大家族，還有一堆「地點」和「方向」的介係詞沒講：between（在...之間）、behind（在...後面）、across（橫越）、through（穿過）、into（進入）⋯⋯這些是閱讀和寫作的地基。這一講把介係詞地圖補齊！ 核心觀念一：地點介係詞（在哪裡） 介係詞後面一定接名詞，用來說「東…
2026-10-12威威學長的進階補丁第四彈！ 到目前為止，我們寫的都是「陳述句」（主詞＋動詞）。但英文還有幾種「特殊句型」，長得跟一般句子不太一樣：祈使句（下命令）、感嘆句（表驚嘆）、虛主詞 It（用 It 卡位）。這三個是 108 課綱國中必考，而且超好得分，學會公式就對了！ 核心觀念一：祈使句（Imperative）— 省略主詞的命令 當我們要「叫對方做一件事」（命令、請求、指示），會把主詞 You 省略，直接…
2026-10-12威威學長的進階補丁第五彈！ 這一講我們要學會表達「程度」和「目的」的句型。中文說「太難做不到」「足夠聰明能解決」「為了考好而讀書」，這些在英文裡有專門的公式：too...to、enough to、so...that、in order to、so that。它們是寫作的「加分句型」，學會後你的英文立刻變高級！ 核心觀念一：too...to 與 enough to（程度的兩端） 這兩個句型是一對「反義…
2026-10-12威威學長的進階補丁最終彈來啦！ 裝上這一講，整套課程就 100% 對齊 108 課綱了！這講要補上三個國中必考的小模組：成對連接詞（both...and / either...or / neither...nor / not only...but also）、used to（以前常常）、had better（最好...），再加碼「疑問詞＋不定詞」（what to do）。把它們學完，你的國中英文文…
2026-10-12如果只在封面記「錯五題」，明天拿起書，還是不知道該翻哪一頁。 我會先把錯誤分開。看漏時間詞，就練讀題與時態；知道時間卻寫錯動詞，才回去練形式。單字不認識和文法不懂，也不能用同一種作業處理。 這一頁的複習方法、六題自我檢查與詳解都可以直接閱讀，不需要訂閱。另有一份訂閱者專屬的 130 題模擬考；完整題本不在這個公開頁面，也不會因為點進來就自動寄出。 從哪一講補起，不必每次都重讀第 1 講 看到長句就…
2026-10-12學長是學數學理科出身的。我一直深信：語言不是拿來背的，是一套充滿邏輯的系統。這套講義就是用「蓋系統」的方式，把國中三年的英文從零重講一次。每一講都是前一講的延伸，每一個文法點都知道自己在整張地圖上的位置。就像數學一樣：地基沒打好，後面全部搖晃。 所以強烈建議照順序讀，不要跳。26 講全部到齊，點連結就能讀。建議照順序走，每一講的練習題是電子報訂閱者專屬 📩 📩 每一講的「課後練習 100 題＋…
2026-09-03讀到「Raise your hand if you know the answer.」，你要做的動作是舉手。可以邊念邊比一下，把 hand 和動作接起來，不必一直盯著「手」那個中文字。 這份上冊按主題分成 10 個 Topic，從身體、家人整理到動詞和形容詞。每個字旁邊有中文、詞性和例句。用 Anki 這類單字卡軟體或紙卡都可以；隔幾天回頭試著回想，就是這裡說的「間隔重複」。 Topic 1：人與…
2025-11-05在職業那一組，save 是「儲蓄」；到了科技那一組，又變成「儲存」。單字長一樣，旁邊接的東西不同，意思就跟著變了。翻這份下冊時，記得把例句也讀完，別看到背過的字就直接跳過。 下冊延續上冊的主題分類，從 Topic 11 的交通與旅行排到 Topic 20 的易混淆字詞。上冊還不熟的話，可以先回去複習，再用這裡的中文釋義、詞性和例句一起練。 Topic 11：交通與旅行 (Transportatio…
2025-11-10一隻貓攤在地上，旁邊寫「累死了！」；朋友傳來一張新髮型照，你回「太誇張了吧！」。貼圖把表情和話放在一起，連語氣都省得解釋。 把這些話換成英文時，可以練兩件事：怎麼表達驚訝、開心或抱怨，以及怎麼在句尾補一句「對吧？」。前者會用到感嘆句（exclamations），後者則和附加問句（tag questions）有關。 第一部分：感嘆句，就是你丟貼圖時在講的話 感嘆句的基本結構 先看兩種常練的 What…
2026-02-06你把三個數字都記下來，答案卻還是選錯，因為題目問的是「什麼時候登機」，你圈了起飛時間。 聽力練習不能只算抓到幾個字。我會要求你把資訊配回它的意思：誰要做什麼、什麼時候、原訂安排有沒有更動。 先釐清考試名稱：高中英語聽力測驗（英聽）與學測英文是分開的考試，英聽不是學測英文裡的 20 分。 是否需要英聽成績，要查目標校系當年度招生簡章，不要只看別人的選校經驗。 下面會先核對正式測驗的規則，再用自編逐字…
2025-11-14來，先回答一個老實話題： 「英文 4 大技能：聽 / 說 / 讀 / 寫，你最弱的是哪個？」 很多人第一個想到的答案是「聽力」。 為什麼？因為： 聽力是 4 大技能裡最容易被忽略的，但也是最致命的瓶頸！ 聽不懂 → 無法吸收（看不到內容怎麼學？） 聽不懂 → 說讀寫都卡住（因為你連自己腦中的英文都「聽」不對） 高中英聽、TOEIC、TOEFL 都需要聽懂資訊，但考試目的、題型與成績表示方式不同，不…
2025-11-20你有沒有想過一件事：為什麼超級英雄講話那麼「正式」？ 鋼鐵人比較隨便，這個除外。但你看 Thor、Captain America、甚至 Black Panther，他們的台詞風格偏正式。不是莎士比亞那種正式，但確實比一般對話多了一層距離感。 原因之一：他們大量使用被動語態。 "The Avengers were assembled." "The universe was saved." "You …
2026-02-16打開你最近一次的 Minecraft 存檔，回想一下你做了什麼。然後回答我三個問題。 你蓋的房子在哪裡？是在山裡面，還是在河邊？ 你的礦坑挖到多深？是在基岩上面，還是在熔岩旁邊？ 怪物從哪個方向衝過來？是從你後面，還是從黑暗的洞穴裡面？ 你剛剛回答這些問題的時候，用的詞是「在⋯⋯裡面」、「在⋯⋯上面」、「從⋯⋯後面」，這些就是英文的介系詞片語（prepositional phrases）。你玩 M…
2026-03-03來，看下面三句的差異： "He must have forgotten." "He should have remembered." "He could have known." 中文都跟「他...的」有關，但意思天差地遠！ must have = 一定忘了（很肯定的過去推測） should have = 本來應該記得（遺憾，沒記得） could have = 本來可以知道（惋惜的可能性） 英文的…
2025-11-26第四節，剩下 30 秒。比數 108 比 106，落後兩分。 LeBron James 在三分線外接到球。防守球員貼上來。他做了一個假動作，往右邊切入，在罰球線附近急停，出手。 球在空中劃出一道弧線。 "LeBron pulls up from the free-throw line — although he's been struggling from mid-range tonight, d…
2026-03-10"Friends don't lie." 十一（Eleven）在第一季說出這句話，用的字都不難。lie、friend 你可能早就背過；放進朋友之間的對話，再連到 trust（信任），可以多想想她為什麼要強調「不說謊」。 追劇時碰到熟字，可以多聽一下它怎麼被用；碰到生字，再連著搭配詞或字族一起記。下面借劇中的人物和情境練字彙，教學例句不都是真實台詞，也不代表每個字都一定會考。 一個字可以拉出一整個家…
2026-03-18來，看下面這個句子： "That he passed the exam surprised everyone." 「That he passed the exam」是什麼？看似一段話，整體卻是「主詞」。是的，整段話被當作一個名詞！ 這就是名詞子句 (Noun Clause)：把一個完整的句子「打包」成一個名詞用。 名詞子句是學測閱讀和寫作的「長句基石」。句子越長越複雜，名詞子句出現的頻率越高！ 今…
2025-12-01來，看一個句子： "The tall boy standing by the door wearing a red jacket is my brother." 這句話的主詞是哪幾個字？ 如果你說「The tall boy」，你只對了 1/3。整個粗體部分（The tall boy standing by the door wearing a red jacket）才是真正的主詞。它的核心是 bo…
2025-12-05來，回答兩個問題： 「我給你一個建議」翻成英文是 "Let me give you advice."，空格填什麼？ 「我吃早餐」翻成英文是 "I eat breakfast."，要填 the 還是不填？ 如果你寫了 "an advice" 或 "the breakfast"，歡迎來到台灣學生的冠詞地獄。 中文沒有冠詞。我們說「給你建議」「吃早餐」就完事了。但英文有兩件事跟中文完全不同： 名詞分可數…
2025-12-11段落寫作先練這個取捨：主旨句把方向定下來，支持句接著說明，結論句負責收束。下面這個 Paragraph 架構適合拿來起步，不是每一段都得硬湊三個部分。 1.2 Topic Sentence（主旨句） 主旨句先讓讀者知道這段要談什麼，也留一點空間給後文解釋。例如要談養狗的好處，就別在第一句把玩球的時間、地點全寫完。先提出一個能展開的觀點，細節留給支持句。 範例比較： 1.3 Supporting S…
2025-12-16來，比較這兩種寫法： A: "Because I was tired, I went to bed early." B: "Being tired, I went to bed early." 兩句意思完全一樣，但 B 的字數少了 40%！這就是英文寫作的「瘦身術」：分詞構句 (Participle Constructions)。 把一個完整的副詞子句濃縮成一個分詞片語——就像把一碗牛肉麵壓縮成一…
2025-12-19來，看下面兩個句子有什麼不同： "The dog bit the man." "The man was bitten by the dog." 兩句都在描述同一件事，但焦點完全不同！第一句把鎂光燈打在「狗」身上，第二句把鎂光燈打在「人」身上。 英文世界的「主動 vs. 被動」就像攝影師選角度，同一個畫面，但主角不同。 打開英文新聞、翻開學術論文、看一下產品說明書，被動句的比例會比課本裡高得多：句子…
2025-12-26來，用直覺翻譯這 4 個句子： "I gave up." "She put on her coat." "He took off." "I'll look into it." 如果你逐字翻譯：「給上」「放上」「拿掉」「看進」，全部錯！正確意思是： give up = 放棄 put on = 穿上 take off = 脫掉 / 起飛 look into = 調查 這就是英文最讓非母語者頭痛的「片語…
2025-12-31來，回答兩個問題： 「6 月在」用 in 還是 on？ 「在桌上」用 on 還是 in？ 「我對他生氣」用 with、to、還是 at？ 如果你猶豫了一秒，這篇就是為你寫的。 英文介系詞只有大約 100 個常用字，但用錯它們就立刻露出「英文不是母語」的破綻，比文法更顯眼、比拼字更容易出包。介系詞是英文裡最「靠感覺」的部分，但威威學長會教你「怎麼用邏輯記住它的感覺」。 介系詞不只是規則，是英文人「看…
2026-01-05把下面這段話念出來： "Tom is a student. Tom likes English. Tom plays basketball every day. Tom's mom often makes Tom's lunch for Tom." 念完是不是覺得整段「卡卡的」、有種詭異的重複感？這就是英文沒有代名詞的世界。幸好英文有代名詞，同樣的意思可以這樣寫： "Tom is a studen…
2026-01-09來，把下面的句子改成疑問句： "She likes coffee." "He went to school." 如果你的答案是 "Does she likes coffee?" 或 "Did he went to school?"，你被英文最大的「助動詞分工」陷阱抓到了。 英文問問題不像中文那麼簡單。中文「她喜歡咖啡」只要加個「嗎」就變問句：「她喜歡咖啡嗎？」但英文要： 找出助動詞（be / wi…
2026-01-15Section 1：長篇閱讀策略 〈The Democracy of Ideas〉先談印刷術如何擴大知識傳播，接著換到網路。讀到第四段的 Yet，文章又轉向錯誤資訊的風險。如果你只記住一串發明和年代，做到主旨題時就會漏掉這次轉折。長篇閱讀要留下的，是每一段怎麼把話接下去。 這是進階英文閱讀教材，不是現行分科測驗的考科指南。大考中心 116 學年度簡章（PDF）所列分科考科不含英文；準備升學英文時，…
2026-01-20桌邊的同學示範幾針，卻沒有幫忙把整件衣服縫好。 讀到這裡，你可能會想：「怎麼只幫一半？」我是威威學長，我會先把這個疑問留著。等短文讀完，再回頭找作者有沒有交代理由；不能光憑「修補桌」三個字，就認定這是免費代修服務。 這篇用自編短文串起閱讀、摘要與短回應。下面的題目和字數都是教學練習設定，不是官方試題或評分規準，也沒有保證分數的讀法。閱讀不等於翻譯整篇；遇到選擇題就判斷選項，遇到書寫題就依指示回答，…
2026-08-22第一篇聆聽文章的空格前面有 is，選項卻同時給了 overlook、overlooked、overlooking、overlooks。光看到熟悉的字根還不夠，你得回頭看：是誰忽略誰？這項技能在句中是「被忽略的」。克漏字就是把這類判斷放進一篇短文裡，選出在文法和意思上都接得起來的答案。 1.2 考點類型 複習時可以用這四類整理錯題。哪一類值得多花時間，要看你實際卡在哪裡；同一道空格也可能同時需要文法…
2026-01-23Section 1：學測閱讀題型分析 下面的真菌文章談到森林裡連起植物根部的網，也談到污染清理和藥物。如果題目問主旨，只挑「森林的網路」就少看了好幾段；若題目問真菌和植物的差別，答案反而就在第一段。先看題目要你找多大範圍，再決定讀哪裡。 1.1 Main Idea（主旨題） 常見問法： What is the main idea of this passage? What is the best …
2026-01-30Section 1：議論文結構 (Argumentative Text Structure) 1.1 議論文四大要素 Text 1 談學生打工，作者支持打工，卻保留了 if they are managed properly 這個條件。只讀到支持、漏掉條件，就會把「適度打工有好處」看成「怎麼打工都好」。議論文（Argumentative Text）想要說服讀者接受某個觀點，我們要讀出主張，也要看作…
2026-02-04先問你一個超真實的問題： 「每個字都看得懂，整句卻看不懂。到底哪裡壞掉？」 直球答案： 你缺的不是單字量，你缺的是「拆句能力」和「篇章導航能力」。 威威誠實話： 閱讀是抓結構，不是逐字翻譯 看懂一句，不代表看懂一段：段落有自己的邏輯骨架 答錯通常是因為沒定位到答案區 今天威威帶你走完整條閱讀路徑： 基礎閱讀（R01-R06）：句子到段落 學測閱讀（R07-R10）：克漏字、篇章、閱讀理解、混合題 …
2026-02-09Section 1：說明文特色 (Features of Expository Texts) 1.1 什麼是說明文？ 冷飲杯外面出現水珠，Text 2 會用水蒸氣冷卻、凝結成水滴來解釋。讀到這裡，我們要弄清楚的是水怎麼改變狀態。這類提供資訊、解釋概念的文章叫說明文（Expository Text），常處理一件事的事實、原因、過程或比較。 1.2 說明文的結構 圖中的主題句幫你抓範圍，支持細節把內容…
2026-02-13Section 1：記敘文特色 (Narrative Text Features) 1.1 記敘文的四要素 Kevin 一家在七月的星期六去海邊，早上堆沙堡，午餐後才玩趴板。這些資訊合在一起，就有了故事的場景和事件。記敘文（Narrative Text）會沿著人物的經歷往下寫，讀的時候可以先用下面四個問題整理背景。 1.2 時序詞 (Time Order Words) 記敘文常按時間順序敘述。海邊…
2026-02-20Section 1：混合題格式說明 1.1 什麼是混合題？ 同樣讀完〈The Future of Work〉，選擇題只要圈出答案；問到遠距工作為什麼影響市中心，你就得自己寫出原因。知道文章在說什麼，和把答案寫到題目要的地方，是兩件都要練的事。混合題把選擇題與簡答題放在一起，正好可以檢查這個差別。 本頁練習的安排： 一篇文章（200-350 字） 2-3 題選擇題（四選一） 2-3 題簡答題（需用自…
2026-02-25Section 1：段落的結構 (Paragraph Structure) 樹會供應氧氣、讓動物棲身，也能幫助維持空氣乾淨。下面的例段把這些內容放在一起，是為了說明「樹對環境很重要」。讀段落時，我們要看出哪些句子在提出這個主張，哪些句子在替它補上理由。 1.1 Topic Sentence（主題句） 通常出現在段落的第一句或第二句 告訴讀者這段話主要在說什麼 可以拿後面的細節來核對：它們有沒有在解…
2026-03-02Section 1：高中記敘文挑戰 (The Challenge of SH Narrative Texts) 1.1 更長、更深、更多推論題 David 拿著藝術學校和商學院的錄取通知，故事最後只寫他重新拿起鉛筆畫畫，沒有直接宣布選哪間。題目卻要你判斷他的決定。到了這類閱讀題，我們得把動作、情緒和前文接起來，不能只找一個和選項長得一樣的句子。 1.2 注意：語氣、情感、隱含意義 先把要判斷的對象…
2026-03-06Section 1：先找句子裡誰在做什麼 主詞和動詞中間，可以隔著一段話 讀到 The students in the library are studying，students 和 are studying 中間夾了 in the library。若一路逐字翻，可能記得「圖書館」，卻沒接上「學生正在讀書」。先把主詞和動詞的關係找出來，句意才有著落。 這裡的 in the library 說明學生…
2026-03-12Section 1：篇章結構題型介紹 (Discourse Structure Overview) 1.1 什麼是篇章結構題？ 篇章結構題 (Discourse Structure) 是學測閱讀的重要題型。一篇完整的文章中，有幾句話被挖掉（通常 4-5 句），你需要根據上下文的邏輯，把這些句子放回正確的位置。 1.2 為什麼這個題型難？ 不能只看單一句話的文法，必須看前後文的邏輯關係 選項之間可能…
2026-03-17來，把下面這兩句話「黏成一句」： The girl is my sister. The girl is singing. 直覺反應你會寫：「The girl is my sister and is singing.」，文法對，但像鴨子嘎嘎叫的英文！ 正確、優雅的寫法是： "The girl who is singing is my sister."（正在唱歌的那個女孩是我妹妹。） 這個 "who"…
2026-03-20在 access 那一列，搭配詞寫成 have ~ to。~ 代的是這一列的單字，合起來就是 have access to；讀到「Students have access to the library.」，意思是學生可以使用圖書館。知道 access 的中文之後，還得把前後接的字一起記下來，才知道怎麼用。 這種習慣搭在一起的用法叫 collocation（搭配詞）。這份 Level 1 按 15 …
2026-03-27在「Could you elaborate on your point?」裡，elaborate 是動作「詳述」；到了「She made an elaborate meal.」，它在形容那頓餐點「精緻」。同一個字，得看它在句子裡做什麼，才能選對意思。 這份 Level 2 延續高中核心 3000 字 Level 1，把字放回不同主題的例句裡讀。旁邊的 collocation（搭配詞）欄列出慣常接在…
2026-04-01austere 的中文欄寫著「嚴厲的；簡樸的」，但放進「Monks lead an austere lifestyle.」，要讀成生活簡樸。背中文時兩個意思都在，讀句子時得挑出用得到的那一個。 這份 Level 3 接在高中核心 3000 字 Level 2之後，按主題整理精選字與壓縮字表。精選字的搭配詞欄用 ~ 代替該列單字；把單字代回去，再讀例句，看看詞義怎麼跟著情境變化。 Topic 1：抽…
2026-04-06「Gasoline is a volatile substance.」裡的 volatile 是「揮發性的」；「The stock market is highly volatile.」裡，同一個字卻在說股市容易變動。讀長文時，單字的意思要跟著題材判斷。 這份表按科學、人文、社會科學分組，列出精選字的中文、同義詞和例句，另有壓縮字表供查找。表內的出題類型標記可用來挑閱讀題材，別把它當成出題頻率統計…
2026-04-10來，比較這三句： I saw him cross the street. I saw him crossing the street. I heard the song sung in French. 中文翻譯都差不多，「我看到/聽到...」，但英文有微妙的差異： 第 1 句：看到他過完了馬路（看到全過程） 第 2 句：看到他正在過馬路（看到進行中） 第 3 句：聽到歌被用法文唱（聽到被動結果） …
2026-04-16Birds fly. I eat rice. She is happy. 八個字，三個完整的英文句子。再看另一個：The book on the table. 字數差不多，它卻不是句子。它只是一個名詞，沒有告訴你任何事情發生。 差別在骨架。Birds fly 有「誰」也有「做什麼」；The book on the table 只有「誰」，少了動詞，所以它還停在名詞片語的階段。英文判斷一句話成不成立…
2026-04-21Your order has been shipped. 這是蝦皮下單之後最常跳出來的一句話。你大概看過幾百次，沒想過它其實是一句商業英文。 同一件事，一間公司在正式書信裡會寫成有訂單編號、有承運商、有預計到貨日的完整句子，開頭還要加一句 We are pleased to inform you that... 假設有個學生，大學畢業去面試外商業務，主管給了一題 email 寫作。他卡住了，理由很…
2026-03-25每年 12 月，朋友圈會被一輪綠色洗版。 Spotify Wrapped 出爐了。大家瘋狂截圖，分享自己今年聽了什麼、聽了多少、聽了幾遍。你可能覺得這只是個行銷活動，但如果你仔細看那些英文句子，會發現一件事。 Spotify 在教你現在完成式。 不是開玩笑。那些 Wrapped 裡的句子，幾乎每一句都是 present perfect 的教科書範例，而且用的正是台灣學生最頭痛的那個時態。 先看 S…
2026-04-02來，回答這個謎題： "If I were you, I would study harder." 為什麼用 were？I 是第一人稱啊？應該用 was！ 如果你知道答案，恭喜，你已經摸到了假設語氣 (Subjunctive Mood) 的門檻。 英文世界裡，當你說的不是事實，而是「想像、願望、假設、建議」，文法會特別標記這件事。最有名的特殊標記就是「were 不分人稱」！ 學測必考、分科考爆、GR…
2026-04-24一篇短文談遠距工作的彈性，也談到孤立感和團隊管理。要把它縮短，不能只挑「在家上班很方便」來寫，否則字數少了，原意也跟著少了一半。 平時可以選 300 到 400 字的短文，練習縮成 80 字以內的摘要。這是練習設定，不是學測固定題型或統一字數規定；實際作答請看題目要求與大考中心公告。 摘要會同時用到 reading comprehension（閱讀理解）和 paraphrasing（用自己的話重述…
2026-05-04想像你正在整理 Taylor Swift 的歌單，朋友傳訊息問你在忙什麼。「我平常聽她的歌」「我現在正在聽」「我昨天聽了這張專輯」，中文都用「聽」，英文的動詞卻不能照抄同一組。 例句說明：原文未能核實出處的歌詞引文已撤下。本文所有英文例句與練習題均為自編教學句，不是 Taylor Swift 的歌詞或發言；人物與演唱會情節都是假設，不代表真實行程。Taylor Swift 在這裡是聽歌情境的主題，…
2026-04-17你知道 2026 年的英文新聞裡，哪些字出現頻率最高嗎？ 我每週都會幫學生整理一篇「新聞英文」，做了快兩年。最近回頭一看，才發現科技類的新聞佔了將近一半。而且這些字不只出現在新聞裡，它們已經悄悄滲進你的日常英文了。 今天我要帶你做一件事：從真實新聞標題出發，學會 20 個你這輩子遲早會用到的科技字彙。 你要做的是理解它們怎麼來的、怎麼用的、跟哪些字搭配在一起。 一、AI 革命：你不能不會的 5 個…
2026-04-24"The Earth is warming. Ice caps are melting. Sea levels are rising. Many coastal cities will be underwater by 2100." 四個句子排在一起，讀者大概猜得到暖化、融冰和海平面上升有關，卻還得自己把因果接起來。 換成這樣： "The Earth is warming. As a result…
2026-04-30假設你在一段演講的字幕裡看到 unhelpful。help 認得，前面多了 un-，後面多了 -ful；先不用把整個字當成陌生人，可以試著從 helpful「有幫助的」推到 unhelpful「沒有幫助的」。 但你接著看到 uncle，可不能照樣切成 un + cle。拼字看起來有一樣的開頭，不代表它們用了同一個字首。拆字好用的地方是提供線索，最容易出錯的地方也是把線索當成答案。😅 我會用 TE…
2026-05-08你現在多益 450-600 分，目標是 750。 750 分是一個門檻：很多企業的英文門檻是 750，很多學校的畢業門檻也是 750。你不是要考 900+ 去炫耀，你只是需要一個「夠用」的分數。 這篇講的是我的一對一多益課程怎麼帶你從 450-600 衝到 750。 準備前，先確認你的目標 如果你為求職、畢業或升遷準備 TOEIC，先核對職缺、學校或公司的正式要求。分數門檻不能從個別公司的印象推成…
2026-05-15你多益考了 500、550、600，每次都在同一個區間打轉。明明有在背單字、有在練習，為什麼分數就是上不去？ 不是你不夠努力，是你掉進了某個（或某幾個）陷阱。 這篇整理了我帶學生時最常看到的五個問題。每一個都有具體的解法，看完就知道自己卡在哪。 先講兩個故事 在我開始講解法之前，先說兩個我自己的故事。 故事一：我那些 TUM（慕尼黑工業大學）的同事。 我在德國念書的時候，系上很多博士生來自印度、義…
2026-05-25為什麼「懂中文」不等於「會翻譯」 我批過太多學生把「我很喜歡這部電影」翻成 I very like this movie，或是把「學測」直譯成 learning test。問題出在翻譯的順序錯了。 大多數人拿起筆就想把中文「換成」英文，逐字替換，主詞對主詞、動詞對動詞、副詞對副詞。看起來很工整，結果往往很僵硬。因為中文和英文的思考邏輯根本不一樣：中文靠意合，英文靠形合；中文主題在前，英文主詞在前；…
2026-05-06你每天叫 Uber Eats，其實都在練英文。 我知道你在想什麼。你只是想吃個鹹酥雞，為什麼要跟英文扯上關係。但你仔細看一次那個 app 的介面，那些按鈕、那些選項、那些你在滑手機時眼睛掃過去的字，全是教科書上會用一整頁解釋的東西。app 設計者把英文濃縮成你手指滑一下就能懂的樣子，這比任何教材都聰明。 我們今天就從你最熟悉的那個畫面開始，把背後的英文拆開來看。 點餐會用到的三種說法 I'd li…
2026-06-01先來一個靈魂拷問： 「你背單字背到想吐，考試還是看不懂，為什麼？」 直球答案： 你不是背太少，你是背法錯了。 威威誠實話： A-Z 硬背最沒效率 只背中文意思最危險 不做複習排程，等於白背 今天威威把字彙系統一次講清楚： 國中 1200 → 高中 3000 → 進階 4500 → GRE 核心 字根字首字尾的槓桿打法 學測高頻片語與慣用語獨立模組 「學過不忘」的週期複習節奏 繫好安全帶 一、字彙主…
2026-05-12打開英文 Wikipedia 的任何一頁，第一段幾乎都是同一個形狀：它是什麼、有多重要、從哪裡來、有什麼特點、怎麼使用。這五件事講完就停。 這種寫法不是 Wikipedia 發明的。你高中寫的報告、大學交的論文、讀研究論文時看到的句子，用的都是同一套規則，而 Wikipedia 上的每一頁都在示範它。 它不是學術期刊，有它自己的限制。但它的寫作風格被設計成「讓任何受過教育的人都能讀懂」的中性英文。…
2026-06-09transportation 看起來很長，拆成 trans + port + ation，就能先認出 port 的「運送」意思，再把 trans- 的「跨越」接上去。字尾 -ation 提醒我們它是名詞，這才有線索往「運輸」去想。 這份基礎篇整理 25 個字首、25 個字根和 20 個字尾。字首按否定、方向、程度、態度分類，字根和字尾另外對照。準備學測、英檢中高級、TOEFL 或 GRE，或練指考…
2026-05-15circumspect 拆成 circum-（環繞）和 spect（看），可以用「四處看看再決定」幫自己記住「謹慎的」。不過，看到幾段眼熟的字母，還不能直接把中文湊成答案。 這份進階篇整理 15 個字首、25 個字根，接著「字根字首字尾（上）」往下練。準備 GRE、TOEFL 或讀學術文章時，可以拿表裡的拆解核對自己認得哪些部分；基礎還不熟就先回上篇。 一、進階字首 (Advanced Prefi…
2026-05-22"Mbappé is faster than everyone." 這句話你一定聽過。世界盃轉播的時候，英文主播幾乎每場比賽都會講。它是一句比較級：faster than，兩個人在比，一個比另一個快。 比較級和最高級是英文文法裡面最基本的東西之一，但很多台灣學生搞不清楚規則，更不知道什麼時候用 -er、什麼時候用 more、什麼時候要加 the。 這篇文章用足球世界盃當素材，把比較級和最高級一次講…
2026-06-16打開 BBC 或 ESPN 查比賽結果，眼睛通常先找比分，再找進球的人。等看到一場有興趣的比賽，才會往下讀教練怎麼解釋換人。 同一篇英文新聞，我們其實會用不同速度讀。這很適合拿來練閱讀測驗：主旨、細節和作者的判斷，各有需要仔細看的地方。 一、三種閱讀策略 如果讀英文時一碰到生字就停下來，整篇讀完可能已經忘了開頭。先想想這次要找什麼：只想知道誰贏，和想弄懂教練的戰術，不需要用同一種讀法。 策略一：略…
2026-06-24先問你一個很多人不敢承認的問題： 「題目看得懂，但就是寫不出英文，我是不是沒救了？」 直球答案： 有救，而且是最容易工程化補起來的一科。 威威誠實話： 寫不出來不代表你英文爛，通常是沒有寫作流程 先求句子正確，再求句子漂亮 作文高分不是華麗字彙堆砌，是邏輯清楚、錯誤少 今天威威帶你走完整條寫作路線： 基礎寫作（W01-W02）：句子到段落 學測翻譯與作文（W03-W06） 分科議論文（W07） G…
2026-05-27你有沒有注意過，YouTuber 超愛講 "If"？ 科技頻道開箱新手機，講一句："If I were you, I wouldn't buy this." MrBeast 影片裡，丟出一句："If I had a million dollars, I would give it all away." 開箱頻道拆包裹："If this works, it's going to be insane.…
2026-07-02|x-2|<3 拆出來是 -1<x<5，一個區間。|x-2|>3 拆出來是 x>5 或 x<-1，兩段。 同樣一個絕對值，一邊變成「而且」（同時符合兩個條件），另一邊變成「或者」（符合其中一個就好）。這兩個字一差，答案的形狀就完全不同：一個是一段，一個是兩段。很多人是靠背的：小於拆成中間、大於拆成兩邊。背下來也能用，但只要題目換成 |x-2|>x 這種右邊也是變數的，那條口訣就沒東西可套了。 會卡…
2026-10-12所以冰淇淋會讓人溺水嗎？當然不是。 這個例子在統計課本裡出現幾十年了，因為它最短、最乾淨地展示了問題：兩件事一起變動，不代表其中一件造成另一件。背後還有第三個東西，就是天氣熱。熱會讓人想吃冰，熱也會讓人下水，而下水才會增加風險。那個第三個東西在推著兩邊走。 混淆：相關消失之後剩下什麼 把「天氣熱」這種變數叫做混淆變數。它必須同時滿足兩個條件：會影響你以為的原因，也會影響結果。 冰淇淋與溺水這個例子…
2026-10-12y=(2x+1)^10。冪次律你會，微分的定義你也會，但你手上這個東西是「某個東西的十次方」，而那個東西本身又是 x 的函數。硬算做得到：把 (2x+1)^10 展開成十一項再逐項微分。只是你不會想做第二次😅。 連鎖律給出 y'=20(2x+1)^9。那個 20 拆開是 10×2：10 來自十次方，2 來自裡面的 2x+1。 如果口訣背得出來，卻不知道最後為什麼要乘 2，先把兩層分開。接下來每一…
2026-10-12把 √(-4)·√(-9) 寫在紙上。兩個根號擺在一起，很容易順手把裡面的數乘起來： 右邊的 √(36)=6 沒算錯。出問題的是問號那一步：兩個根號可以這樣合併嗎？ 先別急著擦掉整行，我們換一條路算同一題。令 i 為虛數單位，滿足 i^2=-1。採用負實數平方根的主值約定，√(-4)=2i、√(-9)=3i，所以 一個算出 6，一個算出 -6。這個負號就卡在 i^2 裡，先把根號合起來會把它漏掉�…
2026-01-13f(x)=x^2、g(x)=x+1。那 f(g(x)) 是什麼？ 把 g(x) 當成一個整體，塞進 f 的洞裡：f(g(x))=(x+1)^2。反過來 g(f(x))=x^2+1。兩個答案不一樣，這件事不意外，但它常常在題目裡被忽略，尤其是在處理定義域的時候。 真正容易出事的地方不是公式，是哪個函數先動，以及內層的值域有沒有落在外層的定義域裡。 順序決定了什麼 f(g(x)) 的意思是：先把 x …
2026-10-12於是有同學舉手問我：「學長，分母那兩坨根號到底是來幹嘛的？為什麼分子分母長得這麼像？而且算完一定卡在 -1 跟 1 之間，這是誰規定的？」😎 這三個問題，今天一次講清楚。聽完你會發現這條公式根本不用背，你自己就寫得出來。 一、散佈圖只能「看」，不能「算」 兩個變數放在一起，第一步當然是畫散佈圖。點從左下往右上爬，我們說「正相關」；從左上往右下溜，叫「負相關」；散得像一盤倒出來的彈珠，就是「沒什麼…
2026-09-13sin^2θ=(1-cos 2θ)/(2)。 第一次看到這個式子的人通常有兩個反應。第一個是「為什麼右邊冒出了一個 2θ」；第二個是「左邊明明比較短，幹嘛換成右邊那麼長」。 第二個問題問得很好，因為它其實是整套三角函數裡最實際的一件事：次方和兩倍角是可以互換的，而且是同一個恆等式的兩個方向。 什麼時候換、換哪一邊，取決於你接下來要做什麼。 二倍角公式先出來 二倍角公式不是新的，它是和角公式取 A=…
2026-10-12√(5+2√(6))。裡面的 5 和 2√(6) 怎麼配都配不出乾淨的東西，看起來就是一個化簡不下去的無理數。 但它等於 √2+√3。驗一下：(√2+√3)² = 2+3+2√6 = 5+2√6，對得上。所以那個看起來拆不開的東西，其實是兩個乾淨根號的平方。 這類題目在課本裡都配得很好，每一題都拆得開。可是你自己拿一個 √(5+2√5) 來試，怎麼配都配不出來，然後開始懷疑是不是自己算錯。你沒算錯…
2026-10-12三角形 A(0,0)、B(6,0)、C(2,4) 的三個「心」算出來是 G=((8)/(3),(4)/(3))（重心）、O=(3,1)（外心）、H=(2,2)（垂心）。三個點畫在同一張紙上，它們沒有散開，剛好排在同一條直線上，而且 OG:GH=1:2。 這條線叫歐拉線（Euler line）。接下來把三個點的位置寫成向量，就能看見比例 1:2 的來源，不必靠圖畫得準不準😎 三角形的四個心 歐拉在…
2026-03-018×4=32，這題當然不用對數也算得出來。先把這三個數換個寫法：8=2^3、4=2^2、32=2^5。原本的乘法就變成 底數一直是 2，指數則從 3、2 加成 5。對數把注意力放在這些指數上：log_2 8=3，讀成「2 要取幾次方才得到 8？」 所以 log_2 8+log_2 4=log_2 32。這個加號有來歷，先記住眼前的 3+2=5，等等看一般式就不會只剩符號🙂 定義旁邊的條件也要讀 …
2026-10-12把 y=2^x 和 y=log_2 x 畫在同一張紙上，兩條線不會碰到。2^x 從左下角貼著 x 軸爬起來，log_2 x 從 y 軸右側往右走但爬得很慢，它們最近的時候還是隔著一段距離。 把底數換小一點。a=0.3 的時候，y=0.3^x 和 y=log_0.3x 都是往下走的，這兩條線會碰到，而且只碰到一個點。 再換小。a=116 的時候，它們碰到三個點。 同一個題目，答案是 0、1、3。這種…
2026-10-301+2+⋯+10=55 是手指頭數得完的範圍。換成 1^5+2^5+⋯+10^5，答案是 220825，就開始需要一點技巧了；等到 n=100，一項一項加根本寫不完，你只能去找封閉解。 麻煩的是課本要你背的封閉解不只一條：平方和一條、立方和一條、四次方和一條，p 每加一就多一條。十七世紀有位德國人叫福爾哈貝（Johann Faulhaber），他做的事就是把這一整排公式收進同一條式子裡。 從一加到…
2025-11-20公式是對的，但如果你跟我一樣，每次都在「到底往左還是往右、到底是幾分之幾」上面打結，那這篇是為你寫的。 是不是有這些疑問？給了 y=sin(2x-(π)/(3))，為什麼有人說往右 (π)/(3)、有人說往右 (π)/(6)，兩個都講得理直氣壯？只給你半個週期的圖、標了波峰跟波谷的座標，要你反推 A、ω、φ、B，到底該從哪一格開始？還有那種四個圖給你挑的選擇題，難道真的要一個一個畫出來？🙃 今天…
2026-10-12sin 30^∘=(1)/(2)、sin 45^∘=(√2)/(2)、sin 60^∘=(√3)/(2)，這三個值你大概從國三背到高一，靠的是同一張圖：一個直角三角形，斜邊分之對邊。這套算法門檻很低，一把尺就夠。 然後到了高二，課本開始畫正弦函數的圖形，從 0 拉到 2π。那條線過了 90^∘ 之後還在動，一路往下，甚至整段掉到 x 軸下面。看圖不難，難的是你心裡那個定義撐不住：120^∘ 的對邊…
2026-10-12把目標系所的一份考古題放在桌上，旁邊開著當年度招生簡章。同樣叫電機所或數學所，考科也可能不同；在這一步弄錯範圍，後面的讀書表排得再漂亮都會白忙。 確認範圍後，再看距離考試還有一年、半年，還是三個月。下面的週數與時數都是可調整的範例。我會先用基本題找缺口，再把時間放到「確實要考、現在還不熟」的交集裡。 你考的是哪一種研究所？ 這張表列的是可能遇到的領域，不是各校固定考科。校系、組別與年度都可能不同，…
2025-12-17最適直線的係數有現成的公式：斜率 a=r(S_y)/(S_x)，截距 b=ȳ-ax̄。把它們算出來，最小平方問題就結束了，一行都不用迭代。 既然這樣，為什麼機器學習的書幾乎每一本都要花一整章講梯度下降？ 因為那一行公式是特例。它之所以存在，是因為最小平方的損失函數長得很乖，可以直接反解出答案。換一個損失函數、換一個模型，通常就沒有這種好事了。梯度下降是那種時候的通用做法。 核心圖像：摸黑下山 想…
2026-10-12一場「去單位化」的革命｜➡️ 下一篇：振幅、中線、對稱軸、對稱中心 課本講到圖形變換，標準動作是丟給你一張密密麻麻的表：左移右移、上移下移、壓縮伸長，每一格還配一句「口訣」。老實說，段考題硬背那張表也能過😅。 但背的時候，你心裡是不是有幾個解不開的結？為什麼往右移是「減」不是「加」？為什麼「先壓縮再平移」跟「先平移再壓縮」答案會不一樣？還有那題經典的：y=sin(2x+(π)/(3)) 到底左移…
2026-10-12課綱沒教但會考的三角… 課本講到 y=Asin(ω x+φ)+B，標準動作是把四個參數的意義整理成一張表，然後直接跳進例題：「看圖，求 φ。」老實說，段考題照著那張表填，大部分時候真的會對😅。 可是你心裡是不是也卡過這幾題？為什麼同一條曲線，A 寫正的也通、寫負的也通？為什麼圖形明明穿過中線，你算出來的 φ 老師卻說「差了一個 π」？還有那個上下平移，什麼時候要加、加了又該加多少？🙃 今天我們…
2026-10-12(x-1)(x-2)^2(x-3)>0。 課本教你畫一條數線、標出 1、2、3，然後從右邊開始畫一條曲線穿過去：奇次方的根穿過去，偶次方的根彈回來。圖畫完，看哪幾段在 x 軸上方，答案就出來了。 但為什麼偶次方要彈回來？「彈回來」這個動詞聽起來像是圖形真的會轉彎，實際上你畫的那條線根本不存在，它只是符號的示意圖。真正的理由完全不需要圖，只要看一件事：那個因式會不會變號。 變號的只有一種因式 整條乘…
2026-10-12這篇講的是我帶學測數學衝刺班的方式：不是那種「從頭教你」的補習班模式，是針對性的、以成績為導向的一對一衝刺。 如果你想要的是一個「有人幫你規劃、盯你進度、幫你找出你看不到的問題」的教學模式，繼續看下去。 誰適合這個課程？ 你適合，如果你是： 高二升高三的暑假，想提前開始準備學測數學 高三上學期，數學成績在 8-12 級分之間，想衝到 14 級分以上 模擬考成績不穩定，好一次壞一次 有在讀書，但「不…
2026-01-16假設離學測還有 12 週，你翻開最近幾份考卷，發現同一類題目一再出錯。先把那幾題圈起來：這份計畫就從你手上的錯題開始，不替你假設「讀過幾遍就一定會」🙂 下面的時數、題量和週進度都是可調整的示例，不保證某個級分。先確認當年度數學 A 或 B 的範圍，估一估每天可用的時間，再把任務排進去。 我會替動筆和檢討各留一段時間。看概念有它的必要，但若整個晚上都在看詳解，就蓋住其中一題重做，確認自己能走到哪一…
2026-01-23條件只有一句：這個不等式的解是 x>-2，求 a。 左邊是「小於」，解集卻寫成 x>-2。把係數除過去時，不等號反向了，所以 a-1<0；a-1=0 只會得到恆成立的 0<6，也不合題意。於是 驗算：a=-2 時原式是 -3x<6，即 x>-2 ✓。 這題先用不等號方向判斷 a-1<0，再用端點 -2 求 a。如果一開始就除以 a-1 卻不管正負，後面的答案很容易朝反方向走😅 括號裡塞一整條 5…
2026-09-02為什麼一定要除以標準差｜➡️ 下一篇：斜率與相關係數的關係，以及「向平均數迴歸」 散佈圖上有 5 個點，你想拉一條線穿過它們。手一動就是一條，換個角度又可以再拉一條，而且每一條看起來都「差不多貼」。 紙上可以畫出無限多條線，憑什麼說某一條最好？要回答這個問題，得先把「好」翻譯成一個能比大小的數字。所以第一步其實不是找線，是定義誤差。 假設心裡已經有一條線 ŷ=ax+b。對每一筆資料，把它的 x …
2026-09-16課本沒說😅 那條公式是怎麼冒出來的？為什麼分子偏偏是「離均差相乘再相加」、分母偏偏是「離均差的平方和」？還有：就算承認它是讓斜率歸零的那個解，憑什麼說它是最小，而不是最大、或者只是個鞍點？推一次大概十分鐘，而且推完你會多知道一件事：這個解到底是極小、極大、還是鞍點。 把「最適」寫成一個能微分的函數 「最適直線」四個字很抽象。要動手算，得先把「適」翻譯成數字。 我們有一組資料 (x_1,y_1),…
2026-10-01推是推出來了，可是推完手上只剩一堆 Σ，心裡大概只有一種感覺：「原來要這樣算」，至於「原來它在幹嘛」，還說不上來😅。（還沒看過的話，先回頭讀最適直線的微積分證明，兩條路對照著看更有味道。） 比如：課本一直說殘差要「正交」於行空間，那個正交到底在正交什麼？為什麼殘差一旦垂直，方程就解得出來？還有最玄的一條：(∂ S)/(∂ b)=-21,e，偏微分和內積這兩樣看起來八竿子打不著的東西，怎麼會是同一…
2026-10-04拿直線 y=x+k 去切拋物線 y=x^2。k=0 時，交點是 (0,0) 和 (1,1)。把直線往下移，也就是減小 k，兩個交點會靠近，碰在一起後消失。 碰在一起時 k 是多少？我們把兩條式子聯立，看看交點的座標在哪一步變成方程式的根。 交點就是「同時滿足」 一個點要在兩條圖形上，它的座標就得同時滿足兩個方程式。所以把兩式中的 y 消掉，剩下的方程式，它的每個實根就對應一個交點。 現在問題變成：…
2026-10-12你第一次看到矩陣乘法的規則，反應大概是「這是誰規定的」。左邊的列去配右邊的行、一項一項乘再加起來、結果放在對應的格子裡。相比之下，矩陣的加法和純量乘法都好相處得多，直接逐項加、逐項乘，一眼就懂。 為什麼單單乘法要這麼麻煩？ 因為那條規則不是被規定的。它是一個被逼出來的結果：如果你希望「先做一個變換、再做一個變換」剛好等於「把兩個矩陣乘起來」，那乘法的算法就只能長那樣。換句話說，不是矩陣乘法發明了那…
2026-10-12多元迴歸的係數不能這樣讀。它多了一個但書，而那個但書不只是一句客套話，它會實際改變係數的大小，甚至改變正負號。 但書是什麼 模型長這樣： b_1 的完整意思是：在 x_2、x_3……都固定不變的前提下，x_1 每增加 1 單位，y 平均增加 b_1。 「其他變數固定」這幾個字，是多元迴歸跟單迴歸唯一但最要緊的差別。 為什麼一定要有這個但書 因為解釋變數之間通常彼此相關。看一個具體的假設情境（底下是…
2026-10-12｜➡️ 下一篇：多項式的「顯微鏡」與三次函數的對稱中心 除以 x-1 餘 5、除以 x+2 餘 11、除以 x-3 餘 -9。要找除以 (x-1)(x+2)(x-3) 的餘式，先把餘式定理用上： 除以 x-1 餘 5 ⟹ f(1)=5 除以 x+2 餘 11 ⟹ f(-2)=11 除以 x-3 餘 -9 ⟹ f(3)=-9 所以題目真正在問的是：一個二次多項式（餘式次數必須小於 3，最高二次）要通…
2026-09-10在單變數的世界裡，切線斜率永遠只有一種答案。你在圖形上選定一個點，沿著 x 軸往右走，函數值怎麼變就是怎麼變，沒有第二個方向可以挑，所以一個題目只會吐出一個數字。 山坡不吃這一套。想像一下你站在一座小山丘上，手上有兩支測坡度的儀器，一支往正東量，一支往正北量。同一個位置，兩支的讀數通常不會一樣：往東也許還在爬，往北已經緩下來，繞到另一側甚至變成下坡。這裡的麻煩不在計算，在詞彙。只說「這裡的坡度是 …
2026-10-12威力彩的玩法是從 1 到 38 號選 6 個，再從 1 到 8 選 1 個當第二區。頭獎機率是 約兩千兩百萬分之一。這只算「單注全中頭獎」的機率，沒有計入其他獎項、稅額或多人均分，不能拿這個分母直接當整張彩券的期望值。 先看選號這件事：同樣六個號碼，寫的順序換了仍是同一注。這就是用組合數的理由。我們先把「什麼算同一個結果」講清楚，再選公式🙂 換個順序，還算同一個結果嗎 這兩個公式假設物件彼此不同…
2026-04-28｜➡️ 下一篇：頂點、開口與那個 a<0 的陷阱 課本把 y=x^3-x^2-x+3 好好地改寫成 y=(x-2)^3+5(x-2)^2+7(x-2)+5。看到這一步，很多人的反應是：曲線本來局部看就像直線啊，幹嘛要多此一舉換成 (x-2)？ 這一問，剛好問到整個單元最核心的一個觀念。 「局部像直線」是曲線的事，跟你怎麼寫無關 先給這個直覺拍拍手 👏。它完全對：一條平滑曲線，你拿放大鏡對準任何一…
2026-09-11用直線去配，殘差沒有隨機散開，它會「中間一段全偏一邊、兩端偏另一邊」：這種有系統性的殘差，是模型形狀不對的訊號。 於是你加了一個 x^2 項。殘差立刻變小，圖看起來也順了。 問題是：繼續加呢？加到 x^5、x^10，殘差還會更小。那什麼時候該停？ 原則沒有變，只是多了一個參數 多項式迴歸用的還是最小平方法，同一條原則：讓殘差平方和 Σ(y_i-ŷ_i)^2 最小。差別只在你用來預測的那條式子變長…
2026-10-12先說一句實話：多項式這一章，課本把它拆成一堆看起來不相干的技術：餘式定理、因式定理、不等式、圖形平移。你一個一個背，會覺得很散😅 但其實它們是同一件事的不同角度：你在研究一個多項式的「長相」。它在哪裡是零、它的圖形長什麼樣、什麼範圍內是正的。學會這幾招之後，多項式就是一個你看得懂的東西。 所以學長把這 7 篇整理成一條線，從最基本的工具一路走到會考常考的逆推題。 🗺️ 閱讀地圖 第一部｜核心工…
2026-10-12你要描述這些點在哪裡，得同時報出 x 座標和 y 座標，兩個數字。但用眼睛看就知道這件事很浪費：那朵雲幾乎是沿著一條斜線攤開的，只要知道它在那條斜線上的位置，就大概知道它在哪了。 主成分分析（PCA）做的就是把那條斜線找出來。 找「散得最開」的那個方向 先講清楚它在找什麼：一個方向，讓所有點投影到這條線上之後，彼此散得最開。 為什麼是「最開」？因為散得開代表資訊多。如果某個方向上所有點都擠在一起，…
2026-10-12y=x^2-4x+3 和 y=(x-2)^2-1。展開來是同一個式子、畫出來是同一條拋物線，但第二個寫法你掃一眼就知道它在哪裡轉彎：頂點 (2,-1)、開口朝上。第一個寫法你得先動筆算 (-b)/(2a) 才會知道同樣的事。 課本把「從第一種寫成第二種」叫配方法，然後給步驟：一次項係數一半的平方，加進去再減掉。這招照著做不會錯，但看起來很像憑空發明的一個技巧。其實頂點的座標本來就藏在原式裡面，配方…
2026-10-12題目若給幾張圖形要你判斷可能性，可以從配方下手。 先把頂點位置與開口方向分開看，不急著替 a,b 猜數字。 配方之後，頂點的位置跟 a 有多大無關 先配方：f(x)=a(x-1)^2+b-a。頂點直接讀成 (1,b-a)；若用公式，記得本題已假設 a≠0，才能除以 2a。 頂點的 x 座標：-(-2a)/(2a)=1（固定的！跟 a 多大無關） 頂點的 y 座標：f(1)=a-2a+b=b-a 題…
2026-09-02y=x^2-4x+3。配方得 (x-2)^2-1，頂點 (2,-1)，所以最小值是 -1。這題每個人都會。 換一題：同一個函數，但限制 3≤ x≤5。 如果你還是回答「最小值 -1」，那就錯了，因為 x=2 根本不在 3 到 5 之間，你算的那個最低點不在允許的範圍裡。在 3≤ x≤5 上，函數一路往上爬，最小值發生在 x=3：f(3)=9-12+3=0。 同一個函數、同一條拋物線，只是換了範圍，…
2026-10-12把後面那個近似值平方，得到約 0.600005，跟 0.6 的差只來自捨入。 決定係數 R^2 從迴歸的平方和算出來，相關係數 r 則從離均差的乘積算出來，為什麼結果會對上？把資料各自減掉平均後，就能用兩條向量的夾角解釋：r=cosθ，而 R^2=cos^2θ。R^2 仍是統計量，角度給了我們另一種讀法。 先約定條件：這篇用同一批資料做含截距的簡單線性最小平方法迴歸，x、y 都不是常數。缺少截距，…
2026-09-28老實說，如果只是要應付段考，這樣背真的夠用😅。 但每次教到這裡，我心裡都會冒出幾個小小的問號：好端端的 360 不用，為什麼要換成一個看起來醜醜的 π？那個「1 弧度大約 57.3 度」是誰規定的？而且最詭異的是，換過去之後，弧長、面積、微分、極限，一整排公式突然全部變漂亮。這中間是不是有人在偷偷幫我們？😎 今天我們就來聊聊弧度量。我們會發現，弧度根本不是「另一種量角度的單位」，它是一個把單位…
2026-10-12√(x^2-25)>x-1。敢不敢兩邊直接平方？平方得到 x^2-25>(x-1)^2，解出 x>13。數字乾淨漂亮，但答案是錯的：x≤ -5 那整段憑空消失了。 這裡少的是平方前的正負判斷。右邊 x-1 可以為負，不能把原不等式和平方後的不等式直接當成同一個條件😅 為什麼平方會出事 平方會丟掉正負號資訊，先看這個簡單的例子： 一個明明成立的「大於」，平方後竟然變「小於」。所以規則很簡單：只有兩…
2026-09-02有一條捷徑叫「比較係數」：既然兩個式子的解區間一樣，那就假設它們成比例，把係數對一對收工。它快，但它有前提。前提不成立的時候，它會無聲無息地給你錯答案。 先把題目整理乾淨 第一步永遠一樣：全部移到同一邊，通分。 分子展開別急，一步一步來：(bx+1)(x-1)=bx^2-bx+x-1，所以 ax-(bx^2-bx+x-1)=-bx^2+(a+b-1)x+1。對。 快路：根與係數（有條件） 解區間的…
2026-09-14真實工作不會這樣做，一行程式就解決了。 但第一次寫迴歸的程式，最危險的地方不是寫錯，而是跑出數字就相信它。程式不會告訴你它有沒有搞錯係數順序、有沒有用錯分母；它只會很篤定地印出一個數字。 所以這篇的做法是：先挑一組小到你可以手算的資料，把電腦算出來的每一個數字都跟手算的答案對一次。對上了，你才有資格相信它在別的資料上也對。 先挑一組可以對帳的資料 這組資料的手算答案（x̄=3、ȳ=4，所以 Σ(…
2026-10-13兩條迴歸線… 同一組資料，x 的單位從「小時」換成「分鐘」，最適直線的斜率就從 2 掉到 0.033。兩個數字都對，線也還是同一條線，變的只是單位。 而另一種東西完全不動：換單位前後，相關係數一模一樣。這兩件事擺在一起，就會逼出一條式子，它順便還解掉統計學裡最被誤解的一句話：「向平均數迴歸」。 這條式子不是巧合 n 筆資料 (x_1,y_1),(x_2,y_2),ṡ,(x_n,y_n)，平均記作…
2026-09-19x^200 除以 x^2+x+1，直接長除會留下很長一串計算。先觀察除式：乘上 x-1，剛好得到 x^3-1。 下面的 (x) 表示「除以 D(x) 後餘式相同」。這裡的 D(x)=x^2+x+1： 然後把 x^200 拆開： x^2 跟除式一樣是二次，還不能當最後的餘式。再用 x^2≡-x-1 降一次，才得到 -x-1。看到次方變小很容易就想停筆，這裡再多看一眼次數😅 那為什麼能拿 1 替換 …
2026-09-02兩條迴歸線…｜➡️ 下一篇：SSE 偏微分與 Hessian 最小值檢定 一條配好的迴歸直線，報告裡寫著 R^2=0.6。這個數字不算漂亮，但也不算難看，多數人看到這裡就收工了。 可是把殘差一個一個算出來、按 x 的順序排成一列，你可能會看到它們不是亂的：左邊負、中間正、右邊又負。那是一個倒 U 的形狀。 R^2 完全不會告訴你這件事。它是把所有殘差平方後加總起來的一個數字，加總這個動作會把「排列…
2026-10-13算 ∫_0^3 x^2 dx：找反導數 F(x)=(x^3)/(3)，代上下限相減，答案是 9。三行結束。 但如果不知道反導數長什麼樣，你只能回到定義硬算： 到這裡還得先知道 Σ_i=1^ni^2=(n(n+1)(2n+1))/(6)（這正是 Faulhaber 公式 的特例之一）才有辦法往下走。同一題，一條路三行，另一條路十幾行。 微積分基本定理（Fundamental Theorem of C…
2025-12-15開車的時候儀表板上至少要看兩個數字：時速與加速度。時速告訴你車子現在跑多快，加速度告訴你這個速度自己在變大還是變小。只看時速會漏掉一整個維度，因為「速度 100 正在增加」和「速度 100 正在減少」是兩種完全不同的處境。 函數的圖形也有同樣兩層資訊。一階導數講的是函數值怎麼變，二階導數講的是「一階導數自己在怎麼變」。你已經很會用 f'(x)=0 找出圖形上「平的地方」，也會左右各代一個數字確認那…
2026-10-12公式都是對的，段考硬背也不太會出事。 可是背的時候，你心裡是不是有幾個小小的聲音？振幅為什麼要掛絕對值，直接寫 A 會怎樣？中線那條公式怎麼長得那麼像「平均數」？對稱軸那個 x=((π)/(2)+kπ-φ)/(ω)，ω 為什麼只除一次、而且還除在最後？還有最實際的那句：這四條，考場上到底要背幾分鐘才寫得完？🙃 今天我們就來聊聊這四個特徵。我們會發現它們其實只有兩類，分清楚之後，公式在考場上三十秒…
2026-10-12先講一件很現實的事。課本講到「數據分析」這一章，流程大概是這樣：散佈圖畫一畫，相關係數那條公式抄下來，最適直線的 a、b 再抄一組，然後開始算例題。老實說，段考想拿分，這樣真的夠了😅。公式背熟一點，題目照樣全對，看起來一切都很和平。 可是你心裡是不是有幾個問號卡在那裡？😎 比如：r 算出來是 0.86，然後呢？這數字到底算「很強」還是「還好」？那條「最適直線」，到底是誰規定它「最適」的？我如果…
2026-10-12sin 30^∘、cos 45^∘、tan 60^∘ 這些值，你從高一背下來之後就可以用一輩子。那張表的問題不在表上，在題目問的角度上：表只列了三個特殊角跟它們的親戚，而 sin 75^∘、cos 15^∘ 這種東西不在裡面，偏偏考試很愛出。 75^∘ 與 15^∘ 有一個共同點：它們都能拆成兩個表上有的角相加或相減，75^∘=45^∘+30^∘、15^∘=45^∘-30^∘。看到這個，第一個念頭…
2026-10-12把計算機切到弧度模式，輸入 sin 0.1，螢幕會吐出一串數字：0.099833…。這個動作你按過幾百次，快得像是理所當然，但整件事其實有點離奇：計算機的電路不認識「對邊除以斜邊」，它手上只有加減乘除和比較大小。真正跑進處理器裡的，是把 sin 換成一串加減乘除。 這裡先用泰勒展開理解多項式近似。真實的計算機或函式庫可能採取不同演算法，也可能先把角度縮到較小的範圍，再用控制過誤差的多項式計算；不能…
2026-10-12把某個港口的潮位對時間畫成圖，是一條上下起伏的曲線。把彈簧下端掛的重物，它的高度對時間畫成圖，也是一條上下起伏的曲線。摩天輪上某個座位的離地高度，同樣是。 三件看起來毫無關係的事，用的是同一個數學模型： 這不是巧合。它們的成因一樣：某個東西繞著一個中心來回，而「繞圈的投影」就是正弦。 四個參數各自負責什麼 這個模型裡有四個可以調的數字，每一個都對應一個你看得出來的現象： B 是中線。圖形上下振動時…
2026-10-12課本講到三角函數的圖形，標準流程是這樣：先丟給你 y=Asin(ω x+φ)+B，然後列出「振幅 =|A|、週期 =(2π)/(|ω|)、左右平移看 φ」，接著例題就開始了。老實說，段考想過，背這三行真的夠😅。 但每次上到這裡，我心裡都會冒出幾個問號：那個 (2π)/(ω) 為什麼不是乾脆的 2π？先伸縮還是先平移，為什麼老師講的順序跟我自己算的剛好相反？φ 前面那個負號，到底要往左還是往右？還…
2026-10-12但你心裡是不是有個聲音：那 sin^2 x 呢？課綱根本沒寫平方啊，為什麼考試可以考？如果換成四次方、六次方，甚至 tan 的次方，我該怎麼判斷？🙃 今天我們就來聊「次方版」的週期。看完你會發現，這根本不是新東西，只是二倍角公式換了一件衣服。 先說一個真實場景。 上週有位同學傳訊息來，問題很短但很銳利： 「三角函數平方的週期，課綱裡面沒有啊，他為什麼可以考平方呢？平方週期怎麼判斷？如果他是其他的…
2026-10-12這個式子第一次看到會覺得怪。左邊是 3θ 的正弦，右邊卻冒出了 sin^3θ，同一個角的平方、三次方，怎麼會跑進來？ 而且它不是對稱的：sin 的版本是 3 配 -4，cos 的版本是 4 配 -3，兩個數字剛好顛倒。 會出現三次方其實有很直接的原因：三倍角是「三個 θ 疊在一起」，每展開一層就多帶一個因子；等到最後用平方關係把 cos 全部換成 sin，剩下的東西自然就是三次的。 推導：只是多做…
2026-10-12但如果你在考卷上把這條線寫成「用 y 預測 x 的最適直線」，那一格是零分，因為那條線不是移項來的，它是拿同一批點重新配出來的另一條線。 移項只是換寫法，配線是重新配一條 y=2x+1 移項確實會得到 x=(1)/(2)y-(1)/(2)，這是國中一元一次方程式，沒錯。但注意：你只是把同一條線換個寫法，線本身一根頭髮都沒動。 「用 y 預測 x 的最適直線」是另一件事。它是把資料點的 x 當成被預…
2026-09-25(-3)+(-5)，答案寫成了 8。先別急著在旁邊補一句「粗心」，把原來的步驟留下來：你是漏抄負號、把加法和乘法混在一起，還是不確定負數相加要往哪邊走？同一個錯誤答案，原因可能不同。 我會先請你把想法說出來。在數線上從 -3 出發，加上 -5 是往左走 5 格，停在 -8。如果你原本想的是「負負得正」，我們就找到要分清楚的地方了：那條規則在講乘法，這題是加法😅 考卷上的叉叉先拿來找線索，不用立刻…
2025-06-04這不是數學，是英文句子的骨架。主詞、動詞、受詞。 會說「這條式子很眼熟」的人，通常文法也記得比較牢。原因不神祕：死背靠記憶，記憶會衰退；理解靠邏輯，邏輯用不壞。而英文的核心文法，大部分真的可以被寫成這種樣子：骨架不動，內容可換。 我在德國慕尼黑工大（TUM）讀數學的時候，課堂上幾乎都在做符號操作：教授寫一個定義，學生推導性質，性質變成定理，定理再套到下一個問題。後來我把同一種想法搬到英文文法上。如…
2025-12-25"The box of chocolates are on the table." 這句錯在哪？主詞是 box（不是 chocolates），中間隔了一串修飾語，動詞就跟著被拉走了。 這類錯誤通常出在順序：先學比較級、再回頭補主詞動詞一致，句子就會一直漏那一兩個字。老師改到後來，學生自己都覺得英文是「天生的障礙」，但真正的問題是沒有一張順序對的地圖。 為什麼順序比進度重要 課本的編排不一定適合每個…
2026-05-11學不好，通常是把時間浪費在低效的方法上（像反覆閱讀、遺忘後重學），很少是「沒時間」或「不夠聰明」。 這篇把學習視為一個「系統」而非單一技巧的集合，談兩件事：如何提高編碼與提取的效率，以及如何自我管理時間、任務與注意力。 先破除三個迷思 時間與智商迷思：問題在方法，不在天分。 學習風格迷思：大腦在「多重模式」下學得最好。 「讀過＝學會」迷思：能提取，才算學會。 我以前以為自己「不是讀書的料」，直到大…
2025-10-08我教數學 8 年，發現數學好的學生學英文特別快。不是因為他們聰明，是因為他們會拆解。 這件事困擾了我很久。剛開始教書的時候，我以為是巧合。班上數學前幾名的學生，英文成績通常也不差。我心想，也許是這些學生本來就用功，什麼科目都認真。但後來我帶了更多屆，看到更多案例，開始覺得不對勁。有些學生數學很強但其他科目普普通通，偏偏英文就是比同齡人好。 直到我自己去德國讀數學、在 Amazon 做資料科學，才想…
2026-02-23你是家長或學生，搜了一堆家教、補習班、線上課程，越看越頭痛。 別浪費時間。這篇幫你 30 秒釐清自己卡在哪，然後告訴你怎麼找到對的幫忙。 30 秒自我評估 先回答三個問題。不用想太久，直覺就好。 問題一：你的數學成績落在哪個區間？ A. 40 分以下：基礎有洞，上課聽不太懂 B. 40-70 分：大概懂，但考試常常粗心或來不及 C. 70 分以上：想再往上衝，但不知道卡在哪 問題二：你準備考試的方…
2026-04-10