威威學長｜高一多項式系列（完）
📚 系列總覽：高一多項式系列地圖｜⬅️ 上一篇：什麼時候可以「比較係數」而不翻車？
$(a-1)x<6$。條件只有一句：這個不等式的解是 $x>-2$，求 $a$。
左邊是「小於」，解集卻寫成 $x>-2$。把係數除過去時，不等號反向了，所以 $a-1<0$；$a-1=0$ 只會得到恆成立的 $0<6$，也不合題意。於是
$$x>\frac{6}{a-1}\implies \frac{6}{a-1}=-2 \implies 6=-2(a-1)\implies a=-2$$
驗算：$a=-2$ 時原式是 $-3x<6$，即 $x>-2$ ✓。
這題先用不等號方向判斷 $a-1<0$，再用端點 $-2$ 求 $a$。如果一開始就除以 $a-1$ 卻不管正負，後面的答案很容易朝反方向走😅
括號裡塞一整條 $5-2x$
第二種怪題長這樣：已知 $f(5-2x)>0$ 的解是 $-4<x<5$，求 $f(x)>0$ 的解。
題目沒有說 $f$ 是二次函數，不要自行設成 $ax^2+bx+c$。我們只需要追蹤輸入 $5-2x$ 的範圍。
第一條路：把括號當原料。 $f(\ )$ 是一台機器，括號裡丟進去的東西是原料。題目說的是：原料 $=5-2x$ 時要讓機器輸出大於 $0$，控制變數 $x$ 得待在 $-4$ 到 $5$ 之間。
那就看看 $x$ 在這段範圍裡跑的時候，原料跑到哪去：$x=-4$ 時原料是 $5-(-8)=13$；$x=5$ 時原料是 $5-10=-5$。$x$ 前面的係數帶負號，所以範圍整個反向，原料落在 $-5$ 與 $13$ 之間。
翻譯回來：輸入值落在 $-5$ 到 $13$ 之間時，機器輸出大於 $0$。也就是 $f(x)>0$ 的解是 $-5<x<13$。
第二條路：逆向還原。 設 $f(x)>0$ 的解是 $\alpha<x<\beta$。那 $f(5-2x)>0$ 就是把解裡的 $x$ 換成整包 $5-2x$：
$$\alpha<5-2x<\beta \implies \alpha-5<-2x<\beta-5 \implies \frac{5-\beta}{2}<x<\frac{5-\alpha}{2}$$
（同除 $-2$：變號、端點上下翻轉。）對照題目給的 $-4<x<5$：
$$\frac{5-\beta}{2}=-4 \implies \beta=13;\qquad \frac{5-\alpha}{2}=5 \implies \alpha=-5$$
一樣是 $-5<x<13$。
兩條路都在追同一個量：$f$ 收到的輸入 $5-2x$。它是遞減的一次式，所以 $x$ 往右走，輸入反而往左走。代完端點，把小的寫前面，再確認兩端都不包含，這一步比背「反向」更穩🙂
706 票選 10 個人，幾票「穩當選」？
假設一次選舉共投出 $706$ 張有效票，每票只投一人，取票數最高的 $10$ 人，同票時不能保證入選。你至少要拿幾票，才不受其他人的配票方式影響？
我會先試著找讓自己落選的配票法：如果另外 $10$ 個人都能追平或超過你，名額就不夠分。這裡必須把你自己也算進去，一共 $11$ 個人。
設你拿 $x$ 票。要讓這 $11$ 個人每人至少都有 $x$ 票，總票數至少要 $11x$。因此只要
$$11x>706 \implies x>64.18\ldots \implies x=65$$
驗算正好把臨界值夾住：
- 拿 $65$ 票：扣掉你的票，剩下 $641$ 票；要讓 $10$ 個對手各拿至少 $65$ 票，得用 $650$ 票，辦不到。所以最多 $9$ 個人追平或超過你。
- 拿 $64$ 票：你和 $10$ 個對手先各拿 $64$，共 $704$ 票。剩下 $2$ 票給其中一名對手，仍有多名候選人同票爭最後的名額，你不能保證入選。
答案 $65$。
在「每票只投一人、選得票最高的若干人、同票不保證入選」的規則下，最低保證票數是嚴格大於 $\dfrac{\text{總票數}}{\text{應選人數}+1}$ 的最小整數。換成複選制或其他同票規則，就要重新檢查，不能看到「保證」兩個字便套這條。
換你動手
練習 1：若 $(2a-1)x\leq 6$ 的解為 $x\geq -2$，求 $a$。
點開看詳解
整理式除以 $(2a-1)$ 後解是 $x\geq -2$，方向從 $\leq$ 變 $\geq$，代表 $2a-1<0$。
$$\frac{6}{2a-1}=-2 \implies 6=-2(2a-1) \implies 6=-4a+2 \implies a=-1$$
驗算：$a=-1$，$-3x\leq 6$，解 $x\geq -2$ ✓，且 $2a-1=-3<0$ ✓。
帶等號（$\leq$ / $\geq$）不影響推理：變號看的是除以負數，跟等號無關。
練習 2：已知 $f(3-x)>0$ 的解為 $0<x<4$，求 $f(x)>0$ 的解。
點開看詳解
原料 $=3-x$。$x=0$ 時原料 $=3$；$x=4$ 時原料 $=-1$。$x$ 帶負係數，範圍反向：原料介於 $-1$ 與 $3$。
所以 $f(x)>0$ 的解是 $-1<x<3$。
用逆向法複核：設解 $\alpha<x<\beta$，$\alpha<3-x<\beta \implies 3-\beta<x<3-\alpha$，對照 $0<x<4$ 得 $3-\beta=0 \implies \beta=3$；$3-\alpha=4 \implies \alpha=-1$ ✓。
兩法同答案。代數題養成「雙法複核」的習慣，考試等於自帶驗算。
練習 3：某班 41 人投票選 3 名班代，每人一票（可投自己），總票數 41。至少幾票才「穩當選」？
點開看詳解
最壞情況：4 個人（你加 3 個對手）全部同票。
$$4x>41 \implies x>10.25 \implies x=11$$
你拿 $11$ 票後，若還有 $3$ 個對手各拿至少 $11$ 票，連你在內就需要至少 $44$ 票，超過總票數 $41$。所以最多只有 $2$ 個對手能追平或超過你，你一定進前 $3$。拿 $10$ 票則不保險：你和 $3$ 個對手先各拿 $10$ 票，剩下 $1$ 票再給其中一個對手，就會留下同票爭席的情況。
答案：$11$ 票。對一下通式：$\dfrac{41}{3+1}=10.25$，超過它的最小整數是 $11$ ✓。
打開你的講義，把多項式不等式那一章的題目分成三堆：不等號轉彎的、括號裡塞一包函數的、講「至少」「穩」的。每一堆挑一題重做，但先不准算，用中文寫下「這題到底在問什麼」，再開始列式。
哪一題你翻譯不出來，就把你那句中文寫法寄給我，我們來看是句子讀錯了，還是式子少了一個等號。
