y = A sin(ωx+φ) + B 的四大特徵：振幅、中線、對稱軸、對稱中心

威威學長｜高二三角函數系列

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課本講到 $y=A\sin(\omega x+\varphi)+B$，標準動作是丟給你一張表：振幅、週期、相位、中線，四個名詞並排寫好，然後開始算例題😅。公式都是對的，段考硬背也不太會出事。可是背的時候，你心裡是不是有幾個小小的聲音？振幅為什麼要掛絕對值，直接寫 $A$ 會怎樣？中線那條公式怎麼長得那麼像「平均數」？對稱軸那個 $x=\frac{\frac{\pi}{2}+k\pi-\varphi}{\omega}$，$\omega$ 為什麼只除一次、而且還除在最後？還有最實際的那句：這四條，考場上到底要背幾分鐘才寫得完？🙃 今天我們就來聊聊這四個特徵。我們會發現它們其實只有兩類，分清楚之後，公式在考場上三十秒就能自己推回來，一條都不用背。

一、先分類：外層管縱向，內層管橫向

看這個式子： $$y=A\sin(\omega x+\varphi)+B$$ 四個參數 $A$、$\omega$、$\varphi$、$B$，站位不一樣，管的事也不一樣：

外層：$A$ 和 $B$，掛在 $\sin$ 的外面。它們管的是「$y$ 有多大」，也就是縱向。
內層：$\omega$ 和 $\varphi$，躲在 $\sin$ 的括號裡。它們管的是「$x$ 在哪裡」，也就是橫向。

先把四個字母的名字對上，免得看題目時卡住：$A$ 是振幅（圖形上下彈的幅度有多大）、$\omega$ 是角頻率（波被壓得多扁，也就是週期）、$\varphi$ 是相位（波形左右跑了多少）、$B$ 是中線高度（整條波上下搬到哪個高度）。這個分法為什麼重要？因為這兩組互不干擾。你問最高點多高、中線在哪，答案裡不會出現 $\omega$ 跟 $\varphi$；你問對稱軸在 $x$ 等於多少，答案裡也不會出現 $A$ 跟 $B$。 👑 威威說重點： 外層管高度，內層管位置。縱向的問題只看 $A$、$B$；橫向的問題只看 $\omega$、$\varphi$。考場上最常見的死法，就是把兩層混在一起算。有同學看到 $y=2\sin(4x-\pi)+5$，要問對稱軸，前幾步其實做得很漂亮：令 $4x-\pi=\frac{\pi}{2}+k\pi$，解出 $x=\frac{3\pi}{8}+\frac{k\pi}{4}$。到這裡都對。然後他「順手」把那個 $+5$ 也塞進分子、把 $2$ 也除進去，變成 $x=\frac{\frac{3\pi}{8}+5}{2}+\frac{k\pi}{8}$。整題崩掉😅。 $A$ 跟 $B$ 從頭到尾都不該出現在 $x$ 的答案裡，因為它們管的是高度、不是位置。你只要動筆前問自己一句「我現在算的是縱向還是橫向」，這種錯就沒機會發生。

二、縱向：振幅與中線（只看 $A$ 跟 $B$）

推導只有三步，而且每一步都只是國中的不等式。 第一步，從 $\sin$ 的範圍出發。 不管括號裡那坨多複雜，$\sin$ 吐出來的值永遠卡在 $-1$ 到 $1$ 之間： $$-1\le\sin(\omega x+\varphi)\le 1$$ 這條的來源其實是單位圓：圓上的點，$y$ 座標最高就是 $1$、最低就是 $-1$（想複習可以看廣義角與單位圓）。 第二步，乘上 $A$。 $A$ 可以是負的，但我們懶得討論正負，直接用絕對值一次收掉： $$-|A|\le A\sin(\omega x+\varphi)\le |A|$$ 第三步，加 $B$。 三邊同時加 $B$，範圍整體往上搬： $$-|A|+B\ \le\ A\sin(\omega x+\varphi)+B\ \le\ |A|+B$$ 於是答案就攤在那裡了。 👑 威威說重點（縱向黃金公式）： $$\text{最大值 } M=|A|+B,\qquad\text{最小值 } m=-|A|+B$$ $$\text{振幅}=\frac{M-m}{2}=|A|,\qquad\text{中線}=\frac{M+m}{2}=B$$ 中間那兩條也驗一下：$\frac{(|A|+B)-(-|A|+B)}{2}=\frac{2|A|}{2}=|A|$ ✓；$\frac{(|A|+B)+(-|A|+B)}{2}=\frac{2B}{2}=B$ ✓。振幅會把 $B$ 消掉，中線會把 $A$ 消掉，就是這麼乾淨。順便說個小故事。「振幅」這個詞其實是從物理借來的：彈簧、單擺、聲波、交流電，走出來都是同一個形狀，物理學家叫它簡諧運動（simple harmonic motion），而 $A$ 就是它的振幅，也就是「離開平衡位置最遠多遠」。數學課本只是借了這個名字來用🙂，中線就是那個「平衡位置」。 小抄：把括號遮住。 看到 $\sin(\cdots)$，整包遮起來，當成一顆燈泡，它只會亮 $+1$ 或 $-1$。最高點就是「$+1$ 的時候」，最低點就是「$-1$ 的時候」。縱向的事三十秒解決。實際跑一遍：$y=5\sin\left(x^{100}+e^x\right)-2$。不要管括號裡寫的是什麼，最大值就是 $5+(-2)=3$，最小值是 $-5+(-2)=-7$，中線 $y=-2$。那個組合永遠吐不出超過 $\pm1$ 的東西，所以括號裡塞多凶都一樣，就算換成年級數、換成 $\log$、換成你還沒學過的東西，結論都成立😎。 ⚠️ 學長的警告： 振幅是 $|A|$，不是 $A$；最大值是 $|A|+B$，不是 $A+B$。拿 $y=-3\sin x+2$ 試試：$A=-3$、$B=2$，所以最大值 $M=|A|+B=3+2=5$、最小值 $m=-3+2=-1$。如果你偷懶寫 $A+B$，會得到 $-3+2=-1$，那是你的最小值，不是最大值。一個負號就這樣把你那格分數收走，而且填充題還不給部分分😔。

三、橫向：對稱軸與對稱中心（看 $\omega$ 跟 $\varphi$）

橫向的處理原則很簡單：把括號裡那整包角度，看成一個整體。 $$\theta=\omega x+\varphi$$ $\sin\theta$ 這條最原始的波形，我們太熟了。它在 $\theta=\frac{\pi}{2}$ 攻頂（$\sin=1$），在 $\theta=\frac{3\pi}{2}$ 探底（$\sin=-1$），在 $\theta=0,\pi,2\pi$ 這些地方穿過中線（$\sin=0$）。而且這些位置每隔 $\pi$ 就重演一次。 對稱軸，是通過波峰或波谷的那條鉛直線（沿著它把圖左右對折，兩邊會重合）。波峰在 $\theta=\frac{\pi}{2}+2k\pi$、波谷在 $\theta=\frac{3\pi}{2}+2k\pi$，這兩個可以合併寫成 $\frac{\pi}{2}+k\pi$。所以： 👑 威威說重點（對稱軸）： $\omega x+\varphi=\frac{\pi}{2}+k\pi$，解出 $$x=\frac{\frac{\pi}{2}+k\pi-\varphi}{\omega},\qquad k\in\mathbb{Z}$$ 在這些 $x$ 上面，函數值一定是最大值或最小值（$\sin$ 在這些角度不是 $1$ 就是 $-1$）。$A>0$ 的時候，$\theta=\frac{\pi}{2}+2k\pi$ 那組對到最大值；$A<0$ 的時候反過來。 對稱中心，是圖形跟中線的交點（同時也是反曲點，凹凸性換邊的地方二階導數與凹凸性）。$\sin\theta=0$ 就發生在 $\theta=k\pi$： 👑 威威說重點（對稱中心）： $\omega x+\varphi=k\pi$，解出 $$x=\frac{k\pi-\varphi}{\omega},\qquad k\in\mathbb{Z}$$ 而這些點的 $y$ 座標，全部等於中線高度 $B$。對稱中心其實就是「整條中線上一格一格的點」，題目通常寫成 $\left(\frac{k\pi-\varphi}{\omega},\,B\right)$。那怎麼辦呢？🙃如果你連這兩條都不想記，記一句就夠：要求軸，就讓整包角度落在波峰或波谷的角度；要求中心，就讓它落在穿過中線的角度。 式子自己會長出來。順便給你一個節奏感，算完可以自己對答案：

對稱軸到隔壁對稱軸：半個週期 $\frac{T}{2}=\frac{\pi}{\omega}$
對稱中心到隔壁對稱中心：也是半個週期 $\frac{\pi}{\omega}$
對稱軸到隔壁對稱中心：四分之一個週期 $\frac{T}{4}=\frac{\pi}{2\omega}$

這個節奏很固定：軸、中心、軸、中心，間隔輪流是「大、小、大、小」。如果你算出來的相鄰軸距不是 $\frac{\pi}{\omega}$，八成是過程裡多除或少除了一個 $\omega$。還有一個很多人忽略的檢查點：對稱中心一定落在中線上。 因為中心的定義就是「圖形穿過中線的地方」，所以它的 $y$ 座標只能是 $B$。哪天你算出一個對稱中心，$y$ 座標不等於中線高度，那一定是前面某一步的 $B$ 抄錯了。

四、為什麼「只減 $\varphi$」，不是「減 $\frac{\varphi}{\omega}$」？

這題是學生在對話裡真的追問過的，值得單獨一節。他的疑問是：「向左移動再壓縮，對稱軸應該是 $\frac{\frac{\pi}{2}+k\pi-\frac{\varphi}{\omega}}{\omega}$ 吧？為什麼課本都只有減 $\varphi$、沒有 $-\frac{\varphi}{\omega}$？」答案很乾脆：兩種順序算出來的結果一樣。 我們走兩次。 走法一：先壓縮，再平移。 基準圖 $y=\sin\theta$ 的對稱軸在 $\theta=\frac{\pi}{2}+k\pi$。先壓縮 $\omega$ 倍（把 $x$ 換成 $\omega x$），軸的位置跟著縮水成 $\frac{\frac{\pi}{2}+k\pi}{\omega}$。再把圖往左移 $\frac{\varphi}{\omega}$，軸跟著左移： $$x=\frac{\frac{\pi}{2}+k\pi}{\omega}-\frac{\varphi}{\omega}$$ 走法二：先平移，再壓縮。 先把 $\sin\theta$ 往左移 $\varphi$，軸跑到 $\frac{\pi}{2}+k\pi-\varphi$。再壓縮 $\omega$ 倍，軸變成： $$x=\frac{\frac{\pi}{2}+k\pi-\varphi}{\omega}$$ 兩條路通分之後收在同一個分數。所以課本寫的那個「只減 $\varphi$」是對的。那學生那個多出來的 $-\frac{\varphi}{\omega}$ 是怎麼冒出來的？看他的式子：$\frac{\frac{\pi}{2}+k\pi-\frac{\varphi}{\omega}}{\omega}$，展開是 $\frac{\frac{\pi}{2}+k\pi}{\omega}-\frac{\varphi}{\omega^2}$。他把平移量 $\varphi$ 除了兩次 $\omega$，先在括號裡除一次，又被外面的分母除一次。

👑 學長的口訣：$\varphi$ 只除一次 $\omega$，而且是在最後才除。 不管你是先壓縮還是先平移，對稱軸的 $x$ 座標永遠長成「（角度的基準值 $-$ 平移量）$\div\ \omega$」。分子裡 $\varphi$ 出現一次，分母裡 $\omega$ 出現一次，就這麼多。多一個 $\omega$ 就是重複判刑😅。至於「先壓縮還是先平移」這個順序本身，其實很像「先刷牙再洗臉」跟「先洗臉再刷牙」，聽起來差不多，但如果你把牙膏擠在手上就會發現差很多🤣。順序不同，中間那一步的「平移量」單位就不一樣。把上一篇的語言接回來：走法一的「左移 $\frac{\varphi}{\omega}$」就是 $\sin\big(\omega(x-h)\big)$ 裡的 $h$，走法二的「左移 $\varphi$」就是 $\sin(\omega x-k)$ 裡的 $k$。同一條曲線，一個說「左移 $\frac{\varphi}{\omega}$」，一個說「左移 $\varphi$」，兩個都對，因為它們講的是不同的順序。所以題目問你「平移量」的時候，永遠要先看清楚它站在哪一種順序上（不熟的話，回去看圖形變換的黃金定律）。

🌰 範例解析

範例 1：$y=2\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)+1$，求最大值、最小值、振幅、中線、對稱軸與對稱中心。 縱向：$A=2$、$B=1$，所以 $M=2+1=3$、$m=-2+1=-1$，振幅 $2$，中線 $y=1$。橫向（令整包角度 $\theta=3x-\frac{\pi}{4}$）：

對稱軸：$3x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k\pi$，解出 $x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{3}$
對稱中心：$3x-\frac{\pi}{4}=k\pi$，解出 $x=\frac{k\pi}{3}+\frac{\pi}{12}$，$y$ 座標一律是 $1$
學長邏輯：縱向用遮眼法，橫向令整包角度等於 $\frac{\pi}{2}+k\pi$（軸）或 $k\pi$（中心）。兩層分開做，不要互相污染。隨手驗一下：取 $k=0$ 的軸 $x=\frac{\pi}{4}$，代回去角度是 $3\cdot\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$，$\sin=1$，$y=2+1=3=M$ ✓；取 $k=0$ 的中心 $x=\frac{\pi}{12}$，角度是 $\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}=0$，$y=1=B$ ✓。再看節奏：相鄰兩條軸相差 $\frac{\pi}{3}$，正好是 $\frac{T}{2}=\frac{\pi}{3}$ ✓

範例 2：$y=A\sin(\omega x+\varphi)+B$，其中 $A>0$、$\omega>0$、$|\varphi|<\frac{\pi}{2}$。已知最大值 5、最小值 1、相鄰兩對稱軸相距 $\frac{\pi}{2}$，且 $x=\frac{\pi}{6}$ 是一條對稱軸。求 $A$、$B$、$\omega$、$\varphi$。縱向直接反推： $$A=\frac{5-1}{2}=2,\qquad B=\frac{5+1}{2}=3$$ 橫向先抓 $\omega$：相鄰對稱軸距離是半個週期，$\frac{T}{2}=\frac{\pi}{2}$，所以 $T=\pi$，$\omega=\frac{2\pi}{\pi}=2$。最後用對稱軸列式定 $\varphi$： $$2\cdot\frac{\pi}{6}+\varphi=\frac{\pi}{2}+k\pi\ \Longrightarrow\ \frac{\pi}{3}+\varphi=\frac{\pi}{2}+k\pi\ \Longrightarrow\ \varphi=\frac{\pi}{6}+k\pi$$ 配合 $|\varphi|<\frac{\pi}{2}$，取 $k=0$ 得 $\varphi=\frac{\pi}{6}$。答案： $$y=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)+3$$

學長邏輯：這題是「反推四參數」的標準流程。$A$、$B$ 從最值來，$\omega$ 從軸距來，$\varphi$ 從某一條對稱軸來。三個步驟各自獨立，誰先誰後都不影響。驗算：最大值 $2+3=5$ ✓、最小值 $-2+3=1$ ✓；對稱軸方程式是 $x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}$，代 $x=\frac{\pi}{6}$ 進去角度剛好是 $\frac{\pi}{2}$，$y=5$ 是最大值 ✓

範例 3：$y=-3\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)+4$，求最值與振幅。並判斷 $x=\frac{\pi}{12}$ 是對稱軸還是對稱中心，該點的 $y$ 是多少？ 縱向：$|A|=3$、$B=4$，所以 $M=3+4=7$、$m=-3+4=1$，振幅 $3$，中線 $y=4$。判斷 $x=\frac{\pi}{12}$：整包角度 $2\cdot\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}$，落在 $\frac{\pi}{2}+k\pi$ 上，所以是對稱軸。該點 $y=-3\sin\frac{\pi}{2}+4=-3+4=1$。

學長邏輯：$A=-3$ 是負的，只會把波峰波谷上下顛倒，對稱軸的位置一點都不受影響。所以求位置時先不管 $A$ 的正負，求完再判斷誰大誰小。這題 $A<0$，所以角度 $\frac{\pi}{2}$ 對到的是最小值 $1$；隔半個週期、角度 $\frac{3\pi}{2}$ 的那條軸，才是最大值 $7$（位置在 $x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{2}=\frac{7\pi}{12}$，代回去 $2\cdot\frac{7\pi}{12}+\frac{\pi}{3}=\frac{3\pi}{2}$ ✓）

範例 4：$y=3\sin 2x$，$x=\frac{\pi}{4}$ 和 $x=\frac{\pi}{2}$ 分別是對稱軸還是對稱中心？ $x=\frac{\pi}{4}$：角度 $2\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$，是對稱軸，$y=3$（最大值）。$x=\frac{\pi}{2}$：角度 $2\cdot\frac{\pi}{2}=\pi$，是對稱中心，$y=0$，中心點座標 $(\frac{\pi}{2},0)$。

學長邏輯：判斷軸還是中心，看的是整包角度 $\theta$，不是看 $x$。$\theta$ 落在 $\frac{\pi}{2}+k\pi$ 就是軸，落在 $k\pi$ 就是中心。很多同學盯著 $x=\frac{\pi}{4}$ 在那邊想「$\frac{\pi}{4}$ 是特殊角啊」，方向錯了，你該看的是 $\frac{\pi}{2}$。

範例 5：$y=3\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)+2$，求在 $0\le x\le\pi$ 範圍內所有的對稱軸與對稱中心。 先寫通式，再挑落在範圍裡的 $k$。對稱軸：$2x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+k\pi$，得 $2x=\frac{5\pi}{6}+k\pi$，$x=\frac{5\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}$：

$k=0$：$x=\frac{5\pi}{12}$ ✓
$k=1$：$x=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{2}=\frac{11\pi}{12}$ ✓
$k=2$：$\frac{17\pi}{12}>\pi$ ✗；$k=-1$：$-\frac{\pi}{12}<0$ ✗

所以範圍內有兩條軸：$x=\frac{5\pi}{12}$ 與 $x=\frac{11\pi}{12}$。對稱中心：$2x-\frac{\pi}{3}=k\pi$，得 $x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}$。$k=0$ 得 $x=\frac{\pi}{6}$、$k=1$ 得 $x=\frac{2\pi}{3}$，再上去就超過 $\pi$ 了。所以對稱中心是 $\left(\frac{\pi}{6},2\right)$ 與 $\left(\frac{2\pi}{3},2\right)$。

學長邏輯：這種題目的關鍵是「先寫通式、再篩 $k$」，不要在腦中想像圖形。而且篩 $k$ 有個小檢查：週期是 $\pi$，區間長度也是 $\pi$，所以軸和中心各自剛好各兩個，數量對不上就代表你篩錯了。驗算：$x=\frac{5\pi}{12}$ 的角度是 $\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}$，$y=3+2=5$（最大值）✓；$x=\frac{11\pi}{12}$ 的角度是 $\frac{11\pi}{6}-\frac{\pi}{3}=\frac{3\pi}{2}$，$y=-3+2=-1$（最小值）✓；$x=\frac{\pi}{6}$ 的角度是 $0$，$y=2$ ✓

🔍 即時小測

$y=4\sin\left(3x-\frac{\pi}{2}\right)+2$ 的最大值、最小值、振幅、中線各是多少？
承上題，它的對稱軸方程式是？
承上題，它的對稱中心是哪些點？
$y=-2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+3$，$x=\frac{\pi}{4}$ 是對稱軸還是對稱中心？該點 $y$ 是多少？
某 $y=A\sin(\omega x+\varphi)+B$（$A>0$、$\omega>0$、$|\varphi|<\frac{\pi}{2}$）最大值 7、最小值 $-1$，相鄰兩對稱軸相距 $\frac{\pi}{3}$，且 $x=\frac{\pi}{12}$ 是一個對稱中心。求 $A$、$B$、$\omega$、$\varphi$。
判斷對錯：「$x=\frac{\pi}{6}$ 是 $y=\sin 2x$ 的對稱中心。」

📖 詳解：

$M=|A|+B=4+2=6$，$m=-4+2=-2$，振幅 $4$，中線 $y=2$。
$3x-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}+k\pi$，所以 $3x=\pi+k\pi$，$x=\frac{\pi}{3}+\frac{k\pi}{3}$。檢查 $k=0$：角度 $3\cdot\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}$，$y=4+2=6=M$ ✓
$3x-\frac{\pi}{2}=k\pi$，所以 $x=\frac{k\pi}{3}+\frac{\pi}{6}$；$y$ 座標一律等於 $2$。寫成點就是 $\left(\frac{k\pi}{3}+\frac{\pi}{6},\,2\right)$。檢查 $k=0$：角度 $\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}=0$，$y=2$ ✓
對稱軸，$y=1$。角度 $\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$，所以是軸；$y=-2\cdot 1+3=1$。因為 $A=-2<0$，這條軸對到的是最小值（最大值是 $2+3=5$）。
$A=\frac{7-(-1)}{2}=4$，$B=\frac{7+(-1)}{2}=3$。$\frac{T}{2}=\frac{\pi}{3}$ 所以 $T=\frac{2\pi}{3}$，$\omega=\frac{2\pi}{2\pi/3}=3$。對稱中心讓整包角度等於 $k\pi$：$3\cdot\frac{\pi}{12}+\varphi=k\pi$，即 $\frac{\pi}{4}+\varphi=k\pi$，配合 $|\varphi|<\frac{\pi}{2}$ 取 $\varphi=-\frac{\pi}{4}$。答案 $y=4\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)+3$。驗算：$M=4+3=7$ ✓、$m=-4+3=-1$ ✓；$x=\frac{\pi}{12}$ 的角度是 $\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}=0$，$y=3=B$ ✓
錯。對稱中心要讓整包角度等於 $k\pi$，$2\cdot\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}$，不是 $\pi$ 的整數倍（$\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\ne 0$）。順帶一提它也不是對稱軸：軸在 $2x=\frac{\pi}{2}+k\pi$，也就是 $x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}$，其中沒有 $\frac{\pi}{6}$。這個點兩者都不是。