威威學長｜高一多項式系列
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除以 $x-1$ 餘 $5$、除以 $x+2$ 餘 $11$、除以 $x-3$ 餘 $-9$。要找除以 $(x-1)(x+2)(x-3)$ 的餘式，先把餘式定理用上：
- 除以 $x-1$ 餘 $5$ ⟹ $f(1)=5$
- 除以 $x+2$ 餘 $11$ ⟹ $f(-2)=11$
- 除以 $x-3$ 餘 $-9$ ⟹ $f(3)=-9$
所以題目真正在問的是：一個二次多項式（餘式次數必須小於 $3$，最高二次）要通過 $(1,5)$、$(-2,11)$、$(3,-9)$ 這三個點，它是誰？
三個不同的輸入值，決定唯一一個次數不超過 $2$ 的插值多項式；三點若共線，二次項係數會是 $0$。這題的答案確實是一條拋物線，我們用兩種方法算。
拉格朗日：幫每個點做一顆專屬開關
拉格朗日（Lagrange）插值法先替每個點做一個基底多項式：在自己的點上等於 $1$，在其餘點上等於 $0$。把它想成只在指定位置打開的開關，公式會比較好讀。
開關怎麼做？看負責 $(1,5)$ 的這顆：
$$\frac{(x+2)(x-3)}{(1+2)(1-3)}$$
分子故意放「其他兩個點」的一次式。你代 $x=-2$ 或 $x=3$，分子直接歸零，整顆開關熄滅；你代 $x=1$，分子變成 $(3)(-2)$，跟分母一模一樣，約分變 $1$，開關亮起。
再把開關乘上它負責的 $y$ 值，三顆全加起來：
$$R(x)=5\cdot\frac{(x+2)(x-3)}{(1+2)(1-3)}+11\cdot\frac{(x-1)(x-3)}{(-2-1)(-2-3)}+(-9)\cdot\frac{(x-1)(x+2)}{(3-1)(3+2)}$$
代入任何一個已知點時，另外兩項歸零，只留下該點的輸出值。你可以先代 $x=1$ 試一次，再去展開。
但當你真的動手通分……分母 $-6$、$15$、$10$，通分成 $30$，分數滿天飛：
$$-\frac{25}{30}(x^2-x-6)+\frac{22}{30}(x^2-4x+3)-\frac{27}{30}(x^2+x-2)$$
同類項係數相加，$x^2$ 係數 $\frac{-25+22-27}{30}=-1$，$x$ 係數 $\frac{25-88-27}{30}=-3$，常數 $\frac{150+66+54}{30}=9$，最後得到：
$$R(x)=-x^2-3x+9$$
通分這一步比較長，尤其第三項前面還有負號。算完先代回三個已知值，別只盯著展開後的係數。
牛頓：像疊積木一樣蓋出餘式
牛頓的做法樸素多了。餘式設成
$$R(x)=a(x-1)(x+2)+b(x-1)+c$$
注意這個假設的形狀：它像積木一樣一層疊一層，而且故意讓代入某些值時前面幾項會集體歸零。然後照順序代入：
代 $x=1$：前面兩項都有 $(x-1)$，歸零後只剩 $R(1)=c=5$。這就是刻意把因式排成這樣的好處。
代 $x=-2$：第一項有 $(x+2)$ 歸零，剩下 $R(-2)=b(-2-1)+5=-3b+5=11$，解得 $b=-2$。
代 $x=3$：$R(3)=a(2)(5)+(-2)(2)+5=10a+1=-9$，解得 $a=-1$。
三個未知數，每次只面對一個，全程整數運算。最後展開：
$$R(x)=-(x^2+x-2)-2x+2+5=-x^2-3x+9$$
兩條路都得到 $-x^2-3x+9$。代回 $1,-2,3$，就能檢查它是否分別輸出 $5,11,-9$。
考場上我選哪一種
這一題我會用牛頓形式：依序代入後，每次只剩一個未知係數，而且剛好都是整數。換一組點，係數仍可能變成分數，不能保證永遠比較好算。
拉格朗日形式把每個資料點的貢獻分開，適合直接寫出一般式；牛頓形式方便逐項補上條件。兩者都在找同一個插值多項式。選之前先看題目給什麼，別急著替方法排冠軍🙂
一個很容易踩的坑：$s$ 不是 $a$
假設已知 $f(x)$ 除以 $(x-4)(x-6)$ 餘 $3x+5$，另外知道 $f(2)=7$。要找它除以 $(x-4)(x-6)(x-2)$ 的餘式，可以設
$$R(x)=s(x-4)(x-6)+3x+5.$$
代 $x=4$ 或 $x=6$ 時，新增的那項歸零，原本的餘式條件仍然滿足。剩下的係數 $s$ 用 $x=2$ 解：
$$8s+11=7\quad\Longrightarrow\quad s=-\frac12.$$
所以 $R(x)=-\frac12(x-4)(x-6)+3x+5=-\frac12x^2+8x-7$。別把因式裡的 $4$ 抄去當 $s$：一個是讓因式等於零的輸入值，另一個是待求係數，工作完全不同😅
換你動手
練習 1：$f(x)$ 除以 $x-1$ 餘 $3$，除以 $x+1$ 餘 $5$，除以 $x-2$ 餘 $-1$。求 $f(x)$ 除以 $(x-1)(x+1)(x-2)$ 的餘式。
點開看詳解
翻譯：$f(1)=3$、$f(-1)=5$、$f(2)=-1$，餘式最高二次。
用牛頓假設法：
$$R(x)=a(x-1)(x+1)+b(x-1)+c$$
代 $x=1$：$c=3$。
代 $x=-1$：$b(-2)+3=5$，得 $b=-1$。
代 $x=2$：$a(1)(3)+(-1)(1)+3=3a+2=-1$，得 $a=-1$。
$$R(x)=-(x-1)(x+1)-(x-1)+3=-x^2+1-x+1+3=-x^2-x+5$$
練習 2（牛頓法再一題）：$g(x)$ 為次數不超過 $3$ 的多項式，$g(1)=2$、$g(2)=4$、$g(3)=10$、$g(4)=20$，求 $g(5)$。
點開看詳解
四個輸出 $2,4,10,20$ 的一階差分是 $2,6,10$，二階差分是 $4,4$。先試二次式；若它能符合四個條件，就已經找到次數不超過 $3$ 的唯一插值多項式。
設 $g(x)=a(x-1)(x-2)+b(x-1)+2$。
代 $x=2$：$b+2=4$，$b=2$。
代 $x=3$：$a(2)(1)+2(2)+2=2a+6=10$，$a=2$。
所以 $g(x)=2(x-1)(x-2)+2(x-1)+2$，展開是 $2x^2-4x+4$。代 $x=5$：$50-20+4=34$。
驗算：$g(3)=18-12+4=10$ ✓、$g(4)=32-16+4=20$ ✓。四個條件全數通過，$g(5)=34$。
差分 $2,6,10$ 再做一次，得到 $4,4$，可以幫你猜二次式；要確定答案唯一，仍靠題目給的「次數不超過 $3$」和四個不同輸入值。少了次數限制，還能加上 $k(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$，四個已知值照樣不變。
練習 3（拉格朗日派練手）：用拉格朗日插值法，求通過 $(0,1)$、$(1,3)$、$(2,7)$ 的二次多項式。
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$$R(x)=1\cdot\frac{(x-1)(x-2)}{(0-1)(0-2)}+3\cdot\frac{(x)(x-2)}{(1)(1-2)}+7\cdot\frac{(x)(x-1)}{(2)(2-1)}$$
$$=\frac{(x-1)(x-2)}{2}-3x(x-2)+\frac{7x(x-1)}{2}$$
展開：$\frac{x^2-3x+2}{2}-3x^2+6x+\frac{7x^2-7x}{2}$
$x^2$ 係數：$\frac{1}{2}-3+\frac{7}{2}=1$。$x$ 係數：$-\frac{3}{2}+6-\frac{7}{2}=1$。常數：$1$。
$$R(x)=x^2+x+1$$
驗算：$R(0)=1$ ✓、$R(1)=3$ ✓、$R(2)=7$ ✓。
這題兩種方法都能用。你可以把牛頓式也寫在旁邊，看看自己比較容易在哪個步驟漏掉負號。
把課本上「除以 $x-a$ 餘 $k$」的題目挑兩題出來，同一題各用兩種方法算一次：左手拉格朗日、右手牛頓。比的不只是哪個先算完，還有哪個先算錯。
如果你兩邊答案不一樣，別急著重算，把兩種算式並排貼給我，我們一起找出那個沒顧好的負號。
