威威學長｜高中數學
把 $y=2^x$ 和 $y=\log_2 x$ 畫在同一張紙上，兩條線不會碰到。$2^x$ 從左下角貼著 $x$ 軸爬起來，$\log_2 x$ 從 $y$ 軸右側往右走但爬得很慢，它們最近的時候還是隔著一段距離。
把底數換小一點。$a=0.3$ 的時候，$y=0.3^x$ 和 $y=\log_{0.3}x$ 都是往下走的，這兩條線會碰到，而且只碰到一個點。
再換小。$a=\dfrac1{16}$ 的時候，它們碰到三個點。
同一個題目，答案是 0、1、3。這種題目最麻煩的地方就在這裡：你算完一個答案，不確定自己有沒有漏。
交點只可能落在 $y=x$ 上，或成對出現
在對數那篇講過，$y=a^x$ 和 $y=\log_a x$ 互為反函數，圖形關於 $y=x$ 對稱。這句話在找交點的時候很好用。
對稱的意思是：如果 $(p,q)$ 在 $y=a^x$ 上，那 $(q,p)$ 就在 $y=\log_a x$ 上。所以如果 $(p,q)$ 同時是兩條線的交點，把座標對調得到的 $(q,p)$ 也一定同時是兩條線的交點。
於是交點只有兩種：
- 落在 $y=x$ 上，長成 $(p,p)$。這種點座標對調之後還是自己，所以它可以單獨出現，不必成對。
- 不在 $y=x$ 上，長成 $(p,q)$ 且 $p\ne q$。這種點一定有一個夥伴 $(q,p)$ 陪著。
所以交點總數＝（$y=x$ 上的個數）＋ 2 ×（成對的組數）。奇偶性就從這裡出來：成對的那部分一定是偶數，所以總數是奇是偶，完全看 $y=x$ 上有幾個。
$a>1$ 的時候，交點全部擠在 $y=x$ 上
先證明一件不太直觀的事：當 $a>1$，不在 $y=x$ 上的交點一個都不會有。
假設真的有一個交點 $(p,q)$ 且 $p\ne q$。因為對稱，$(q,p)$ 也是交點。先把兩個座標排好，假設 $p<q$。
$p<q$ 代表 $a^p<a^q$，因為底數大於 $1$ 的指數函數是遞增的。可是 $(p,q)$ 在 $y=a^x$ 上，意思是 $a^p=q$；$(q,p)$ 在 $y=a^x$ 上，意思是 $a^q=p$。代進去就得到 $q<p$。
$p<q$ 和 $q<p$ 不可能同時成立，所以假設是錯的，$p=q$。
既然所有交點都落在 $y=x$ 上，問題就縮小成一句話：$a^x=x$ 有幾個解？
相切的條件，一行就結束
令 $g(x)=a^x-x$。$g(0)=1>0$，而且 $x$ 很大時 $a^x$ 會贏過 $x$，所以 $g$ 最後是正的。$g$ 的中間會先降後升，最低點在 $g'(x)=0$ 的地方。
解的個數就看這個最低點在 $x$ 軸的哪一側：在下面就是 2 個解，剛好碰到就是 1 個，在上面就是 0 個。剛好碰到的那個狀況，就是相切，條件是兩個式子同時成立：
$$a^x=x\qquad\text{和}\qquad a^x\ln a=1$$
第二條是把 $a^x$ 微分得到的。把第一條代進第二條，$x\ln a=1$，也就是 $\ln a=\dfrac1x$，於是 $a=e^{1/x}$。
再代回第一條：$a^x=\left(e^{1/x}\right)^x=e$。所以 $x=e$。
答案就出來了：相切發生在 $a=e^{1/e}$，切點是 $(e,e)$。
$e^{1/e}$ 大約是 $1.4447$。所以：
- $1<a<e^{1/e}$：$y=x$ 上有 2 個交點，例如 $a=1.2$ 交在 $x\approx1.26$ 和 $x\approx14.77$。這兩點可以離得很遠，這也是為什麼隨手畫圖常常只看到一個。
- $a=e^{1/e}$：相切，只有 1 個交點，位置在 $(e,e)$。
- $a>e^{1/e}$：完全不相交，0 個。
$0<a<1$ 的時候，$y=x$ 上永遠剛好一個
底數小於 $1$ 的指數函數是遞減的，上面那個「$p<q$ 會矛盾」的論證失效了，所以成對的交點有機會出現。先把 $y=x$ 上的那個數清楚。
令 $h(x)=a^x-x$。$h(0)=1>0$，$h(1)=a-1<0$，所以 $(0,1)$ 之間至少有一個解。再看 $h'(x)=a^x\ln a-1$：因為 $a<1$ 時 $\ln a<0$，而 $a^x>0$，所以 $a^x\ln a$ 是負的，$h'(x)$ 永遠小於 $0$。$h$ 嚴格遞減，所以解只能有一個。
$y=x$ 上恰好一個，而且落在 $x$ 介於 $0$ 和 $1$ 之間。到這裡都還很單純。成對的交點什麼時候冒出來？答案是它們在一次相切中誕生。
那一對交點是從哪裡蹦出來的
成對的交點是 $y=\log_a x$ 的「兩步循環」：從某個 $x$ 出發，代進 $\log_a$ 得到 $y$，再代一次回到 $x$。這種東西不會無中生有，它是在某個臨界底數上被「生」出來的，而生的那一刻，兩條曲線相切。
相切發生在 $y=x$ 上那個點，因為那是唯一被固定住的地方。條件是 $\log_a x$ 在那裡的切線斜率等於 $-1$（斜率 $-1$ 剛好貼住 $y=x$）。
$\log_a x$ 的導數是 $\dfrac{1}{x\ln a}$。設 $y=x$ 上的交點是 $x_0$，在那裡 $a^{x_0}=x_0$，取對數得 $x_0\ln a=\ln x_0$，所以
$$\frac{1}{x_0\ln a}=\frac{1}{\ln x_0}$$
要求它等於 $-1$，就是 $\ln x_0=-1$，於是 $x_0=e^{-1}$。
代回 $a^{x_0}=x_0$：
$$a^{e^{-1}}=e^{-1}\quad\Longrightarrow\quad e^{-1}\ln a=-1\quad\Longrightarrow\quad \ln a=-e\quad\Longrightarrow\quad a=e^{-e}$$
$e^{-e}$ 大約是 $0.06599$。
所以在 $a=e^{-e}$ 這個底數上，三個交點全部疊在 $\left(e^{-1},e^{-1}\right)$ 這一個點上，$\left(\dfrac1e,\dfrac1e\right)$。底數只要再小一點點，那兩個成對的交點就分開跑出來，總數變成 3。
順手驗一下 $a=\dfrac1{16}$。$a<e^{-e}$，所以應該是 3 個。成對的那組猜 $\left(\dfrac12,\dfrac14\right)$ 和 $\left(\dfrac14,\dfrac12\right)$：把 $x=\dfrac12$ 代進 $\left(\dfrac1{16}\right)^x$ 得到 $\dfrac14$ ✓，代進 $\log_{1/16}x$ 也得到 $\dfrac14$ ✓。兩個都對，加上 $y=x$ 上那個（在 $x\approx0.364$），一共 3 個。
四種答案的分界線
| 底數範圍 | 交點個數 | 落在哪裡 |
|---|---|---|
| $0<a<e^{-e}$ | 3 | $y=x$ 上 1 個，另外 2 個成對 |
| $a=e^{-e}$ | 1 | 三重疊在 $\left(e^{-1},e^{-1}\right)$ |
| $e^{-e}<a<1$ | 1 | $y=x$ 上 |
| $a=1$ | 不算 | $y=\log_1 x$ 沒有定義，兩者不是反函數 |
| $1<a<e^{1/e}$ | 2 | 都在 $y=x$ 上 |
| $a=e^{1/e}$ | 1 | 相切於 $(e,e)$ |
| $a>e^{1/e}$ | 0 | 不相交 |
兩個臨界值 $e^{-e}\approx0.06599$ 和 $e^{1/e}\approx1.4447$，都不好看。這是這題的特色：答案的形式很簡單，分界線卻長得很醜，所以背不起來，只能自己推。推的方法其實只有一招，找出相切的條件，剩下的交給「解的個數看最低點在哪一側」。
$a=1$ 那一列要單獨講一下。$y=1^x$ 是水平線 $y=1$，$y=\log_1 x$ 根本沒有定義，兩個不是反函數。底數 $a>0$ 且 $a\ne1$ 這個條件，在這裡又出現一次。
自己畫一次
打開你的圖形計算機（手機上的、電腦上的都可以），把下面四組畫出來，確認交點個數跟你預期的一樣：
- $a=0.04$，看得到 3 個交點，但都很靠近原點，記得把範圍縮到 $0$ 到 $1$。
- $a=0.3$，1 個交點，在 $x\approx0.53$。
- $a=1.44$，2 個交點，在 $x\approx2.39$ 和 $x\approx3.12$。
- $a=1.5$，0 個交點，兩條線完全分開。
第 3 組值得多看兩眼。$a=1.44$ 已經很接近 $e^{1/e}\approx1.4447$，兩個交點只隔 $0.7$ 左右；把 $a$ 調到 $1.4447$，它們會在你眼前合併成一個點，位置剛好在 $(2.718,2.718)$。
這一題還有一個地方可以繼續追。底數繼續往下掉，交點會不會變成 5 個、7 個？把數值檢查跑一輪，從 $a=0.0625$ 一路測到 $a=0.0001$，答案都是 3 個，不會再變多。變的只是位置：最小那個往原點靠，最大那個往 $x=1$ 靠，中間那個慢慢往左移。三個點的分工意外地穩定，這件事本身就值得想一想為什麼。
