威威學長｜高中數學
你第一次看到矩陣乘法的規則，反應大概是「這是誰規定的」。左邊的列去配右邊的行、一項一項乘再加起來、結果放在對應的格子裡。相比之下，矩陣的加法和純量乘法都好相處得多，直接逐項加、逐項乘，一眼就懂。 為什麼單單乘法要這麼麻煩？ 因為那條規則不是被規定的。它是一個被逼出來的結果：如果你希望「先做一個變換、再做一個變換」剛好等於「把兩個矩陣乘起來」，那乘法的算法就只能長那樣。換句話說，不是矩陣乘法發明了那條規則，是那條規則被這件事逼出來。
先把矩陣當成一台機器
在推規則之前，先把矩陣的角色換掉。矩陣不是一張填了數字的表格，它是一台吃進向量、吐出新向量的機器： $$A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix},\qquad A\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}ax+by\\cx+dy\end{bmatrix}$$ 輸入 $(x,y)$，輸出 $(ax+by,\;cx+dy)$。它做的事只有一件：把輸入的座標重新配一配。像 $A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$ 這台機器，把 $(1,0)$ 送到 $(1,3)$，把 $(0,1)$ 送到 $(2,4)$。 順便記一句省力的話：矩陣的兩行，就是兩個座標軸單位向量被送去的地方。知道這件事，看任何一個矩陣都大概能猜到它在做什麼😎。 而純量乘法為什麼可以逐項乘？因為那台機器做的事是「把輸出整體放大 $k$ 倍」，每一格都放大 $k$ 倍，逐項乘剛好就是這個意思。所以它們好相處是有原因的。
把乘法規則推出來
現在做合成。手上兩台機器，$A$ 先動、$B$ 後動（也就是先送進 $A$，再把 $A$ 的輸出送進 $B$）。問：這一整串如果只用一台機器完成，那台機器的矩陣長什麼樣？ 追一個一般的輸入 $(x,y)$ 就好。第一步： $$A\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}ax+by\\cx+dy\end{bmatrix}$$ 第二步把這個結果送進 $B=\begin{bmatrix}e&f\\g&h\end{bmatrix}$。照上面那條「列乘輸入」的規則： $$B\begin{bmatrix}ax+by\\cx+dy\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}e(ax+by)+f(cx+dy)\\g(ax+by)+h(cx+dy)\end{bmatrix}$$ 把 $x$ 與 $y$ 提出來整理： $$=\begin{bmatrix}(ea+fc)\,x+(eb+fd)\,y\\(ga+hc)\,x+(gb+hd)\,y\end{bmatrix}$$ 這正是某台矩陣作用在 $(x,y)$ 上的樣子。那台矩陣是 $$BA=\begin{bmatrix}ea+fc&eb+fd\\ga+hc&gb+hd\end{bmatrix}$$ 盯著這四格看。$BA$ 的第一列第一行是 $ea+fc$，那是「$B$ 的第一列」配「$A$ 的第一行」逐項相乘再相加。第二格 $eb+fd$ 是「$B$ 的第一列」配「$A$ 的第二行」。往下兩格就是 $B$ 的第二列各配 $A$ 的兩行。 所以「列乘行」不是誰憑空訂的，它就是這個展開的結果。你在寫 $BA$ 的時候會以為自己在套公式，其實你是在做上面那三行代數的縮寫。
👑 威威說重點：合成兩台機器的矩陣是 $BA$，而計算它的方式就是「左邊的列配右邊的行」。這條規則是合成的產物，不是前提。
算一次，順便看到 AB 跟 BA 不一樣
拿兩台具體的機器。$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$。 $B$ 是交換 $x$ 與 $y$ 的鏡射。先看看它跟 $A$ 相乘會怎樣： $$BA=\begin{bmatrix}0\cdot1+1\cdot3&0\cdot2+1\cdot4\\1\cdot1+0\cdot3&1\cdot2+0\cdot4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3&4\\1&2\end{bmatrix}$$ $A$ 的兩列被交換了。換另一邊： $$AB=\begin{bmatrix}1\cdot0+2\cdot1&1\cdot1+2\cdot0\\3\cdot0+4\cdot1&3\cdot1+4\cdot0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&1\\4&3\end{bmatrix}$$ $A$ 的兩行被交換了。兩個答案不一樣。 這件事一開始很反直覺，但如果回到「矩陣是順序」的角度就合理了：$BA$ 是「先 $A$ 後 $B$」，$AB$ 是「先 $B$ 後 $A$」。先穿襪子再穿鞋，跟先穿鞋再穿襪子，結果當然不同。矩陣乘法不滿足交換律，跟「先做什麼」綁在一起，不是數學上的小毛病。 （矩陣代數的完整規則要到 1858 年才由凱萊（Arthur Cayley）整理出來。他當時就在處理這種「組合兩次代換」的問題，跟這裡在做的事一樣。）
反矩陣：把機器拆回去
$I=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$ 是「什麼都不做」那台機器：$AI=IA=A$。它之於矩陣，就像 $1$ 之於乘法。 反矩陣 $A^{-1}$ 是 $A$ 的拆解版，做完 $A$ 再做完 $A^{-1}$，等於沒做： $$AA^{-1}=A^{-1}A=I$$ 二階的情況有一條可以直接抄的公式。先算一個數 $det\,A=ad-bc$（行列式），然後 $$A^{-1}=\frac{1}{det\,A}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}$$ 注意它做了什麼：主對角線互換、另一條對角線變號，最後除以那個數。不用背證明，直接驗一次就好。取 $A=\begin{bmatrix}4&7\\2&6\end{bmatrix}$，$det\,A=24-14=10$，所以 $$A^{-1}=\frac{1}{10}\begin{bmatrix}6&-7\\-2&4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0.6&-0.7\\-0.2&0.4\end{bmatrix}$$ 乘回去確認： $$\begin{bmatrix}4&7\\2&6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0.6&-0.7\\-0.2&0.4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2.4-1.4&-2.8+2.8\\1.2-1.2&-1.4+2.4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$$ 單位矩陣，對上了。所以公式裡的除號不是裝飾。$det\,A$ 是 $0$ 的時候，那個除號就整個崩掉，這就是下一段要講的事。
det = 0 的時候，反矩陣不是「很難求」，是不存在
看 $A=\begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix}$。$det\,A=1\cdot4-2\cdot2=0$。 把它作用在一般的 $(x,y)$ 上：$A(x,y)=(x+2y,\;2x+4y)$。它的第二個座標永遠是第一個的兩倍。不管輸入是什麼，輸出永遠躺在直線 $y=2x$ 上。整張平面被壓成一條線。 壓扁就會有東西撞在一起。找一個會撞的：$A(2,-1)=(2-2,\;4-4)=(0,0)$。所以 $(2,-1)$ 跟 $(0,0)$ 這兩個不同的輸入，被送到同一個地方。 現在問題來了。如果只有 $(0,0)$ 這台輸出，你怎麼知道原本的輸入是 $(0,0)$ 還是 $(2,-1)$？答案是不知道，那個資訊在壓扁的時候就被丟掉了。⚠️ 學長的警告：反矩陣不存在的理由跟「好不好算」無關，該還原的資訊已經不在那裡了。這也是為什麼 $det\,A$ 這個數會被叫做「面積的伸縮倍率」：$det=0$ 代表面積被壓成零，二維的東西變成了一維。
換你動手
練習 1：$A=\begin{bmatrix}2&1\\1&3\end{bmatrix}$、$B=\begin{bmatrix}1&0\\2&1\end{bmatrix}$，算 $AB$ 與 $BA$。 $$AB=\begin{bmatrix}2\cdot1+1\cdot2&2\cdot0+1\cdot1\\1\cdot1+3\cdot2&1\cdot0+3\cdot1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4&1\\7&3\end{bmatrix}$$ $$BA=\begin{bmatrix}1\cdot2+0\cdot1&1\cdot1+0\cdot3\\2\cdot2+1\cdot1&2\cdot1+1\cdot3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&1\\5&5\end{bmatrix}$$ 兩者不同。這是預期中的結果，不是算錯。 練習 2：求 $A=\begin{bmatrix}3&1\\5&2\end{bmatrix}$ 的反矩陣，並驗算。 $det\,A=6-5=1$，所以 $A^{-1}=\begin{bmatrix}2&-1\\-5&3\end{bmatrix}$。驗算： $$\begin{bmatrix}3&1\\5&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&-1\\-5&3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6-5&-3+3\\10-10&-5+6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$$ 這題的 $det$ 剛好是 $1$，所以不用除，但別因此以為反矩陣永遠這麼乾淨。換一題 $det=3$ 的，你就會看到分數。 練習 3：$\begin{bmatrix}2&6\\1&3\end{bmatrix}$ 有沒有反矩陣？ $det=2\cdot3-6\cdot1=0$，沒有。想看到「撞在一起」的話：$A(3,-1)=(6-6,\;3-3)=(0,0)$，所以 $(3,-1)$ 與 $(0,0)$ 被壓到同一點。兩個不同輸入共用一個輸出，還原就無從選擇。
拿兩題你手上正在做的矩陣乘法，這次先不看解答，改做一件事：算出乘積之後，把左邊那個矩陣的兩列、跟右邊那個矩陣的兩行分別圈起來，用鉛筆在旁邊標「這一列配這一行得到這一格」。兩題標完，你會發現自己不是在做乘法，是在排一組配對，那個規則就不再是需要記的東西了。 如果某一格怎麼算都對不上解答，先檢查是不是 $AB$ 跟 $BA$ 抄反了。這件事太常見，通常看一眼題目裡的順序就解決了。
