黎曼積分與微積分基本定理｜嚴謹證明

威威學長 | 微積分系列

一句話總結

微積分基本定理說的是：微分和積分是互逆運算。但要真正理解這句話，你得先認識黎曼——那個把積分從「模糊的直覺」變成「嚴格的數學」的人。

故事開場：一個 30 歲天才的短暫一生

格奧爾格·弗里德里希·伯恩哈德·黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann），1826 年出生在德國漢諾威的一個小村莊。他是牧師的兒子，從小體弱多病，但數學天賦驚人。

1854 年，28 歲的黎曼在哥廷根大學提交了一篇就職演講「論作為幾何學基礎的假設」，創立了黎曼幾何。這篇論文後來成為愛因斯坦廣義相對論的數學基礎。

講到這裡有點私心——我在慕尼黑工業大學（TUM）讀書那幾年，數學系的走廊牆上掛著一張從哥廷根飄洋過海寄來的老照片。黎曼 1854 年就在那所大學做 Habilitation（德國的教授資格論文），而 TUM 和哥廷根大學同屬德國學術傳統，數學風格一脈相承。每次經過那張照片，我都會想起：寫公式的人，年輕時也曾站在類似的講堂裡、對著幾個資深教授報告自己的新想法。

但 1854 年對黎曼來說不只是幾何學的一年。他同時提交了另一篇論文，定義了現在稱為「黎曼積分」的概念。這篇論文在他生前沒有正式發表，但改變了整個分析學。

黎曼只活了 39 歲，死於肺結核。但他留下的數學遺產，至今仍在支撐著物理、工程、和資料科學。

從「面積」到「積分」：一段跨越兩千年的演化

古希臘的窮盡法

阿基米德（西元前 287-212 年）用「窮盡法」計算拋物線下的面積。他的做法是：把面積切成無限多個三角形，然後加總。

這個想法本質上就是積分，但古希臘人沒有「極限」的概念，所以他們無法把這個方法變成一套嚴密系統。

牛頓與萊布尼茲的 17 世紀

17 世紀，牛頓和萊布尼茲各自獨立發明了微積分。他們知道微分和積分是互逆的——也就是後來所謂的「微積分基本定理」(Fundamental Theorem of Calculus, FTC)——但對「積分到底是什麼」的定義並不嚴格。

牛頓用「流數」（fluxions）的概念，萊布尼茲用「無窮小」（infinitesimals）。兩者都有邏輯漏洞，被愛爾蘭哲學家貝克萊主教（George Berkeley）嘲笑為「已死量的鬼魂」（"ghosts of departed quantities"）。

換句話說，FTL（Fundamental Theorem of Leibniz，萊布尼茲版的基本定理）比 FTC 嚴格形式化早了大約 150 年。牛頓、萊布尼茲的優先權之爭吵了幾十年，但兩人其實都沒有給出滿意的證明。

黎曼 1854 年的嚴格化

黎曼把積分建立在「極限」的嚴格基礎上。他的定義是：

把區間 $[a,b]$ 切成 $n$ 個小段，在每一段中取一個樣本點，算出小矩形的面積，然後令 $n \to \infty$。

如果這個極限存在，就叫做黎曼積分。

這個定義的好處是：完全用 $\varepsilon$-$\delta$ 語言寫出，沒有「無窮小」這種模糊詞彙。壞處是：處理某些「奇怪」函數時不夠用，於是 1902 年法國數學家勒貝格（Henri Léon Lebesgue）發明了更強的積分。

黎曼積分的嚴格定義

給定函數 $f(x)$ 在閉區間 $[a,b]$ 上有界。

Step 1：分割（Partition）

把 $[a,b]$ 切成 $n$ 個小區間：

$a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b$

每個小區間的長度：$\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$。

定義分割的「細度」（mesh）為：

$|P| = \max_{1 \le i \le n} \Delta x_i$

Step 2：取樣（Sample）

在每個小區間 $[x_{i-1}, x_i]$ 中任取一點 $x_i^*$。

Step 3：算黎曼和（Riemann Sum）

$S(f, P, {x_i^}) = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^) \cdot \Delta x_i$

Step 4：取極限

我們說 $f$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可積，若存在實數 $I$ 使得對任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，只要分割 $P$ 的細度 $|P| < \delta$，不管怎麼取樣，都有：

$\left| S(f, P, {x_i^*}) - I \right| < \varepsilon$

此時記：

$\int_a^b f(x) , dx = I$

「不管怎麼分割、怎麼取樣」這句話，是黎曼積分最關鍵、也最容易被初學者忽略的一環——它保證了「極限值」不會因為你巧挑分割方式而改變。

微積分基本定理（FTC）

第一部分（FTC1）

如果 $f$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可積，定義

$F(x) = \int_a^x f(t) , dt$

則 $F$ 在 $[a,b]$ 上連續，並且在 $f$ 連續的點 $x$ 處，有：

$F'(x) = f(x)$

白話版本： 積分上限函數的導數，就是被積函數本身。

第二部分（FTC2）

如果 $f$ 在 $[a,b]$ 上連續，且 $F$ 是 $f$ 的任意反導數（$F' = f$），則：

$\int_a^b f(x) , dx = F(b) - F(a)$

白話版本： 要算定積分，找一個反導數，然後代入上下限相減（口訣：「上減下」）。

為什麼 FTC 改變了一切？

沒有 FTC，每次算積分都要回到黎曼和的定義——算無限多個小矩形的面積再取極限。實際上幾乎不可能手算完成。

有了 FTC，你只需要兩步：

找到一個反導數
套用 FTC2

例如：$\int_0^3 x^2 , dx$

反導數：$F(x) = \dfrac{x^3}{3}$
$F(3) - F(0) = 9 - 0 = 9$

三行搞定。如果堅持用黎曼和的定義，你要算：

$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{3i}{n}\right)^2 \cdot \frac{3}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{27}{n^3} \sum_{i=1}^{n} i^2$

然後還要用到 $\sum_{i=1}^{n} i^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$（這正是 Faulhaber 公式的特例之一），代入後取極限……FTC 至少省了你 10 個手寫步驟。

詳細範例：用 FTC 解決真實問題

例題 1：求兩曲線間的面積

求 $y = x^2$ 和 $y = x$ 在 $[0,1]$ 之間所圍的面積。

Step 1：找交點

$x^2 = x \Rightarrow x(x-1) = 0 \Rightarrow x = 0, 1$

Step 2：判斷誰在上面

在 $[0,1]$ 上，$x \ge x^2$（代入 $x = 0.5$ 驗證：$0.5 > 0.25$）。

Step 3：積分

$A = \int_0^1 (x - x^2) , dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

例題 2：物理中的位移問題

一輛車的速度是 $v(t) = 3t^2 + 2t$（公尺/秒）。從 $t=0$ 到 $t=4$ 秒走了多遠？

$s = \int_0^4 (3t^2 + 2t) , dt = \left[t^3 + t^2\right]_0^4 = 64 + 16 = 80 \text{ 公尺}$

例題 3：經濟學中的總成本

邊際成本是 $MC(q) = 2q + 5$，生產 10 單位的總成本是多少（假設固定成本為 0）？

$TC = \int_0^{10} (2q + 5) , dq = \left[q^2 + 5q\right]_0^{10} = 100 + 50 = 150$

例題 4：含參數的積分上限函數

設 $g(x) = \displaystyle\int_0^{x^2} \sin(t) , dt$，求 $g'(x)$。

這題 FTC1 的變形——外層是 $x^2$，內層是 $\sin(t)$。連鎖法則：

$g'(x) = \sin(x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \sin(x^2)$

這是研究所考試、學測選填題的常客，務必練到反射式作答。

台灣學測與分科的常見考法

台灣的學測自然科、分科測驗數學甲，都會考 FTC 的觀念應用。常見題型大致分四類：

直接套公式型：給定多項式或基本三角函數，要求 $\int_a^b f(x), dx$。解法：找反導數、代入「上減下」。這類題靠熟練度取分。
圖形意義型：給定 $y=f(x)$ 的圖形，要你用面積觀念求 $\int_a^b f(x), dx$。解法：數格數、扣掉負面積區塊。這題歐拉線與九點圓裡也提過——幾何圖形 + 代數符號的轉譯能力，是台灣命題的特色。
積分上限函數型：給定 $g(x) = \int_a^{h(x)} f(t), dt$，求 $g'(x)$。解法：FTC1 + 連鎖法則。
物理情境題：速度–位移、加速度–速度的換算。解法：搞清楚誰是 $f$、誰是 $F$。

108 課綱之後，數學甲的題幹敘述變長，但核心考點還是上述四類。把這四類各練三題，學測這部分就穩了。

快速練習（含詳解）

題 1：求 $\displaystyle\int_0^{\pi} \sin(x) , dx$。

解：反導數 $F(x) = -\cos(x)$。代入：$-\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$。

題 2：求 $\displaystyle\int_1^e \frac{1}{x} , dx$。

解：反導數 $F(x) = \ln|x|$。代入：$\ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1$。

題 3：設 $h(x) = \displaystyle\int_x^{2x} \cos(t^2) , dt$，求 $h'(x)$。

解：先拆成 $\int_x^0 + \int_0^{2x}$，再分別對上限做 FTC1：

$h'(x) = \cos((2x)^2) \cdot 2 - \cos(x^2) \cdot 1 = 2\cos(4x^2) - \cos(x^2)$

題 4：求由 $y = \sqrt{x}$、$x = 4$、$y = 0$ 所圍的面積。

解：交點 $x = 0$ 和 $x = 4$。

$A = \int_0^4 \sqrt{x} , dx = \left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_0^4 = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3}$

這題的陷阱是「看起來很簡單、但忘了 $y = \sqrt{x}$ 在 $[0,4]$ 是遞增函數」。類似的指數根號陷阱，可以參考複數的根號陷阱——符號看錯一步，整題就崩。

黎曼積分的極限

黎曼積分雖然強大，但有它的天花板。有些函數黎曼積分算不出來。

狄利克雷函數（Dirichlet function）

$D(x) = \begin{cases} 1 & \text{if } x \in \mathbb{Q} \ 0 & \text{if } x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$

這個函數在有理數取 1、無理數取 0。任何一個小區間裡都同時有有理數和無理數，所以不論怎麼分割、不論怎麼取樣，黎曼和的值都會隨取樣點跳動——極限不存在。

勒貝格 1902 年的升級

為了解決狄利克雷這類函數，法國數學家勒貝格在 1902 年博士論文中發明了勒貝格積分。勒貝格的想法很巧妙：不是切 $x$ 軸，而是切 $y$ 軸——把函數值域切成小段，再算「水平方向的」面積。

結果：狄利克雷函數在勒貝格積分下可積（值為 0，因為無理數比有理數「多太多」）。勒貝格積分成了現代機率論、傅立葉分析的基石。

但對高中生和大一學生來說，黎曼積分已經完全夠用。

常見錯誤整理

搞混 FTC1 和 FTC2。 FTC1 處理的是「積分上限函數的導數」，FTC2 處理的是「用反導數算定積分」。考試時務必看清題目問的是哪一個。
忘記加常數 $C$。 不定積分要加 $C$（反導數不唯一）；定積分不需要加 $C$（$C$ 會在 $F(b) - F(a)$ 中消掉）。
上下限代錯。 $\int_a^b f(x), dx = F(b) - F(a)$，口訣「上減下」。
換元忘記換上下限。 $u$-substitution 時，$x$ 的上下限要跟著換成 $u$ 的上下限，否則代換完要再換回來——多一道手續就多一次出錯機會。
以為所有連續函數都有初等反導數。 $\int e^{-x^2}, dx$ 沒有初等形式，只能用誤差函數 $\operatorname{erf}(x)$ 或數值方法。
把黎曼可積當成連續。 連續 ⇒ 可積，但反過來不一定。一個函數可以處處不連續，卻仍然黎曼可積（例如階梯函數）。

物理中的 FTC 身影

微積分基本定理在物理裡幾乎無所不在：

位置 → 速度 → 加速度：微分（求導）
加速度 → 速度 → 位置：積分（反導數）

$v(t) = \int a(t) , dt, \quad s(t) = \int v(t) , dt$

FTC 告訴你：知道加速度函數，積分一次得速度，積分兩次得位置。這就是為什麼微積分是物理學的母語。

功與位能

力 $F(x)$ 沿 $x$ 軸做的功：

$W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) , dx$

如果力是保守力（例如重力），存在位能函數 $U(x)$ 使得 $F(x) = -U'(x)$。由 FTC：

$W = U(x_1) - U(x_2) = -\Delta U$

這就是功能定理的數學骨幹。

學習建議

先理解定義，再背公式。 黎曼和的定義雖然繁瑣，但它告訴你積分「是什麼」。FTC 告訴你積分「怎麼算」。兩者缺一不可——只會算、不懂意義，遇到反例題型就會卡住。
多畫圖。 積分就是面積。每次算積分之前，先畫出函數圖形、標出積分區域。視覺化能幫你避免符號錯誤，特別是負面積區塊。
反導數練到反射。 FTC2 的關鍵步驟是找反導數。冪函數、三角、指數、對數這四族基本公式背熟，再加代換法、分部積分法，研究所考試九成題目都能處理。
把微分和積分對照著學。 微分是「切」，積分是「合」。兩者互逆，但你必須真的動手算過幾題，才會體會到「逆」是什麼意思。
看數學史。 知道黎曼 39 歲早逝、牛頓–萊布尼茲吵了幾十年，這些故事不會讓你數學變好，但會讓你在卡題的時候多撐一下。

為什麼黎曼可積性比想像的更微妙

黎曼可積不是「連續就好」這麼單純。一個函數能不能黎曼可積，取決於它的不連續點夠不夠「少」。

Lebesgue 判別準則（Lebesgue's Criterion）

1902 年勒貝格給出了一個漂亮定理：閉區間 $[a,b]$ 上的有界函數 $f$ 是黎曼可積的，若且唯若 $f$ 的不連續點所成的集合具有 Lebesgue 零測度（可以被子區間的長度和任意小所覆蓋）。

白話翻譯：哪怕一個函數到處不連續，只要它的「壞點」加起來長度為零，它就還是黎曼可積的。例如：

$f(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathbb{Q} \ 0 & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$ 的不連續點是全體實數，測度為 $\pi$（整個區間長度），不可積。
$f(x) = \begin{cases} 1 & x = 1/n \text{ for some } n \in \mathbb{N} \ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$ 的不連續點是 ${1, 1/2, 1/3, \ldots}$，這是個可數集，測度為零，仍然黎曼可積，積分值為 0。

第二個函數在某種意義上比第一個「善良很多」——它的不連續點雖然無窮多，但都擠在 $x = 0$ 附近，加起來長度可以任意小。

這個判別準則在大一通常不會教，但研究所機率論、實分析會用到。先在這裡混個臉熟就好。

上積分與下積分（Darboux 觀點）

另一條理解黎曼可積的路徑是法國數學家達布（Jean Gaston Darboux）給出的：對同一個分割 $P$，定義：

$U(f, P) = \sum_{i=1}^{n} M_i \Delta x_i, \quad L(f, P) = \sum_{i=1}^{n} m_i \Delta x_i$

其中 $M_i = \sup_{[x_{i-1}, x_i]} f$，$m_i = \inf_{[x_{i-1}, x_i]} f$。$U$ 是「上界估計」（每段取最大值），$L$ 是「下界估計」（每段取最小值）。

定義上積分 $\overline{\int_a^b} f = \inf_P U(f, P)$，下積分 $\underline{\int_a^b} f = \sup_P L(f, P)$。

黎曼可積 ⇔ 上積分 = 下積分 ⇔ $\overline{\int} f - \underline{\int} f = 0$。

這觀點的好處：不必談「取樣點」，只談「分割細度」，更接近 $\varepsilon$-$\delta$ 證明的風格。

Riemann-Stieltjes 積分：加權版的推廣

如果你把黎曼和裡的 $\Delta x_i$ 換成某個遞增函數 $g$ 的增量 $\Delta g_i = g(x_i) - g(x_{i-1})$，就得到：

$\int_a^b f(x) , dg(x) = \lim_{|P| \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta g_i$

這叫 Riemann-Stieltjes 積分。荷蘭數學家 Stieltjes 在 1894 年提出。

它能幹嘛？當 $g(x) = x$ 時退化為普通黎曼積分；當 $g$ 是階梯函數時，可以表達帶權重的期望值；如果 $g$ 對應某個機率分布的 CDF，這個積分就變成機率論裡的期望值寫法：

$E[h(X)] = \int h(x) , dF_X(x)$

機率論、隨機過程、機率微分方程的許多公式，都是用 Stieltjes 形式寫起來最乾淨。

牛頓–萊布尼茲公式的另一種看法

我們常寫 $\int_a^b f(x), dx = F(b) - F(a)$，這是 FTC2。

但有時候你會看到另一個寫法：

$\int_a^b f(x), dx = F(x) \Big|_a^b$

這只是同一件事的縮寫。

更進一步，如果你想強調「FTC 把兩件看似不相關的事綁在一起」：

「微分是切線斜率」（幾何意義）
「積分是面積」（幾何意義）

FTC 告訴你，這兩個幾何意義可以互相轉換——只要函數夠乖（連續、可微）。這就是為什麼 17 世紀的數學家一旦發現 FTL（基本定理的萊布尼茲版），就能在短時間內處理一大堆之前算不動的問題——從行星軌道到鐘擺週期。

一道研究所風格的綜合題

題目：設 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上連續，且對所有 $x \in \mathbb{R}$ 滿足：

$f(x) = 5 + \int_0^x (f(t) - 3) , dt$

求 $f(x)$。

Step 1：兩邊對 $x$ 微分。由 FTC1，右邊變成 $f(x) - 3$：

$f'(x) = f(x) - 3$

Step 2：解 ODE。這是一階線性 ODE，分離變數：

$\frac{df}{f - 3} = dx \Rightarrow \ln|f - 3| = x + C$

$f(x) - 3 = Ae^x$

Step 3：代入原式 $x = 0$：$f(0) = 5 + 0 = 5$，所以 $f(0) - 3 = 2$，得 $A = 2$。

$f(x) = 3 + 2e^x$

驗算：$\int_0^x (f(t) - 3), dt = \int_0^x 2e^t, dt = 2(e^x - 1)$；$5 + 2(e^x - 1) = 3 + 2e^x = f(x)$。過。

這題同時考了 FTC1 + 一階 ODE + 初始條件——台大電機、資工、應數所常見的綜合題風格。

學習路徑推薦

如果你想一路從大一讀到研究所，以下是我的建議順序：

大一上：單變數黎曼積分、FTC、反導數表。
大一下：偏微分、雙重積分、換序（Fubini）。
大二：向量分析、Green 定理、Stokes 定理——這是 FTC 的高維版本。
大三：Lebesgue 積分、測度論入門。
研究所：泛函分析、機率論中的測度論應用。

每跨一個階段，黎曼當年那篇論文就會換一副面孔重新出現一次。