威威學長｜微積分系列
算 $\int_0^3 x^2\,dx$：找反導數 $F(x)=\frac{x^3}{3}$，代上下限相減，答案是 $9$。三行結束。
但如果不知道反導數長什麼樣，你只能回到定義硬算：
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{3i}{n}\right)^2\cdot\frac{3}{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{27}{n^3}\sum_{i=1}^{n}i^2$$
到這裡還得先知道 $\sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$（這正是 Faulhaber 公式 的特例之一）才有辦法往下走。同一題，一條路三行，另一條路十幾行。
微積分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus，簡稱 FTC）把反導數和這個極限連起來。先別把「微分、積分互相抵銷」當成證明，我們得先說清楚積分取的是什麼極限🙂
黎曼和：同一個極限不能靠挑點作弊
黎曼積分以數學家 Riemann 命名。做法是把區間切小、每段取一個函數值當高度，再加起來。難處不在加法，而在分割越來越細之後，不同的取樣方式是否都趨向同一個數。
給定 $f(x)$ 在閉區間 $[a,b]$ 上有界。
Step 1：分割。 把 $[a,b]$ 切成 $n$ 段：
$$a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_n=b$$
第 $i$ 段的長度是 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$。整組分割的「細度」取最粗的那一段：
$$\lVert P\rVert=\max_{1\le i\le n}\Delta x_i$$
Step 2：取樣。 在第 $i$ 段 $[x_{i-1},x_i]$ 裡任取一點 $x_i^*$。
Step 3：算黎曼和。 每個小矩形的面積加起來：
$$S(f,P,\{x_i^*\})=\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\cdot\Delta x_i$$
Step 4：取極限。 若存在實數 $I$，對任意誤差容許值 $\varepsilon>0$，都能找到一個細度上限 $\delta>0$，使所有滿足 $\lVert P\rVert<\delta$ 的分割、所有取樣點都符合
$$\left\lvert S(f,P,\{x_i^*\})-I\right\rvert<\varepsilon$$
就說 $f$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可積，並記為
$$\int_a^b f(x)\,dx=I$$
「不管怎麼分割、怎麼取樣」是整個定義最關鍵、也最容易被初學者忽略的一句。它保證極限值不會因為你挑了一個特別好算的分割就偷偷改變。
微積分基本定理
FTC1。 若 $f$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可積，定義 $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$，則 $F$ 在 $[a,b]$ 上連續；在 $f$ 連續的內點 $x\in(a,b)$，有
$$F'(x)=f(x)$$
白話：積分上限函數的導數，就是被積函數本身。
FTC2。 若 $f$ 在 $[a,b]$ 上連續，且 $F$ 是 $f$ 的任意反導數（$F'=f$），則
$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$$
白話：算定積分＝找一個反導數，代入上下限相減（口訣「上減下」）。
為什麼上限微分會留下 $f(x)$
先證明連續性。因為 $f$ 有界，可取 $M\ge0$ 使 $|f(t)|\le M$。對任意 $x,y\in[a,b]$，
$$|F(y)-F(x)|=\left|\int_x^y f(t)\,dt\right|\le M|y-x|.$$
所以 $y$ 趨近 $x$ 時，兩個積分值的差也趨近零，$F$ 連續。
現在取 $f$ 連續的內點 $x$。把差商減掉我們猜的答案 $f(x)$：
$$\frac{F(x+h)-F(x)}h-f(x)=\frac1h\int_x^{x+h}\bigl(f(t)-f(x)\bigr)\,dt.$$
給定任何 $\varepsilon>0$，由 $f$ 在 $x$ 連續，只要 $|h|$ 夠小，$x$ 與 $x+h$ 之間所有 $t$ 都滿足 $|f(t)-f(x)|<\varepsilon$。因此右邊的絕對值不超過 $\varepsilon|h|/|h|=\varepsilon$，正、負的 $h$ 都成立，便得到 $F'(x)=f(x)$。
這裡的 $\varepsilon$ 是你任意指定的誤差容許值。把小區間裡 $f(t)$ 和 $f(x)$ 的差壓小，差商就跟著靠近 $f(x)$。積分和微分的連結藏在這個估計裡😎
上下限相減的證明
另令 $A(x)=\int_a^x f(t)\,dt$。$f$ 連續時，剛證明的結果給出 $A'=f$。若 $F$ 也是反導數，則 $(F-A)'=0$，由均值定理，$F-A$ 在整個區間為常數。代 $x=a$，因為 $A(a)=0$，這個常數就是 $F(a)$；再代 $x=b$，得到
$$F(b)-\int_a^b f(t)\,dt=F(a).$$
移項後就是 FTC2。反導數多出的常數，正好在相減時消掉。
開頭的題目就能用 FTC2，從反導數 $x^3/3$ 得到 $9$。但定理只告訴你這樣算為什麼對，沒有保證每個函數都找得到初等形式的反導數。
四個例題
例題 1：兩曲線間的面積。 $y=x^2$ 與 $y=x$ 在 $[0,1]$ 之間圍出的區域。交點：$x^2=x\Rightarrow x=0,1$。在 $[0,1]$ 上 $x\ge x^2$（代 $x=0.5$：$0.5>0.25$），所以
$$A=\int_0^1(x-x^2)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$$
例題 2：位移。 車速 $v(t)=3t^2+2t$（公尺／秒），從 $t=0$ 到 $t=4$ 走了多遠？
$$s=\int_0^4(3t^2+2t)\,dt=\left[t^3+t^2\right]_0^4=64+16=80\text{ 公尺}$$
例題 3：總成本。 邊際成本 $MC(q)=2q+5$，固定成本假設為 0，生產 10 單位的總成本：
$$TC=\int_0^{10}(2q+5)\,dq=\left[q^2+5q\right]_0^{10}=100+50=150$$
例題 4：積分上限也是函數。 設 $g(x)=\int_0^{x^2}\sin(t)\,dt$，求 $g'(x)$。先令 $F(u)=\int_0^u\sin(t)\,dt$，則 $g(x)=F(x^2)$：外層是 $F$，內層是 $x^2$。FTC1 給 $F'(u)=\sin u$，再用連鎖法則：
$$g'(x)=\sin(x^2)\cdot\frac{d}{dx}(x^2)=2x\sin(x^2)$$
漏乘 $2x$ 時，回頭把內層 $x^2$ 圈起來；FTC 沒有替你做完那一層微分。
考卷上長什麼樣
練題時可以依照「題目給你什麼」選起手式；實際考試範圍仍要對照當年度簡章。
- 給函數式、要求定積分：先確認條件，再找反導數。
- 給圖形：從帶正負號的面積算，$x$ 軸下方要扣掉。
- 給變動上下限：拆成積分上限函數，再接連鎖法則。
- 給速度或加速度：先看要求的是位移、路程還是速度，並留意初始條件。
換你算：五題
- $\int_0^{\pi}\sin(x)\,dx$
- $\int_1^{e}\frac{1}{x}\,dx$
- $h(x)=\int_x^{2x}\cos(t^2)\,dt$，求 $h'(x)$
- $y=\sqrt{x}$、$x=4$、$y=0$ 所圍出的面積
- （研究所風格）設 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上連續，且對所有 $x$ 滿足 $f(x)=5+\int_0^x(f(t)-3)\,dt$，求 $f(x)$。
解答
- 反導數 $F(x)=-\cos x$，代入：$-\cos(\pi)-(-\cos 0)=1+1=2$。
- 反導數 $F(x)=\ln\lvert x\rvert$，代入：$\ln e-\ln 1=1$。
- 拆成 $\int_x^{0}+\int_0^{2x}$，再分別對上限用 FTC1：$h'(x)=\cos((2x)^2)\cdot 2-\cos(x^2)\cdot 1=2\cos(4x^2)-\cos(x^2)$。
- $y=\sqrt{x}$ 與 $y=0$ 交於 $x=0$，右邊界是 $x=4$：
$$A=\int_0^4\sqrt{x}\,dx=\left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_0^4=\frac{2}{3}\cdot 8=\frac{16}{3}$$
第 4 題的下界來自 $\sqrt{x}=0$ 的交點 $x=0$，上界則是題目指定的直線 $x=4$。先把封閉區域畫出來，就不容易把上下限寫錯。若連根號的定義也不確定，可以回看根號符號與平方根的區別。
- 兩邊對 $x$ 微分，由 FTC1，右邊變成 $f(x)-3$：
$$f'(x)=f(x)-3$$
這是一階微分方程（ODE）。令 $u=f-3$，就有 $u'=u$，所以 $u=Ce^x$。原式取 $x=0$ 得 $f(0)=5$，因此 $u(0)=2$、$C=2$，得到
$$f(x)=3+2e^{x}$$
驗算：$\int_0^x(f(t)-3)\,dt=\int_0^x 2e^t\,dt=2(e^x-1)$，而 $5+2(e^x-1)=3+2e^x$，過。這題同時用到 FTC1、一階 ODE 和初始條件，是研究所入學考常見的組合。
黎曼積分的天花板
有些函數黎曼積分算不出來。經典例子是狄利克雷函數（Dirichlet function）：
$$D(x)=\begin{cases}1 & x\in\mathbb{Q}\\ 0 & x\notin\mathbb{Q}\end{cases}$$
在任何長度為正的閉區間裡，每個小區間都有有理數和無理數。取樣點全部挑有理數，黎曼和就是區間長度；全部挑無理數，黎曼和就是 $0$。分割再細，這兩種結果仍不同，因此沒有所有取樣法共同的極限。
勒貝格積分（Lebesgue integral）用另一種方式量集合。在這個積分下，有理數集合的測度為零，所以 $D$ 在有限區間上的積分是 $0$。理由是零測度，不能只用「哪一種數比較多」來代替。
什麼時候黎曼可積
勒貝格同時給了一個判別準則：閉區間 $[a,b]$ 上的有界函數 $f$ 黎曼可積，若且唯若它的不連續點所成的集合具有零測度（可以用長度和任意小的區間覆蓋）。白話翻譯：壞點加起來的長度是 0，就沒事。
- 狄利克雷函數的不連續點是全體實數，測度等於整個區間的長度，不可積。
- $f(x)=1$（當 $x=1/n$，$n\in\mathbb{N}$）、$f(x)=0$（其他）的不連續點是 $\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots\}\cup\{0\}$，這是可數集、測度為零，所以它仍然黎曼可積，積分值為 $0$。
第二個函數的壞點雖然無窮多，但全擠在 $x=0$ 附近，加起來長度可以任意小。這個準則大一通常不教，實分析、研究所機率論才會用到。
上下積分（Darboux 觀點）
不談取樣點，也能講可積性。對同一個分割 $P$，達布（Jean Gaston Darboux）定義
$$U(f,P)=\sum_{i=1}^{n}M_i\Delta x_i,\qquad L(f,P)=\sum_{i=1}^{n}m_i\Delta x_i$$
其中 $M_i=\sup_{[x_{i-1},x_i]}f$ 是第 $i$ 段函數值的最小上界，$m_i=\inf_{[x_{i-1},x_i]}f$ 是最大下界。它們不一定真的被函數取到。上積分定義為 $\overline{\int_a^b}f=\inf_P U(f,P)$，下積分為 $\underline{\int_a^b}f=\sup_P L(f,P)$，而
$$\text{黎曼可積}\iff \overline{\int_a^b}f=\underline{\int_a^b}f$$
只談分割細度、不談取樣點，更接近 $\varepsilon$-$\delta$ 證明的風格。
Riemann-Stieltjes：加權版
把黎曼和裡的 $\Delta x_i$ 換成某個遞增函數 $g$ 的增量 $\Delta g_i=g(x_i)-g(x_{i-1})$：
$$\int_a^b f(x)\,dg(x)=\lim_{\lVert P\rVert\to 0}\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\,\Delta g_i$$
這叫 Riemann-Stieltjes 積分，$g$ 決定每段的權重。$g(x)=x$ 時就是普通黎曼積分；若 $g$ 有跳躍，跳躍量會成為該位置的權重。
機率裡也會用 $E[h(X)]=\int h(x)\,dF_X(x)$ 表示期望值，其中 $F_X$ 是累積分布函數。不過對一般的 $h$，這通常要按 Lebesgue-Stieltjes 積分理解；上面以任意取樣點取極限的黎曼版本，仍要先確認積分存在。
物理裡的 FTC
- 位置 → 速度 → 加速度：微分。
- 加速度 → 速度 → 位置：積分。
$$v(t)=\int a(t)\,dt,\qquad s(t)=\int v(t)\,dt$$
知道加速度後，積分可找速度；再積分可找位置。這裡是不定積分，積分常數得用初速度、初位置決定，不能直接省掉。
力 $F(x)$ 沿 $x$ 軸做的功是
$$W=\int_{x_1}^{x_2}F(x)\,dx$$
若力是保守力（例如重力），存在位能函數 $U(x)$ 使得 $F(x)=-U'(x)$。套 FTC：
$$W=U(x_1)-U(x_2)=-\Delta U$$
這說明保守力做功等於位能的減少量。若要連到動能的變化，還要配合力學中的功與動能關係。
六個真的會錯的地方
- 搞混 FTC1 和 FTC2。 FTC1 是「積分上限函數的導數」，FTC2 是「用反導數算定積分」。看清楚題目問哪一個。
- 不定積分忘記加 $C$。 反導數不唯一；定積分不用加，因為 $C$ 會在 $F(b)-F(a)$ 裡消掉。
- 上下限代錯。 口訣「上減下」：$\int_a^b f=F(b)-F(a)$。
- 換元忘記換上下限。 $u$-substitution 時上下限要一起換成 $u$ 的上下限，否則代換完還得換回來，多一道手續就多一次出錯機會。
- 以為連續函數都有初等反導數。 $\int e^{-x^2}\,dx$ 沒有初等形式，只能用誤差函數 $\operatorname{erf}(x)$ 或數值方法。
- 把黎曼可積當成連續。 連續函數在閉區間上一定黎曼可積，反過來不成立。例如只有有限個跳躍點的階梯函數仍可積；處處不連續的狄利克雷函數則不可積。
把定義拿來檢查答案
算得出反導數時，FTC 可以省掉黎曼和的極限計算；算不出初等形式時，積分本身仍可能存在。像 $e^{-x^2}$ 就是連續函數，不能因為查不到一條熟悉的反導數公式，就說它不可積。
練習時我會把兩件事分開問：這個函數可不可積？如果可積，現在有哪些方法能算值或估值？第一個問題靠定義和定理，第二個問題才輪到代換、分部積分或數值近似🙂
打開電腦（或紙筆），把 $\int_0^3 x^2\,dx$ 用右端點黎曼和寫成 $\frac{27}{n^3}\sum_{i=1}^{n}i^2$，然後代 $n=10$、$n=100$、$n=1000$ 各算一次，看它離 $9$ 還有多遠。再把同一題換成左端點算一遍，比較兩邊的誤差。
哪一邊收斂得比較快？為什麼？如果你算出來的誤差方向跟直覺相反，把這六個數字寄給我，我們來看看是哪一步看錯了。
