排列組合完全攻略｜從加法乘法原理到重複組合

威威學長｜計數原理系列

威力彩的玩法是從 1 到 38 號選 6 個，再從 1 到 8 選 1 個當第二區。頭獎機率是

$$\binom{38}{6}=\frac{38!}{6!\cdot 32!}=2,760,681,\qquad \binom{8}{1}=8$$

$$\frac{1}{2,760,681\times 8}=\frac{1}{22,085,448}$$

約兩千兩百萬分之一。這只算「單注全中頭獎」的機率，沒有計入其他獎項、稅額或多人均分，不能拿這個分母直接當整張彩券的期望值。

先看選號這件事：同樣六個號碼，寫的順序換了仍是同一注。這就是用組合數的理由。我們先把「什麼算同一個結果」講清楚，再選公式🙂

換個順序，還算同一個結果嗎

這兩個公式假設物件彼此不同、不重複選取，且 $n,r$ 是滿足 $0\le r\le n$ 的整數。$n!$ 是 $n(n-1)\cdots1$，並約定 $0!=1$。

$$P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}\qquad\text{(從 }n\text{ 個取 }r\text{ 個，排成一列)}$$

$$C(n,r)=\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!\,(n-r)!}\qquad\text{(從 }n\text{ 個取 }r\text{ 個，不管順序)}$$

兩者的關係是

$$P(n,r)=C(n,r)\times r!$$

選出 $r$ 個不同物件後，還能排出 $r!$ 種順序，所以排列數是組合數的 $r!$ 倍。若你兩邊算不一致，先查是否用了同樣的 $n,r$，再看題目是否真的把所有順序當成不同結果。

判斷的小撇步是把題目情境用一句話唸出來：

• 「選 3 個人站成一排」→ 站成一排，順序有差，排列。
• 「選 3 個人當委員」→ 委員之間沒順序，組合。
• 「選 3 個人，其中指定 1 人當班長」：先選人再選班長，共 $\binom n3\cdot3$ 種；另外兩人沒有不同職位，不能直接算 $P(n,3)$。

或，還是然後：兩個原理

動手算之前，先確認題目要的是「或」還是「然後」。

• 加法原理（或）： 從甲地到乙地，走路有 3 條、開車有 2 條，任選一種就好，共 $3+2=5$ 種。
• 乘法原理（然後）： 先從台北到東京有 4 班，再從東京到大阪有 3 班，兩段都要選，共 $4\times 3=12$ 種。

加法原理要確認兩類結果沒有重複；有重複就得扣掉。乘法原理則要確認每一步可選的方法數。題幹出現「或」「然後」可以提醒你，但不能代替這兩個檢查。

二項式係數就在那張三角形裡

楊輝三角也常叫巴斯卡三角。它的加法規則是每格由上一列相鄰兩格相加，對應 $\binom nk=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}k$。

$(a+b)^n$ 是 $n$ 個 $(a+b)$ 相乘。要得到 $a^{n-k}b^k$，就從這 $n$ 個括號中選 $k$ 個取 $b$，其餘取 $a$；係數因此是 $\binom nk$：

$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k}$$

考卷上常見的兩種問法：

• $(1+x)^5$ 展開後 $x^3$ 的係數是 $\binom{5}{3}=10$。
• $(2a-b)^6$ 展開後 $a^2b^4$ 項的係數是 $\binom{6}{4}\cdot 2^2\cdot(-1)^4=15\cdot 4=60$。

別忘了 $a$ 那一側還有個 $2$ 要平方。二項式係數只負責選位置，係數本身的次方也要跟著乘。

七個實戰範例

例題 1：班上選幹部。 班上 40 個人，要選班長、副班長、學藝股長。順序有差（職位不同），所以

$$P(40,3)=40\times 39\times 38=59,280$$

例題 2：便當配菜。 自助餐 12 道菜選 3 道。選青菜、雞腿、魚和選雞腿、魚、青菜是同一種，所以

$$C(12,3)=\frac{12!}{3!\cdot 9!}=\frac{12\times 11\times 10}{3\times 2\times 1}=220$$

例題 3：撲克牌的「一對」。 一副 52 張抽 5 張，剛好拿到一對（one pair）的機率：

1. 選哪個數字配對：$C(13,1)=13$
2. 這個數字選 2 個花色：$C(4,2)=6$
3. 剩下 3 張從其他 12 個數字裡選：$C(12,3)=220$
4. 這 3 張各自的花色：$4^3=64$

$$\text{一對的組合數}=13\times 6\times 220\times 64=1,098,240$$

$$\text{機率}=\frac{1,098,240}{C(52,5)}=\frac{1,098,240}{2,598,960}\approx 42.3\%$$

這就是為什麼打牌時「一對」這麼常出現。

例題 4：可重複嗎？ 從 5 個人中選 3 個當班長、副班長、學藝股長：

• 不可重複（沒人能同時當兩個）：$P(5,3)=60$
• 可重複（允許同一人占多個職位）：$5^3=125$

差異在每個職位還有幾個人可選。允許兼任、每個職位都能從全部 5 人選，才得到 $5^3$；若有額外限制，就逐步數剩下的選項。只看到「可重複」還不夠，還得確認是否區分位置。

例題 5：可重複組合。 從 5 種水果中選 3 個，可以重複，幾種選法？

$$\binom{n+r-1}{r}=\binom{5+3-1}{3}=\binom{7}{3}=35$$

用「星星與橫槓」看這題：3 顆相同星星表示選出的水果，4 個隔板分出 5 種水果的數量。共 7 個位置，挑 3 個放星星，就是 $\binom73=35$。5 種類別需要 4 個隔板，別跟選出的 3 顆水果混在一起😅

例題 6：甲乙丙排隊。 甲必須站最前面：先把甲放進去（1 種），剩下 2 人排後面（$2!=2$ 種），共 2 種。反過來問「甲不能站最前面」：全部 $3!=6$ 種扣掉甲站最前的 $2!=2$ 種，得 4 種。兩種做法都對，但「先扣掉不合法的」對條件複雜的題目省事得多。

例題 7：分組抽籤。 30 個籤中 3 個中獎，先後抽出 3 人：

• 不重複且考慮順序：$P(30,3)=24,360$
• 不重複且不考慮順序：$\binom{30}{3}=4,060$
• 抽完放回：$30^3=27,000$

「先抽籤 vs. 同時公告」的差別就在這裡。

四條恆等式撐住大部分題目

1. $\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}$（對稱）
2. $\binom{n}{r}=\binom{n-1}{r-1}+\binom{n-1}{r}$（巴斯卡遞推，就是楊輝三角的加法規則）
3. $\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}=2^n$（每個元素選或不選）
4. $\binom{n}{r}=\frac{n}{r}\binom{n-1}{r-1}$（吸收恆等式，化簡用）

用第 2 條推第 3 條，順便複習一下二項式定理：

$$\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}=\binom{n}{0}+\sum_{r=1}^{n}\binom{n}{r}=1+\sum_{r=1}^{n}\left[\binom{n-1}{r-1}+\binom{n-1}{r}\right]=\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}+\sum_{r=0}^{n-1}\binom{n-1}{r}=2\sum_{r=0}^{n-1}\binom{n-1}{r}$$

一路遞迴到 $n=1$，得到 $2\cdot 2^{n-1}=2^n$。

五個經典陷阱

陷阱 1：重複選取。 從 5 個人中選 3 個排成一列，可不可以重複選同一個人？不可重複是 $P(5,3)=60$，可重複是 $5^3=125$。關鍵字是「可重複」，看到就直接用乘法原理。

陷阱 2：有條件限制。 5 男 3 女排成一列，女生不能相鄰。先排 5 個男生（$5!$ 種），他們之間與兩端共有 6 個空隙，把 3 個女生插進去（$P(6,3)$ 種）：

$$5!\times P(6,3)=120\times 120=14,400$$

陷阱 3：圓形排列。 $n\ge3$ 個不同的人圍圓桌坐，旋轉後相同的算同一種，固定一人後其餘人有 $(n-1)!$ 種排法。若連鏡射也算同一種，例如不同珠子串成可翻面的手鐲，才再除以 $2$。

陷阱 4：分堆 vs. 分人。 6 本不同的書分給 2 個指定的人各 3 本，有 $\binom63=20$ 種。若只分成兩個沒有名稱、各 3 本的堆，交換兩堆不算新結果，所以除以 $2!$，得到 $10$ 種。這個除法靠的是兩堆大小相同、又沒有標籤；不要把它當成所有分組題的固定動作。

陷阱 5：分配 vs. 排列。 6 個不同的球放進 3 個不同的箱子：

• 每箱不限數量：$3^6=729$（每顆球各自選一箱）。
• 每箱至少 1 顆：先算 $3^6$，扣掉指定一箱空著的 $3\cdot2^6$，再加回被重複扣掉的 $3$ 種，得到 $3^6-3\cdot2^6+3=540$。這是排容原理：把重疊扣除的部分補回來。

生活裡的計數

密碼。 若每格都能填 0 到 9，4 格共有 $10^4=10,000$ 種。若改成 6 格、每格可填大小寫字母與數字，共 $62^6=56,800,235,584$ 種。這裡只比較可能組合數；真實裝置還會有嘗試次數限制，不能把「每秒試一次」直接當成手機破解時間。

手搖飲料。 5 種甜度、5 種冰量、10 種可加可不加的配料：

$$5\times 5\times 2^{10}=25,600$$

兩萬多種組合，難怪每次點飲料都要想很久。

運動賽程。 NBA 30 支球隊、每隊 82 場例行賽，賽程安排本身就是巨大的排列組合問題：主客場、地理距離、背靠背、轉播時段全都要一起塞進去。

撲克牌。 德州撲克的起手牌有 $C(52,2)=1,326$ 種；但花色對稱，本質不同的只有 169 種（口袋對 13 種、同花 78 種、不同花 78 種）。

考卷上長什麼樣

學測數學 A、B 都會出現排列組合，題型大致四類：

1. 基本概念題：給情境問「這是排列還是組合」，選項擺幾個很像的數字。
2. 條件限制題：「某幾個必須相鄰」「某幾個不能相鄰」「某個必須在首位」。
3. 重複選取題：「每格可填 0 到 9，密碼幾種」「5 種口味選 3 球，可重複」。
4. 機率題：從撲克牌、骰子、抽籤延伸出去。

多選題的陷阱通常是「差一個 $r!$」的數字，或是「除不除以 $2!$」的差別。所以每題寫完，回頭看一眼你的答案是 $P$ 還是 $C$，比算得快更重要。

算完之後，拿一個小例子對帳

如果不知道該不該除以階乘，把人數或物品數縮小，列出幾種實際結果。像分成兩個無名稱的等大組，把兩組交換後仍是同一個結果，才需要除掉交換造成的重複。這比只記「排列乘、組合除」有用。

換你算：七題

1. 從 1 到 49 選 6 個號碼（不重複、不管順序），中頭獎機率？
2. 10 個人排成一列，其中 2 人一定要相鄰，幾種排法？
3. 8 本不同的書分放到 3 個有編號的書架，每架至少 1 本；只計每本書放在哪架，不計架內左右順序，幾種放法？
4. 一個 6 位數密碼由 4 個不同的數字（從 0 到 9 選 4 個）組成，每個數字至少出現一次，幾種？
5. 8 個人分成 2 組打 4 對 4，不指定誰是 A 隊誰是 B 隊，幾種分法？
6. 6 位數密碼，每位可用 0 到 9，至少要有一個 7，幾種？
7. 5 男 5 女排成一圈，男女必須交替，幾種排法？

解答

1. $\binom{49}{6}=\frac{49!}{6!\,43!}=13,983,816$，所以機率是 $\frac{1}{13,983,816}$。比威力彩容易一些，但還是千萬分之一等級。
2. 把那 2 人綁成一個「塊」，塊內可換位置（$2!=2$ 種），9 個單位排成一列（$9!$ 種），共 $2\times 9!=725,760$。
3. 題目不計書架內的排列順序。先算每本書各選一架的 $3^8$ 種，再扣掉空架的情況：$3^8-3\cdot2^8+3=5,796$。如果也要計每架書的左右順序，答案就改成 $8!\binom72=846,720$，那是另一個問題。
4. 先選 4 個數字：$\binom{10}{4}=210$。這 4 個數字排成 6 位數、每個至少用一次：$4^6-\binom{4}{1}3^6+\binom{4}{2}2^6-\binom{4}{3}1^6=4096-2916+384-4=1560$。總數 $210\times 1560=327,600$。
5. 先隨便分 $\binom{8}{4}=70$，但「A 隊和 B 隊互換」是同一種分法，除以 2 得 35。
6. 反面扣掉：全部 $10^6=1,000,000$，扣掉完全沒有 7 的 $9^6=531,441$，得 $468,559$。
7. 假設每個人都不同，旋轉視為相同、鏡射視為不同。先讓 5 個男生圍成一圈，$(5-1)!=24$ 種；5 個女生插入空隙有 $5!=120$ 種，共 $24\times120=2,880$。

挑兩題題意接近的題目，把「哪些東西不同」「順序是否算不同」「是否允許重複」先寫在旁邊，再列式。例如 6 本不同的書分給兩個指定的人各 3 本，和分成兩個沒有名字的三本一堆，哪裡會多算一次？

如果算完要除以 $2!$，試著指出被你算了兩次的是哪個具體結果。說得出來，這個除法才有根據；只因為看到「分組」就除，換成大小不同的組便容易出錯。