排列組合完全攻略｜從加法乘法原理到重複組合

威威學長 | 計數原理系列

一句話總結

排列是「順序有關」，組合是「順序無關」。但真正的關鍵不是背公式，而是判斷「順序到底有沒有差」。

故事開場：威力彩的數學

威力彩的玩法：從 1-38 號碼中選 6 個，再從 1-8 中選 1 個作為第二區。

中頭獎的機率是多少？

第一區：$\binom{38}{6} = \frac{38!}{6! \cdot 32!} = 2,760,681$

第二區：$\binom{8}{1} = 8$

總機率：$\frac{1}{2,760,681 \times 8} = \frac{1}{22,085,448}$

大約兩千兩百萬分之一。你買一注要 100 元，要「期望值打平」頭獎獎金至少要 22 億。但實際上頭獎通常只有幾億，所以長期買彩券一定是賠錢的。

這就是排列組合的威力——幫你看清真相。

我第一次算這個是在慕尼黑工業大學（TUM）修「Stochastik」時，教授在黑板上寫下 22,085,448，整個教室安靜了三秒。從那天起我就確信：懂得計算的人，永遠不會被機率遊戲的話術騙走。

排列 vs. 組合：到底差在哪？

核心問題：順序重不重要？

情境	順序重要？	用什麼
排列獎牌（金銀銅）	是	排列 $P(n,r)$
選出 3 個人當委員	否	組合 $C(n,r)$
設定密碼 123 vs. 321	是	排列
選 5 樣菜的便當	否	組合
書架上放 3 本書	是	排列
從 10 個朋友中邀 3 個來家裡	否	組合

排列公式

$P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$

白話：從 $n$ 個東西中選 $r$ 個，考慮順序。

組合公式

$C(n,r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

白話：從 $n$ 個東西中選 $r$ 個，不考慮順序。

兩者的關係

$P(n,r) = C(n,r) \times r!$

排列 = 組合 × 順序數。因為組合選出 $r$ 個後，這 $r$ 個可以有 $r!$ 種排列方式。

這個關係我自己常用來「驗算」：先算組合，再乘上 $r!$ 看會不會等於排列。如果對不起來，100% 是「順序到底有沒有差」搞錯了。

歷史小教室：這個東西其實很老

楊輝三角（南宋 13 世紀）

很多人以為巴斯卡三角形（Pascal's triangle）是法國人發明的，其實早在大約 1261 年，南宋數學家楊輝就在《詳解九章算術》畫出這個三角形了。楊輝（1239–1298）甚至寫了一句：「積數之說，蓋由是出。」意思是「組合數的算法，從這裡來。」

更早的賈憲（約 1050 年）已經畫出類似的圖，楊輝是把它推廣並寫進課本的人。所以下次有人說「Pascal 是原創」，你可以禮貌地說：「對，西方的文獻紀錄是；但東方早了四百年。」

巴斯卡與雷布尼茲的通信（1653）

布萊士·巴斯卡（Blaise Pascal）在 1653 年的《Traité du triangle arithmétique》正式出版這張三角形。1654 年，他和費馬討論「點數問題」（problem of points）——賭到一半下桌子，籌碼怎麼分？這就是「機率論」的起點。雷布尼茲（Leibniz）後來接手，把組合公式寫成現在我們熟悉的封閉形式 $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$。

換句話說，排列組合不是某個人某天突然發明的，是賭博、保險、天文觀測三條線慢慢匯流而成。這也是為什麼學這個主題時，順便把機率史讀一遍，會比較有感。

實戰範例

例題 1：班上選幹部

班上 40 個人，要選班長、副班長、學藝股長。有多少種選法？

分析： 順序有差（班長和副班長是不同的職位）。

$P(40,3) = 40 \times 39 \times 38 = 59,280$

例題 2：便當配菜

自助餐有 12 道菜，你選 3 道。有多少種組合？

分析： 順序無差（選青菜+雞腿+魚 = 選雞腿+魚+青菜）。

$C(12,3) = \frac{12!}{3! \cdot 9!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$

例題 3：機率計算

一副 52 張撲克牌，抽 5 張。剛好拿到一對（one pair）的機率是多少？

分析：

選哪個數字配對：$C(13,1) = 13$
選這個數字的 2 張花色：$C(4,2) = 6$
剩下 3 張從其他 12 個數字中選：$C(12,3) = 220$
這 3 張的花色：$4^3 = 64$

$\text{一對的組合數} = 13 \times 6 \times 220 \times 64 = 1,098,240$

$\text{機率} = \frac{1,098,240}{C(52,5)} = \frac{1,098,240}{2,598,960} \approx 42.3%$

這就是為什麼打撲克牌時「一對」這麼常出現。

例題 4：可重複排列 vs. 不可重複

從 5 個人中選 3 個當班長、副班長、學藝股長。

不可重複（沒人同時當兩個）：$P(5,3) = 60$
可重複（允許同一人占多個職位，理論上）：$5^3 = 125$

差異就在「每一步選擇是否互相獨立」。如果題目寫「可重複」「可重複選取」「獨立抽取」，就用 $n^r$。

例題 5：可重複組合（多項式定理）

從 5 種水果中選 3 個，可以重複，有幾種組合？

公式： $\binom{n+r-1}{r} = \binom{5+3-1}{3} = \binom{7}{3} = 35$

這個公式來自「星星與橫槓」（stars and bars）方法——把 3 個相同的星星和 2 個隔板排成一列，從中選位置。

例題 6：甲乙丙三人排隊，甲必須站在最前面

如果「最前面」只有 1 個位置：先把甲放進去（1 種），剩下 2 人排後面（$2! = 2$ 種），總共 2 種。

如果「甲不能站最前面」：先算全部 $3! = 6$，再扣掉「甲站最前」的 $2! = 2$，得到 4 種。

兩種做法結果一樣，但「先扣掉不合法」的思路對條件複雜的題更省事。

例題 7：分組抽籤

30 個籤中只有 3 個中獎，先後抽出 3 人。

沒人重複且考慮順序：$P(30,3) = 24,360$
沒人重複但不考慮順序：$\binom{30}{3} = 4,060$
抽出後放回（可重複）：$30^3 = 27,000$

抽樂透、開門獎、選幹部「先後抽籤 vs. 同時公告」，差異就在這裡。

二項式定理：組合的副產品

$(a+b)^n$ 展開後，第 $k$ 項（從 $k=0$ 開始）的係數就是 $\binom{n}{k}$：

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k}$

這個恆等式在 1261 年的《詳解九章算術》就有了，比巴斯卡早了四百年。楊輝把這個結果整理成三角形，就是今天的「楊輝三角 / Pascal's triangle」。

考試常考的：

$(1+x)^5$ 展開後 $x^3$ 係數 = $\binom{5}{3} = 10$
$(2a-b)^6$ 展開後 $a^2 b^4$ 項係數 = $\binom{6}{4} \cdot 2^2 \cdot (-1)^4 = 15 \cdot 4 = 60$

這個套路高一上就會碰，高三選修數 A 還會再回來一次。

重要的計數恆等式

記住這四條，能讓你 80% 的恆等式題目都解得出來：

$\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$（對稱）
$\binom{n}{r} = \binom{n-1}{r-1} + \binom{n-1}{r}$（Pascal 遞推，楊輝三角的規則）
$\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} = 2^n$（每個元素選或不選）
$\binom{n}{r} = \frac{n}{r} \binom{n-1}{r-1}$（吸收恆等式，化簡用）

舉例：用恆等式 2 證明恆等式 3：

$\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} = \binom{n}{0} + \sum_{r=1}^{n} \binom{n}{r} = 1 + \sum_{r=1}^{n} \left[\binom{n-1}{r-1} + \binom{n-1}{r}\right] = \sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k} + \sum_{r=0}^{n-1}\binom{n-1}{r} = 2 \sum_{r=0}^{n-1} \binom{n-1}{r}$

遞迴到 $n=1$，得 $2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$。這就是「二項式定理」本身的算術版證明。

加法原理 vs. 乘法原理

在動手算之前，先搞清楚你要的是「或」還是「和的步驟」。

加法原理（OR）： 從甲地到乙地，走路或開車。如果兩種方法互斥，總數 = 走路方法數 + 開車方法數。
乘法原理（AND）： 從台北到東京再到大阪，總方法數 = 台北到東京 × 東京到大阪。

判斷方式：題目說「或」「或者」「任一」→ 加法；說「再」「接著」「然後」→ 乘法。

台灣學測常見考法

學測數學 A、B 都會考 1-2 題排列組合，題型很固定：

基本概念題： 給情境問「這是排列還是組合」，選項通常擺四個差不多的數字。
條件限制題： 「某幾個必須相鄰」「某幾個不能相鄰」「某個必須在首位」。
重複選取題： 「每格可填 0-9，密碼幾種」「從 5 種口味選 3 球冰淇淋，可重複」。
機率題： 從撲克牌、骰子、抽籤延伸出來。

學測選項常見陷阱

學測選擇題 5 個選項，陷阱通常長這樣：

(A) 60、(B) 120、(C) 240、(D) 720、(E) 1440

這組是 $P(5,3)=60$、$3!=6$、$P(6,3)=120$、$P(5,4)=120$（另一個）、$5!=120$。寫題時若算出 60，第二個想到的數字是 120，剛好對到陷阱。

判斷順序的小撇步：把題目情境用一句話唸出來。

「選 3 個人站成一排」→ 站成一排，順序有差，排列。「選 3 個人當委員」→ 委員沒順序，組合。「選 3 個人並指定誰當班長」→ 既然指定了就有順序，排列。

這招我教高三學生時反覆練，考試時唸出來就能少錯一半。

生活中的排列組合

1. 密碼安全

你的手機密碼是 4 位數，每位 0-9。總共 $10^4 = 10,000$ 種可能。如果每秒試一組，167 分鐘就能破解。

如果你用 6 位英數混合密碼（大小寫字母 + 數字 = 62 字元），有 $62^6 = 56,800,235,584$ 種可能。每秒試一組要 1,800 年。

密碼長度比複雜度重要。 這句話如果早十年懂，我在 Amazon 工作那台筆電就不會被同事笑「密碼太短」。

2. 手搖飲料菜單

50 嵐有 5 種甜度、5 種冰量、10 種加料選項（可加可不加）。一杯飲料的可能組合：

甜度 × 冰量 × 加料 = $5 \times 5 \times 2^{10} = 25,600$

兩千多種組合，難怪每次點飲料都要想很久。

3. 運動賽程

NBA 30 支球隊，每隊打 82 場例行賽。賽程的安排就是一個巨大的排列組合問題——要考慮主客場、地理距離、背靠背比賽、電視轉播……。

我以前在 Amazon 做物流最佳化（routing optimization）時碰過類似的東西，只是把「球隊」換成「送貨車」、「主客場」換成「時段限制」。核心數學一模一樣。

4. 撲克牌遊戲

德州撲克的起手牌有 $C(52,2) = 1,326$ 種。但因為花色對稱，實際上只有 169 種本質不同的起手牌（pocket pairs: 13 種, suited: 78 種, offsuit: 78 種）。

經典陷阱題

陷阱 1：重複選取

從 5 個人中選 3 個排成一列，可以重複選同一個人嗎？

不可重複：$P(5,3) = 60$
可重複：$5^3 = 125$

關鍵字：「可重複」→ 用乘法原理直接算。

陷阱 2：有條件限制

5 男 3 女排成一列，女生不能相鄰。

解法： 先排 5 個男生（$5!$ 種），再把 3 個女生插入 6 個空隙（$P(6,3)$ 種）。

$5! \times P(6,3) = 120 \times 120 = 14,400$

陷阱 3：圓形排列

$n$ 個人圍圓桌坐，有幾種坐法？

不是 $n!$，而是 $(n-1)!$。因為圓桌沒有「起點」，旋轉後相同的算同一種。

如果是「手鐲」可以翻面，還要再除以 2，得到 $\frac{(n-1)!}{2}$。

陷阱 4：分堆 vs. 分人

6 本書分給 2 個人各 3 本：

分給「兩個人」：$C(6,3) \times C(3,3) = 20$，不用除，因為小明拿到 A、B、C 和小華拿到 D、E、F，跟反過來是兩種情況。
分給「兩堆」（不指定誰）：要再除以 $2!$，得到 10 種。

關鍵字：「人」不除，「堆」要除。

陷阱 5：分配 vs. 排列

把 6 個不同的球放進 3 個不同的箱子：

若每箱不限數量：$3^6 = 729$（每球選一箱）。
若每箱至少 1 球：要用「surjection 數」或包絡原理，遠比 $C(6,1)\cdot C(5,1)\cdot C(4,1)$ 複雜。

學測通常只考前者，小心別寫成 $C(6,3) \cdot 3! = 120$（那是把 3 球放進 3 個指定箱，每箱 1 球）。

常見錯誤

排列組合搞混。 口訣：「排排站（排列）」有順序，「組一組（組合）」沒順序。
忘記除以重複。 例如：6 本書分給 2 人各 3 本，不是 $C(6,3) \times C(3,3) = 20$，因為兩個人是「不同的人」，所以不用除。但如果分給「兩堆」就要除以 2。
直接用 $n^r$ 而不考慮是否可重複。 $n^r$ 是「可重複排列」，只適用於每次選擇都獨立的情況。
圓形排列忘記 $(n-1)!$。 線形是 $n!$，圓形是 $(n-1)!$，手鐲（可翻面）是 $\frac{(n-1)!}{2}$。
乘法原理用錯時機。 題目說「完成此事有兩種獨立方法」，是加法（兩種方法可任選）；題目說「完成此事要分三個步驟」，才是乘法。

快速練習（含詳解）

題 1： 從 1-49 樂透選 6 個號碼（不重複，不考慮順序），中頭獎機率？

解： $\binom{49}{6} = \frac{49!}{6! \cdot 43!} = 13,983,816$

機率 $\frac{1}{13,983,816}$。比威力彩容易一些，但仍是千萬分之一等級。

題 2： 10 個人排成一列，其中 2 個人一定要相鄰，有幾種排法？

解：

把那 2 人綁成一個「塊」：內部可換 $2! = 2$ 種。
9 個單位排成一列：$9!$
總數：$2 \times 9! = 725,760$

題 3： 8 本不同的書放到 3 個書架上，每個書架至少放 1 本（書架有編號），有幾種放法？

解：

用「surjection」算法：$3^8 - 3 \cdot 2^8 + 3 \cdot 1^8 = 6561 - 768 + 3 = 5796$（包絡原理）。
或者：選 8 本書中哪些放書架 1、哪些放書架 2、其餘書架 3，每個書架不能空。直接列舉太複雜，考試不會出。

學測版本通常會簡化成「每層書架書數已指定」或「書架不編號」。

題 4： 一個 6 位數密碼由 4 個不同數字（0-9 中選 4）組成，每個數字至少出現一次。共幾種？

解：

先選 4 個不同數字：$\binom{10}{4} = 210$ 種。
4 個數字排成 6 位數，每個至少用一次：surjection $4^6 - \binom{4}{1}3^6 + \binom{4}{2}2^6 - \binom{4}{3}1^6 = 4096 - 2912 + 384 - 4 = 1560$。
總數：$210 \times 1560 = 327,600$。

題 5： 把 8 個人分成 2 組打籃球（4 vs. 4），不指定誰是 A 隊誰是 B 隊，有幾種分法？

解：先隨便分：$\binom{8}{4} = 70$。但因為「A 隊 = B 隊互換」是同一種分法，所以要除以 2：$70 / 2 = 35$。

如果你沒除以 2，就掉進「陷阱 4」了。

題 6： 6 位數密碼，每位可選 0-9，至少要有一個 7，總共幾種？

解：全體 $10^6 = 1,000,000$，扣掉沒有 7 的 $9^6 = 531,441$，得 $468,559$。

這種「至少有一個」題用「反面扣掉」比正面枚舉快很多。

給高中生的建議

排列組合是機率的基礎，機率是統計的基礎，統計是資料科學的基礎。

如果你以後想做 AI、資料分析、金融工程，排列組合是你必須打好的根基。不是因為你會直接算 $C(n,r)$，而是因為「計數思維」——把複雜問題拆成可數的小步驟——這種能力在任何領域都有用。

就像學英文的「句型」一樣。你不是背了 5 種句型就能寫出好文章，但掌握了句型結構，你就能分析任何句子、寫出任何你想表達的意思。

我自己從 TUM 到 Amazon 再到現在教高中生，看過太多學生「公式背得熟，但情境判斷全錯」。學排列組合，請把 7 成時間花在「讀題判斷」，3 成時間花在「算」。把判斷練成反射動作，考場上才不會在 5 個選項間鬼打牆。

延伸練習

從 1-49 樂透選 6 個號碼，中獎機率是多少？（答案：$\frac{1}{13,983,816}$）
10 個人排成一列，其中 2 個人一定要相鄰，有幾種排法？（答案：$2 \times 9! = 725,760$）
8 本不同的書放到 3 個書架上，每個書架至少放 1 本，有幾種放法？（答案：$5796$，surjection）
從 5 種水果中選 3 個，可以重複，有幾種？（答案：$\binom{7}{3} = 35$）
5 男 5 女排一圈，男女必須交替，有幾種？（答案：先排男生 $(5-1)!$，再把 5 個女生插入 5 個空隙 $5!$，總計 $4! \times 5! = 2,880$）

威威學長說：排列組合不是在算數字，是在訓練你「把大問題拆成小問題」的能力。這個能力，一輩子受用。