威威學長｜高二三角函數系列
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課本講到 $y=A\sin(\omega x+\varphi)+B$ 的圖形，標準動作是先丟給你一條「平移公式」，再示範把圖往左往右搬😅。公式是對的，但如果你跟我一樣，每次都在「到底往左還是往右、到底是幾分之幾」上面打結，那這篇是為你寫的。 是不是有這些疑問？給了 $y=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$，為什麼有人說往右 $\frac{\pi}{3}$、有人說往右 $\frac{\pi}{6}$，兩個都講得理直氣壯？只給你半個週期的圖、標了波峰跟波谷的座標，要你反推 $A$、$\omega$、$\varphi$、$B$，到底該從哪一格開始？還有那種四個圖給你挑的選擇題，難道真的要一個一個畫出來？🙃 今天我們就來聊聊兩套工具：一套負責畫圖跟秒殺選項（五點法），一套負責把波峰波谷變成方程式（四步 SOP）。中間不需要背任何平移公式。
一、心態先調對：不要提出係數
看到 $y=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$，很多同學的第一反應是把 $2$ 提出來： $$y=\sin\left[2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\right]$$ 然後開始糾結「這是往右 $\frac{\pi}{6}$、還是壓縮 $2$ 倍、還是先平移再壓縮」，糾結到考卷都收走了😅。 畫圖的時候，不要提係數。把整包角度當成一個整體： 👑 威威說重點： 令 $\theta=\omega x+\varphi$，這個 $\theta$ 叫做整包角度，就是「$\sin$ 括號裡面那一整坨」。接下來你只需要問一個問題：這包 $\theta$ 現在走到母函數的哪個位置？ 剩下的都是國中的一元一次方程式，一分鐘解五題。
順便破除：「先伸縮還是先平移」的順序迷思
同學最常問的一句是：「學長，先壓縮再平移，跟先平移再壓縮，答案不是一樣嗎？」 看這兩個式子： $$y=\sin\left[2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\right]\qquad\text{和}\qquad y=\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)$$ 第一個是把 $x$ 換成 $2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$（壓縮 $2$ 倍、再往右 $\frac{\pi}{6}$）；第二個是把 $x$ 換成 $2x-\frac{\pi}{6}$，也就是先往右 $\frac{\pi}{6}$、再壓縮 $2$ 倍。兩個式子長得有夠像，但波峰位置一個在 $\frac{5\pi}{12}$、一個在 $\frac{\pi}{3}$，差了 $\frac{\pi}{12}$。順序不同，圖形就不同。 判斷的心法很簡單：把原式裡所有的 $x$ 想成一個空格，任何變化都只能塞進那個空格。 「往右 $\frac{\pi}{6}$」就是往空格填 $x-\frac{\pi}{6}$；「壓縮 $2$ 倍」就是往空格填 $2x$。兩個都要做，先填哪一個當然會影響結果。 不過畫圖的時候，你根本不必管這些。這正是學長要你別提係數的原因。整包角度一鎖定，順序問題自動消失✌️（想徹底搞懂這套替換語言，回頭看圖形變換的黃金定律）。
二、五點法：母函數的五個關鍵角度
母函數 $y=\sin\theta$ 的一個週期裡面，有五個角度是你「一看就知道 $y$ 是多少」的：
| 整包角度 $\theta$ | $\sin\theta$ | 在圖上的身分 |
|---|---|---|
| $0$ | $0$ | 從中線往上爬的起點 |
| $\frac{\pi}{2}$ | $1$ | 波峰 |
| $\pi$ | $0$ | 由上往下穿過中線 |
| $\frac{3\pi}{2}$ | $-1$ | 波谷 |
| $2\pi$ | $0$ | 由下往上穿過中線 |
（這張表其實就是單位圓轉一圈的紀錄，不熟的話補一下廣義角與單位圓。）
五點法的操作很單純：把這五個角度分別塞進 $\theta$，各解一次 $x$。
拿 $y=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$ 走一遍。$\theta=0$ 時 $2x=\frac{\pi}{3}$，$x=\frac{\pi}{6}$；$\theta=\frac{\pi}{2}$ 時 $2x=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{6}$，$x=\frac{5\pi}{12}$。後面照做：
| $\theta$ | $0$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $x$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{5\pi}{12}$ | $\frac{2\pi}{3}$ | $\frac{11\pi}{12}$ | $\frac{7\pi}{6}$ |
| $y$ | $0$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ |
五個點連起來，一個週期就畫完了。想畫下一個週期，把這五個 $x$ 各加一個週期 $\pi$ 就好（因為 $\omega=2$，週期是 $\frac{2\pi}{2}=\pi$）。
順手檢查一下：上面五個 $x$ 寫成同分母是 $\frac{2\pi}{12},\ \frac{5\pi}{12},\ \frac{8\pi}{12},\ \frac{11\pi}{12},\ \frac{14\pi}{12}$，每格剛好差 $\frac{3\pi}{12}=\frac{\pi}{4}$，也就是四分之一個週期。等距就對了，不等距一定是哪裡算錯。這五個點像捷運的站距，站距突然變了，就是你坐錯線了🙂。
五點法最實用的偷吃步：算 $x=0$
選擇題丟四個圖要你挑，別傻傻把四個函數都畫出來。代 $x=0$ 最快： $$y=\sin\left(0-\frac{\pi}{3}\right)=\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\approx-0.866$$ 截距是負的，而且離 $-1$ 很近。選項裡凡是畫成「$y$ 截距是正的」或「$y$ 截距剛好等於 $-1$」的，一刀砍掉。四個選項，這一刀通常就砍掉三個😎。
👑 學長的提醒：五點法先算 $\theta$ 的角，選擇題先算 $x=0$。角對，圖就對；截距對，選項就對。
三、四步 SOP：從波峰波谷反推方程式
題目給波峰 $(x_1, y_{\max})$、波谷 $(x_2, y_{\min})$，要你寫出 $y=A\sin(\omega x+\varphi)+B$。四步，一步都不多：
- ① 中線：$B=\dfrac{y_{\max}+y_{\min}}{2}$。波峰跟波谷的正中間就是中線。
- ② 振幅：$A=\dfrac{y_{\max}-y_{\min}}{2}$。先讓 $A$ 是正的，正負號最後再處理。
- ③ 週期：波峰到波谷的距離是半個週期。$\left|x_1-x_2\right|=\dfrac{T}{2}$，所以 $T=2\left|x_1-x_2\right|$，$\omega=\dfrac{2\pi}{T}$。
- ④ 相位：鎖定波峰，令 $\omega x_1+\varphi=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$，解一元一次式，再依題目的範圍挑 $k$。
第 ③ 步是很多人陣亡的地方：看到「波峰到波谷」就直覺當成一個週期，$\omega$ 直接算成兩倍。波峰到波谷永遠是半個週期，波峰到「下一個波峰」才是一個週期。 👑 威威說重點： 四步裡前三步都只是加減乘除，真正要想清楚的只有第四步，而且它永遠鎖波峰，因為波峰的整包角度只有一種長相。 ⚠️ 學長的警告： 這章從頭到尾都用弧度。看到題目寫 $30^\circ$、或「轉一圈是 360」，第一件事就是換成 $\frac{\pi}{6}$、$2\pi$。兩種單位混著用，算式不會報錯，答案會默默地錯。至於為什麼數學家最後選了弧度、把 360 丟掉，那是弧度量那篇的故事：歐拉在 1748 年的《無窮分析引論》裡把角度寫成「半徑為 1 的圓上對應的弧長」，從此 $S=r\theta$、$\dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x$ 這些公式才乾淨得起來🙂。
完整範例：波峰 $\left(-\frac{\pi}{3}, 3\right)$、波谷 $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$
① 中線：$B=\dfrac{3+0}{2}=\dfrac{3}{2}$ ② 振幅：$A=\dfrac{3-0}{2}=\dfrac{3}{2}$ ③ 半週期 $=\left|\dfrac{\pi}{2}-\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\right|=\dfrac{3\pi}{6}+\dfrac{2\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}$，所以 $T=\dfrac{5\pi}{3}$，$\omega=\dfrac{2\pi}{5\pi/3}=\dfrac{6}{5}$ ④ 波峰在 $x_1=-\frac{\pi}{3}$，代入： $$\frac{6}{5}\cdot\left(-\frac{\pi}{3}\right)+\varphi=\frac{\pi}{2}\ \Longrightarrow\ -\frac{2\pi}{5}+\varphi=\frac{\pi}{2}\ \Longrightarrow\ \varphi=\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi}{5}=\frac{5\pi}{10}+\frac{4\pi}{10}=\frac{9\pi}{10}$$ 答案是： $$y=\frac{3}{2}\sin\left(\frac{6}{5}x+\frac{9\pi}{10}\right)+\frac{3}{2}$$ 驗算：拿波谷檢查。$x=\frac{\pi}{2}$ 代進整包角度： $$\frac{6}{5}\cdot\frac{\pi}{2}+\frac{9\pi}{10}=\frac{3\pi}{5}+\frac{9\pi}{10}=\frac{6\pi}{10}+\frac{9\pi}{10}=\frac{15\pi}{10}=\frac{3\pi}{2}$$ $\sin\frac{3\pi}{2}=-1$，所以 $y=\frac{3}{2}(-1)+\frac{3}{2}=0$ ✓ 正好是題目給的波谷高度。收工😁。 那怎麼辦呢？🙃如果題目限制 $|\varphi|<\pi$：$k=0$ 給 $\frac{9\pi}{10}$，合格；$k=-1$ 會得到 $\frac{9\pi}{10}-2\pi=-\frac{11\pi}{10}$，絕對值超過 $\pi$，退貨。所以答案是唯一的。
🌰 範例解析
範例 1：用五點法畫出 $y=2\sin\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)$ 的一個週期。
| $\theta$ | $0$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|
| 解 $3x+\frac{\pi}{4}=\theta$ 得 $x$ | $-\frac{\pi}{12}$ | $\frac{\pi}{12}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{5\pi}{12}$ | $\frac{7\pi}{12}$ |
| $y=2\sin\theta$ | $0$ | $2$ | $0$ | $-2$ | $0$ |
- 學長邏輯：三個關鍵數字先抓出來，分別是振幅 $2$（波峰波谷的高度）、週期 $\frac{2\pi}{3}$（所以每格差 $\frac{\pi}{6}$）、起點 $x=-\frac{\pi}{12}$。想確認自己畫得對不對，代 $x=0$：$2\sin\frac{\pi}{4}=\sqrt{2}\approx1.41$，圖形切在 $y$ 軸上的高度就該是 $1.41$ 左右。
範例 2：某函數圖形的波峰在 $(\frac{\pi}{6}, 1)$、波谷在 $(\frac{2\pi}{3}, -3)$，求方程式。 $B=\frac{1+(-3)}{2}=-1$；$A=\frac{1-(-3)}{2}=2$；半週期 $=\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$，$T=\pi$，$\omega=2$；波峰：$2\cdot\frac{\pi}{6}+\varphi=\frac{\pi}{2}$，得 $\varphi=\frac{\pi}{6}$。 $$y=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)-1$$ 驗算波谷：$2\cdot\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{6}=\frac{4\pi}{3}+\frac{\pi}{6}=\frac{8\pi}{6}+\frac{\pi}{6}=\frac{9\pi}{6}=\frac{3\pi}{2}$，$\sin=-1$，$y=-2-1=-3$ ✓
- 學長邏輯：$B$ 是兩個 $y$ 值的平均數，先把它算掉，圖形的「上下位置」就不會再干擾你。這題的 $B$ 是 $-1$，不是 $0$。中線在 $x$ 軸底下，忘了它整題就沒了😔。
範例 3：某港口的水深 $h$（公尺）隨時間 $t$（小時）變化，$t=1$ 時最深 7 公尺、$t=7$ 時最淺 1 公尺，寫出 $h$ 對 $t$ 的關係式。 最深、最淺就是波峰、波谷。$B=\frac{7+1}{2}=4$；$A=\frac{7-1}{2}=3$；半週期 $=7-1=6$，$T=12$，$\omega=\frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{6}$；波峰：$\frac{\pi}{6}\cdot 1+\varphi=\frac{\pi}{2}$，$\varphi=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}$。 $$h(t)=3\sin\left(\frac{\pi}{6}t+\frac{\pi}{3}\right)+4$$ 驗算最淺的時刻 $t=7$：$\frac{7\pi}{6}+\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{6}+\frac{2\pi}{6}=\frac{9\pi}{6}=\frac{3\pi}{2}$，$\sin=-1$，$h=-3+4=1$ ✓
- 學長邏輯：情境題只是把「波峰波谷」換句話說。「最深／最淺」就是 $\max/\min$，「每隔 12 小時一個循環」就是週期。四步照走，一個字都不用改。這種上下規律起伏的現象，物理上就叫簡諧運動：潮汐、彈簧、聲波全是同一個數學長相🙂。
**範例 4：圖形在 $x=0$ 的 $y$ 值約為 $-0.87$，判斷下列哪個函數可能是它？(A) $y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$ (B) $y=\sin(2x-\frac{\pi}{3})$ (C) $y=\sin(2x+\frac{\pi}{6})$ (D) $y=\sin(2x-\frac{\pi}{2})$ 四個都代 $x=0$：(A) $\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0.87$；(B) $\sin(-\frac{\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}\approx-0.87$；(C) $\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$；(D) $\sin(-\frac{\pi}{2})=-1$。答 (B)。
- 學長邏輯：(D) 也是負的，但它是 $-1$，跟圖上量到的 $-0.87$ 差一截。偷吃步不是「正負對了就選」，是「數字要對」。想再確認，用五點法往下查一格也可以：波峰位置 (B) 在 $x=\frac{5\pi}{12}$、(D) 在 $x=\frac{\pi}{2}$，很好分辨。
範例 5：某函數的中線是 $y=1$，波峰在 $(\frac{\pi}{3}, 4)$，下一個波谷在 $(\frac{7\pi}{6}, -2)$，求方程式。 $A=4-1=3$；半週期 $=\frac{7\pi}{6}-\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{6}-\frac{2\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$，$T=\frac{5\pi}{3}$，$\omega=\frac{2\pi}{5\pi/3}=\frac{6}{5}$；波峰：$\frac{6}{5}\cdot\frac{\pi}{3}+\varphi=\frac{\pi}{2}$，$\frac{2\pi}{5}+\varphi=\frac{\pi}{2}$，$\varphi=\frac{5\pi}{10}-\frac{4\pi}{10}=\frac{\pi}{10}$。 $$y=3\sin\left(\frac{6}{5}x+\frac{\pi}{10}\right)+1$$ 驗算波谷：$\frac{6}{5}\cdot\frac{7\pi}{6}+\frac{\pi}{10}=\frac{7\pi}{5}+\frac{\pi}{10}=\frac{14\pi}{10}+\frac{\pi}{10}=\frac{15\pi}{10}=\frac{3\pi}{2}$，$\sin=-1$，$y=-3+1=-2$ ✓
- 學長邏輯：題目沒有直接給最低點，而是用「中線＋波峰」間接給。看到這種寫法別慌，$A$ 就是波峰到中線的距離。另外要分清楚：波峰到波谷（不管是哪一組）永遠是半個週期；如果題目給你兩個波峰，那才是整個週期。把「半」跟「全」看錯，$\omega$ 就會差兩倍🤣。
🔍 即時小測
- 母函數 $y=\sin\theta$ 的波谷對應哪個角度？
- $y=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$ 在 $x=0$ 的 $y$ 值是多少？大約是多少？
- 承上題，五點法中「$\theta=\pi$」對應的 $x$ 是多少？
- 波峰 $(\frac{\pi}{6}, 5)$、波谷 $(\frac{2\pi}{3}, -1)$，求 $B$、$A$、$\omega$。
- 承上題，求 $\varphi$ 並寫出完整方程式。
- 波峰 $(-\frac{\pi}{4}, 4)$、波谷 $(\frac{\pi}{4}, 0)$，求完整方程式。
- 為什麼求 $\varphi$ 建議鎖定波峰，而不是用圖形與中線的交點？
📖 詳解：
- $\frac{3\pi}{2}$。母函數在 $\theta=\frac{3\pi}{2}$ 時 $\sin\theta=-1$，是整條曲線的最低點。
- $\sin(-\frac{\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}\approx-0.87$。這也是選擇題最好用的一刀。
- $2x-\frac{\pi}{3}=\pi$，$2x=\frac{4\pi}{3}$，$x=\frac{2\pi}{3}$。
- $B=\frac{5+(-1)}{2}=2$；$A=\frac{5-(-1)}{2}=3$；半週期 $=\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$，$T=\pi$，$\omega=2$。
- 波峰：$2\cdot\frac{\pi}{6}+\varphi=\frac{\pi}{2}$，$\frac{\pi}{3}+\varphi=\frac{\pi}{2}$，$\varphi=\frac{\pi}{6}$。所以 $y=3\sin(2x+\frac{\pi}{6})+2$。驗算波谷：$2\cdot\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{6}=\frac{3\pi}{2}$，$y=3(-1)+2=-1$ ✓
- $B=\frac{4+0}{2}=2$；$A=\frac{4-0}{2}=2$；半週期 $=\frac{\pi}{4}-(-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2}$，$T=\pi$，$\omega=2$；波峰：$2(-\frac{\pi}{4})+\varphi=\frac{\pi}{2}$，$-\frac{\pi}{2}+\varphi=\frac{\pi}{2}$，$\varphi=\pi$。答案 $y=2\sin(2x+\pi)+2$。驗算波谷：$2\cdot\frac{\pi}{4}+\pi=\frac{\pi}{2}+\pi=\frac{3\pi}{2}$，$y=-2+2=0$ ✓
- 因為波峰的整包角度永遠是 $\frac{\pi}{2}+2k\pi$，只有一種型態。中線交點的角度是 $k\pi$：往上穿是偶數倍的 $\pi$、往下穿是奇數倍，兩個差了一個 $\pi$，選錯 $k$ 整題就歪掉。想看更多這類對稱軸、對稱中心的判斷，四大特徵那篇有完整的分類法。
