威威學長｜高中數學
拿直線 $y=x+k$ 去切拋物線 $y=x^2$。$k=0$ 時，交點是 $(0,0)$ 和 $(1,1)$。把直線往下移，也就是減小 $k$，兩個交點會靠近，碰在一起後消失。
碰在一起時 $k$ 是多少？我們把兩條式子聯立，看看交點的座標在哪一步變成方程式的根。
交點就是「同時滿足」
一個點要在兩條圖形上，它的座標就得同時滿足兩個方程式。所以把兩式中的 $y$ 消掉，剩下的方程式，它的每個實根就對應一個交點。
$$x^2=x+k\quad\Longrightarrow\quad x^2-x-k=0$$
現在問題變成：這個二次方程式有幾個實根？判別式回答它：
$$\Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-k)=1+4k$$
- $\Delta>0$，即 $k>-\dfrac14$：兩個實根，兩個交點。
- $\Delta=0$，即 $k=-\dfrac14$：一個重根，一個交點（相切）。
- $\Delta<0$，即 $k<-\dfrac14$：沒有實根，零個交點。
👑 威威說重點：數交點 = 數實根。所以「有幾個交點」「相切」「沒有交點」這三句話，翻譯成代數就是 $\Delta>0$、$\Delta=0$、$\Delta<0$。
一個一定會踩的例外：垂直線
上面那整套做法預設了直線可以寫成 $y=mx+c$ 的形狀。但 $x=a$ 這種垂直線寫不出來，它的 $y$ 從 $-\infty$ 到 $\infty$ 都有，斜率的講法在這裡沒有意義。
那 $x=2$ 跟 $y=x^2$ 有幾個交點？代入得 $y=4$，只有 $(2,4)$ 一個。它與拋物線恰好交於一點，但它不是切線（拋物線在 $(2,4)$ 的切線是 $y=4x-4$，不是垂直的）。
⚠️ 學長的警告：題目問「直線與拋物線恰有一個交點」的時候，垂直線是一個獨立的情形，不在判別式的討論範圍內。如果題目沒有限制直線不能垂直，這個情形要另外寫出來。這是這一類題目最標準的漏解。
相切的意思，就是兩個交點撞在一起
$\Delta=0$ 時，二次式有一個二重根；在這個上下平移的例子裡，可以看見兩個相異實根逐漸合到同一個值。
這件事在圖上有很清楚的對應：直線往下移到 $k=-\dfrac14$ 的時候，左右兩個交點靠在一起；再往下走，它們就一起消失了（變成沒有實根，也就是解在複數裡）。所以相切的位置，正好是「還有交點」與「沒有交點」的交界。
順著這個圖像，另一種常見的問法就很好懂了：反過來給你交點個數、要你求 $k$ 的範圍。那就把 $\Delta$ 寫成 $k$ 的式子，再解不等式。
反過來問：給交點個數，求參數
把上面那題反過來。已知 $y=x^2+2x+c$ 與 $y=x+3$ 恰有一個交點，求 $c$。
代入：$x^2+2x+c=x+3$，整理得 $x^2+x+(c-3)=0$。恰有一個交點要 $\Delta=0$：
$$\Delta=1^2-4(c-3)=1-4c+12=13-4c=0\quad\Longrightarrow\quad c=\frac{13}{4}$$
參數先留在方程式裡，算出 $\Delta$ 之後才依交點個數解條件。像 $-4(c-3)$ 展開成 $-4c+12$，這一行慢點寫，比算到最後重找負號省事🙂
一個很容易混淆的地方
這裡要用的是「聯立消去 $y$ 後那個二次方程式」的判別式。
$y=x^2$ 自己的 $b^2-4ac$ 是 $0-0=0$，但這不代表 $y=x^2$ 跟任何直線都相切，上面那題就知道，只有 $k=-\dfrac14$ 才相切。所以判別式一定要先做完代入、得到只含一個未知數的方程式，才有東西可以判。把這兩件事分開，題目就不會看起來那麼玄。
換你動手
練習 1：$y=x^2-2x+3$ 與 $y=2x-1$ 有幾個交點？
代入消去 $y$：$x^2-2x+3=2x-1$，整理得 $x^2-4x+4=0$。判別式 $16-16=0$，所以相切，一個交點。順手把交點算出來：$x^2-4x+4=(x-2)^2=0$，$x=2$，代回任一條得 $y=3$，交點 $(2,3)$。驗算：$4-4+3=3$ ✓、$4-1=3$ ✓
練習 2：$y=x^2+1$ 與 $y=x+k$ 相切，求 $k$。
代入：$x^2+1=x+k$，整理得 $x^2-x+(1-k)=0$。判別式
$$\Delta=1-4(1-k)=1-4+4k=4k-3$$
相切要 $\Delta=0$，所以 $k=\dfrac34$。（檢查一下符號：$1-k$ 裡的負號提出來之後，$-4(1-k)=-4+4k$，這裡很容易寫成 $-4-4k$。）
練習 3：$y=x^2$ 與 $y=mx-1$ 有兩個交點，求 $m$ 的範圍。
代入：$x^2-mx+1=0$，判別式 $m^2-4$。兩個交點要 $\Delta>0$：
$$m^2-4>0\quad\Longrightarrow\quad m>2\ \text{或}\ m<-2$$
這裡要小心的是「$m^2>4$ 不是 $m>2$」。平方拿掉之後得到的是兩個方向，不是一個。很多人只寫 $m>2$，就少了一半。
端點 $m=2$、$m=-2$ 都讓 $\Delta=0$，只剩一個交點，因此這題不能收。要兩個相異交點，就保持嚴格不等號。
找一題直線與拋物線的交點題，先記下直線能不能寫成 $y=mx+c$，再把消去 $y$ 後的二次方程式寫完整。如果直線是 $x=a$，直接代入求交點，不要硬套判別式。對完這兩步，再算一次 $\Delta$，看漏掉的是哪個條件。
