用數學公式記英文文法：把規則變成方程式

威威學長｜跨科學習系列

$$S + V + O$$

這不是數學，是英文句子的骨架。主詞、動詞、受詞。

會說「這條式子很眼熟」的人，通常文法也記得比較牢。原因不神祕：死背靠記憶，記憶會衰退；理解靠邏輯，邏輯用不壞。而英文的核心文法，大部分真的可以被寫成這種樣子：骨架不動，內容可換。

我在德國慕尼黑工大（TUM）讀數學的時候，課堂上幾乎都在做符號操作：教授寫一個定義，學生推導性質，性質變成定理，定理再套到下一個問題。後來我把同一種想法搬到英文文法上。如果一條規則可以用類似公式的方式寫出來，它就變成可以推導的東西；寫不出來的，才真的是需要死記的例外。

時態是一個時間變數

$$V(t) \quad \text{其中} \quad t \in \{\text{past, present, future}\}$$

$t$ 是時間，$V$ 是動詞。給不同的 $t$，動詞就跟著變形：

$t = \text{present}$ → $V(s/es)$（第三人稱加 s）
$t = \text{past}$ → $V\text{-}ed$ 或不規則變化
$t = \text{future}$ → will + $V_{\text{原形}}$

這樣看，時態就不是 16 種要死背的組合，而是一個「帶時間參數的函數」。你要做的只是選對 $t$。

十條規則，套上公式

現在簡單式：常數函數

$$S + V(s/es) + O \quad \text{（常態）}$$

描述恆常為真的事、習慣、事實。對應數學裡的常數函數 $f(x) = c$。

Water boils at 100°C.

不管什麼時候、什麼地點，水的沸點都是 100°C。

第三人稱單數的 $s/es$ 是一個條件運算子：

$$V' = \begin{cases} V + s/es & \text{if } S \in \{\text{he, she, it}\} \\ V & \text{otherwise} \end{cases}$$

否定與疑問：do/does 吸收變形

否定：$S + \text{do/does} + \text{not} + V_{\text{原形}} + O$ 疑問：$\text{Do/Does} + S + V_{\text{原形}} + O?$

關鍵在這裡：do/does 出現之後，主要動詞要退回原形。為什麼？因為 does 已經把第三人稱單數的資訊帶走了，speaks 不需要再掛一次 $s$。

$$\text{Does} + S_{\text{3rd}} + V_{\text{原形}} \quad \text{(does 吸收了 } V \text{ 的變形)}$$

很多學生寫出 "Does she speaks?"，這是把同一個變形掛了兩次。

過去簡單式：位移運算子

$$S + V\text{-}ed + O$$

過去式把動作從「現在」平移到「過去」。規則動詞加 $ed$，不規則動詞有自己的對照表。

$$V_{\text{past}} = V + \text{shift}_{\text{past}}$$

否定和疑問：did 出現之後動詞退回原形，理由跟 does 一樣，did 已經吸收了過去式的位移運算。

未來式：will 是預測運算子

$$S + \text{will} + V_{\text{原形}} + O$$

$$T_{\text{future}} = T_{\text{now}} + \text{will}$$

will 是外推（extrapolation），根據一般規律預測；be going to 是內推（interpolation），根據現有證據預測。兩者的確定感來源不同。

情態動詞 + 原形：模組組合

can, could, may, might, must, should, would 加上原形動詞，是英文裡最常見的組合之一：

$$\text{modal} + V_{\text{原形}} = \text{情態表達}$$

can + go → can go（能力）
must + study → must study（必要）
should + rest → should rest（建議）

當 modal 用過去式形態（could, would, might），表達就變得更「不確定」或「更禮貌」：

could + go → could go（過去能力／委婉）
would + go → would go（意願／假設）
might + go → might go（可能性較低）

數學上，這像是給函數加上一個模組參數：

$$V_{\text{modal}} = \text{modal}(V)$$

modal 是修飾運算子：它改變 $V$ 的語氣，但不改變 $V$ 的時態。

$$\text{modal} + \text{have} + V\text{-}pp$$

would have + gone → would have gone（過去的假設結果）
should have + studied → should have studied（過去應該做但沒做）
could have + won → could have won（過去有能力但沒做到）
must have + left → must have left（過去一定發生了）

$$V_{\text{modal-past}} = \text{modal}(\text{have} + V\text{-}pp)$$

這是「模組組合」再加一層「時間位移」的雙重運算。掌握這一條跟上一條，情態動詞的核心用法就差不多了。

現在完成式：累積總和

$$S + \text{have/has} + V\text{-}pp + O$$

$$\text{experience} = \sum_{t=t_{\text{start}}}^{t_{\text{now}}} \text{events}(t)$$

I have visited 15 countries.

從我出生到現在，總共去過 15 個國家。這是累積值。

關鍵限制：不能跟確切的過去時間一起用。"I have visited Japan in 2019." 是錯的，因為 in 2019 是一個時間點，不是累積區間。

現在完成進行式：連續積分

$$S + \text{have/has} + \text{been} + V\text{-}ing + O$$

$$\int_{t_{\text{start}}}^{t_{\text{now}}} \text{activity}(t) \, dt$$

I have been studying for three hours.

不是在某個時間點做了「學習」，而是從三小時前到現在持續不斷地學習。對比一下就清楚了：

"I have read the book"（$\sum$，結果導向）
"I have been reading the book"（$\int$，過程導向）

被動語態：方程式反轉

$$\text{主動：} S + V + O$$ $$\text{被動：} O + \text{be} + V\text{-}pp + \text{by } S$$

$$f(x) = y \quad \Leftrightarrow \quad f^{-1}(y) = x$$

不是所有函數都可逆，同理：只有及物動詞（有受詞）才能變被動。"He sleeps." 不能變被動。

條件句：邏輯蘊含

第一條件句（真實）： $$P \Rightarrow Q$$

If it rains, I will stay home.

第二條件句（假設現在）： $$\neg P \Rightarrow Q_{\text{hypothetical}}$$

If I were rich, I would travel the world.

第三條件句（假設過去）： $$\neg P_{\text{past}} \Rightarrow Q_{\text{past hypothetical}}$$

If I had studied harder, I would have passed the exam.

動詞的「時態後退」用來標記跟現實的距離。距離現在越遠，動詞就退得越遠。

條件	與現實距離	動詞變化
第一條件	近	現在式 + will
第二條件	中	過去式 + would
第三條件	遠	過去完成式 + would have

長句子是公式套公式

真正的句子常常是好幾層公式疊起來，像樹狀結構：

The students who have been studying for the exam will have finished by tomorrow.

拆開來看，它其實是兩個子句疊在一起：

主幹（未來完成式）：$S + \text{will have} + V\text{-}pp$
修飾主詞的關係子句（現在完成進行式）：$\text{who} + \text{have been} + V\text{-}ing$

合在一起：

$$[\underbrace{S_{\text{rel}}}_{\text{who have been studying...}}] + \underbrace{\text{will have}}_{\text{future perfect}} + \underbrace{V\text{-}pp}_{\text{finished}} + \underbrace{\text{by tomorrow}}_{\text{時間界}}$$

用樹狀畫出來：

                    S = The students
                          |
                +---------+---------+
                |                   |
        [who have been         will have finished
         studying for           by tomorrow
         the exam]
                |
          關係子句（修飾 S）

學會這樣拆，看到長句就不會慌。先找主幹（誰做了什麼），再看修飾語（誰的、用什麼、什麼時候），一層一層往下拆，最後再合回去念一遍。

時態一覽：3 × 4 矩陣

把時態排成一張「時間 × 體（aspect）」的表：

	簡單（Simple）	進行（Continuous）	完成（Perfect）	完成進行（Perfect Continuous）
過去	$V\text{-}ed$ I ate.	was/were + $V\text{-}ing$ I was eating.	had + $V\text{-}pp$ I had eaten.	had been + $V\text{-}ing$ I had been eating.
現在	$V(s/es)$ I eat.	am/is/are + $V\text{-}ing$ I am eating.	have/has + $V\text{-}pp$ I have eaten.	have/has been + $V\text{-}ing$ I have been eating.
未來	will + $V$ I will eat.	will be + $V\text{-}ing$ I will be eating.	will have + $V\text{-}pp$ I will have eaten.	will have been + $V\text{-}ing$ I will have been eating.

三個觀察：

橫的是時間，縱的是體的「深度」。左邊是表層（單點動作），越往右越深（累積、持續）。
常被說成 16 格，其實核心組合是 $3 \times 4 = 12$ 種。被動、情態那幾格另外算。
你不需要背 12 種。你只需要知道每個軸怎麼走：時間往過去退（$\text{shift}_{\text{past}}$），體往完成加（$\text{have} + V\text{-}pp$），體往進行加（$\text{be} + V\text{-}ing$）。三個軸自由組合。

有人看到符號就頭暈

不是每個人對公式都有好感。假設有個三十多歲、做會計的學習者，第一次看到 $V(t)$ 的寫法就說「看到符號頭就暈」。聊下去才發現，他高中數學被當過，從此對任何「看起來像數學」的東西都過敏。英文文法本來跟數學無關，套上公式符號反而觸發了抗拒。

這是很真實的學習心理：曾經在某個領域受挫，那個領域的「外觀」就會自動讓你警覺。符號、公式、$f(x)$，對某些人是啟發，對另一些人是壓力。

遇到這種情況，我的做法是讓公式變得「不像公式」：

用白話寫註解。$V(t)$ 旁邊寫「動詞帶時間參數」，不要只放符號。
把符號換成中文位置。$S$ 就是「主詞那個空位」，$V$ 就是「動詞那個空位」。
先用填空題過渡。「我 ______（吃）蘋果。」寫對了，再改成公式。
接受跳過。看完這篇記住 SVO 就夠了，條件句的符號可以略過，重點是邏輯，不是符號本身。

公式只是工具。工具不對就換一個，能幫你記住的才是好工具。

程式語言早就這樣做了

我在 Amazon 做資料科學的時候，每天都在寫正則表達式（regex）。regex 的本質，就是用符號表達「模式」：

^\d{3}-\d{4}$    // 匹配 123-4567 這種電話號碼

這跟英文文法的公式是同一件事。\d 是「任意數字」這個抽象，量詞 {3} 是「出現三次」這個約束。整條 regex 就是一條公式，描述「什麼樣的字串算合法」。

再廣一點看：

邏輯學的 $\forall x \, P(x)$ 跟英文的 "All $x$ are $P$" 是同一件事。
SQL 的 SELECT ... FROM ... WHERE ... 跟英文的 SVO 結構幾乎一一對應。
程式語言的 if ... then ... else 就是英文的第一／第二條件句。

語言學家其實早就知道這件事。喬姆斯基（Noam Chomsky）在 1950 年代就主張「語言是有限規則生成無限句子」，這跟數學的「有限公理生成無限定理」是同一個想法。只是大多數英文課本不從這個角度切入，所以學生看不到那條線。

寫過程式的人，文法公式會特別自然。沒寫過也沒關係，邏輯是通用的，符號只是載體。

練習：中文到公式，再回英文

第一部分：把句子變成公式，再從公式套出新的句子。

"She has read three books this month." → 公式：$S + \text{has} + V\text{-}pp + O$（現在完成式） → 套換：$S$ = He, $V$ = written, $O$ = two emails → "He has written two emails this month."
"If I had known, I would have called you." → 公式：$\neg P_{\text{past}} \Rightarrow Q_{\text{past}}$（第三條件句） → 套換：$P$ = she had arrived earlier, $Q$ = she would have caught the train → "If she had arrived earlier, she would have caught the train."
"They are playing soccer now." → 公式：$S + \text{are} + V\text{-}ing + O$（現在進行式） → 套換：$S$ = The children, $V$ = eating, $O$ = lunch → "The children are eating lunch now."
"You should study harder." → 公式：$S + \text{modal} + V_{\text{原形}}$（情態） → 套換：$S$ = We, modal = must, $V$ = leave → "We must leave."
"The cake was eaten by Tom." → 公式：$O + \text{was} + V\text{-}pp + \text{by } S$（被動） → 套換：$S$ = Maria, $V$ = painted, $O$ = the wall → "The wall was painted by Maria."

第二部分：中文先寫公式，再翻英文。

中文：「她昨天已經完成作業了。」 → 公式提示：$S + V\text{-}ed + O$（過去簡單式，已經＝強調完成） → 英文：She finished her homework yesterday.
中文：「我們正在等公車。」 → 公式提示：$S + \text{are} + V\text{-}ing + O$ → 英文：We are waiting for the bus.
中文：「如果你早點出門，就不會遲到了。」 → 公式提示：$\neg P_{\text{past}} \Rightarrow Q_{\text{past}}$（第三條件句） → 英文：If you had left earlier, you would not have been late.
中文：「這個蛋糕是我媽媽烤的。」 → 公式提示：$O + \text{be} + V\text{-}pp + \text{by } S$（被動） → 英文：This cake was baked by my mother.
中文：「他應該已經到了吧。」 → 公式提示：$\text{modal} + \text{have} + V\text{-}pp$（對過去的推測） → 英文：He should have arrived already.

對答案的時候注意第 3 題和第 5 題。兩題表面都是「過去的假設」，公式卻不同：第 3 題是條件句（兩個子句），第 5 題是情態推測（單句內部）。混用的話意思會跑掉。

挑你最近寫錯的一句英文，只做兩件事：先寫出它應該套哪一條公式（例如 $S + \text{has} + V\text{-}pp + O$），再把公式裡的主詞、動詞、受詞換成新的字，造出兩個新句子。

三句以內就好。做完之後你大概會發現，你記住的不是那一個句子，而是那條規則的形狀。

如果卡住的是「這句到底屬於哪條公式」，把句子貼給我，我們一起拆。