威威學長｜高中數學
把某個港口的潮位對時間畫成圖，是一條上下起伏的曲線。把彈簧下端掛的重物，它的高度對時間畫成圖，也是一條上下起伏的曲線。摩天輪上某個座位的離地高度，同樣是。 三件看起來毫無關係的事，用的是同一個數學模型： $$y=A\sin(\omega t+\varphi)+B$$ 這不是巧合。它們的成因一樣：某個東西繞著一個中心來回，而「繞圈的投影」就是正弦。
四個參數各自負責什麼
這個模型裡有四個可以調的數字，每一個都對應一個你看得出來的現象：
- $B$ 是中線。圖形上下振動時圍繞的那條水平線，也就是平均值。潮汐的話，它是「平均水位」。
- $A$ 是振幅。從中線到最高點（或最低點）的距離。所以最高值是 $B+A$、最低值是 $B-A$。
- $\omega$ 是角頻率，它決定週期：$T=\dfrac{2\pi}{\omega}$。這裡的 $2\pi$ 是「轉一圈」的代價。
- $\varphi$ 是相位，它決定 $t=0$ 的瞬間圖形在哪裡。與其硬背 $\varphi$，不如直接問「$t=0$ 時是在最高、最低，還是中線上」。
看懂這四件事之後，題目給的任何資料都可以翻譯成這四個數字。
👑 威威說重點：最高值 $M$、最低值 $m$ 一給，$B$ 與 $A$ 就當場算得出來：$B=\dfrac{M+m}{2}$、$A=\dfrac{M-m}{2}$。這兩個式子不必背，用「中線是平均、振幅是一半的差距」想一遍就好。
從一組資料寫出模型
假設某個港口（底下這個是示範用的假設數字，不是真實測站資料）的潮位最高 $3.2$ 公尺、最低 $0.8$ 公尺，兩次高潮相隔 $12$ 小時，而且 $t=0$ 時剛好是高潮。要求出 $h(t)$。 中線：$B=\dfrac{3.2+0.8}{2}=2.0$。 振幅：$A=\dfrac{3.2-0.8}{2}=1.2$。 角頻率：週期 $T=12$，所以 $\omega=\dfrac{2\pi}{12}=\dfrac{\pi}{6}$。 相位：$t=0$ 時要是最高值，而 $\sin$ 在 $t=0$ 的值是 $0$，不在最高點。所以要嘛用 $\cos$，要嘛給 $\sin$ 加一個 $\dfrac{\pi}{2}$ 的相位： $$h(t)=1.2\sin\left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi}{2}\right)+2.0$$ 驗四個時間點就踏實了：
- $t=0$：$\sin\dfrac{\pi}{2}=1$，$h=1.2+2.0=3.2$ ✓ 最高
- $t=3$：$\sin\pi=0$，$h=2.0$ ✓ 中線
- $t=6$：$\sin\dfrac{3\pi}{2}=-1$，$h=-1.2+2.0=0.8$ ✓ 最低
- $t=9$：$\sin 2\pi=0$，$h=2.0$ ✓ 回到中線
四個點都對，模型就沒問題。
為什麼選 $\sin$ 還是 $\cos$ 都可以
有人會問：一開始用 $\cos$ 不是更省事嗎？$t=0$ 在最高點的話，$h(t)=B+A\cos(\omega t)$ 就直接中了。 確實可以，兩個答案是一樣的。因為 $$\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right)=\cos(\omega t)$$ 這條恆等式把兩種寫法接起來。所以「用 $\sin$ 還是 $\cos$」不是對錯問題，是你要不要多寫一個 $\dfrac{\pi}{2}$ 的問題。考試時挑一個你順手的，然後從頭用到尾，不要算到一半換。 ⚠️ 學長的警告：換寫法的時候，相位要跟著改。如果你原本用 $\sin(\omega t)$ 算到一半改成 $\cos$，卻忘了移 $\dfrac{\pi}{2}$，答案會整整偏移四分之一個週期，而這種錯誤在檢查端點時很容易漏掉。
簡諧運動：加速度指向哪裡
彈簧下端掛一個重物，拉開後放開，它就上下震動。如果從最大位移處放開，位移可以寫成 $$x(t)=A\cos(\omega t)$$ 微分一次得速度，再微分一次得加速度： $$x'(t)=-A\omega\sin(\omega t),\qquad x''(t)=-A\omega^2\cos(\omega t)=-\omega^2 x(t)$$ 最後那一步很值得看：加速度正比於位移，而且方向相反。物體在右邊時加速度往左、在左邊時加速度往右，永遠指回中心，這就是它會來回震動的原因。物理上這條關係對應虎克定律（回復力與伸縮量成正比），而 $x''=-\omega^2x$ 正是那個現象在數學上的長相。 順帶一個實用的結論：振幅 $A$ 完全不影響週期。從上面那條式子看得出來，$x''=-\omega^2x$ 裡的 $\omega$ 跟 $A$ 無關。所以同樣的彈簧，拉開多一點跟少一點，震動的快慢是一樣的，只是擺動的幅度不同。這件事在直覺上不太明顯，但算式寫出來就是這樣。
換你動手
練習 1：某地的潮位模型是 $h(t)=1.5\sin\left(\dfrac{\pi t}{6}\right)+2.5$（$t$ 的單位是小時，$h$ 是公尺）。求最高水位、最低水位與週期。 最高：$2.5+1.5=4.0$ 公尺；最低：$2.5-1.5=1.0$ 公尺。週期 $T=\dfrac{2\pi}{\pi/6}=12$ 小時。 練習 2：承上，求 $t=2$ 時的水位（取到小數第二位）。 $$h(2)=1.5\sin\frac{\pi}{3}+2.5=1.5\cdot\frac{\sqrt3}{2}+2.5\approx1.30+2.50=3.80$$ 驗一下合理性：$t=2$ 在 $t=0$ 與 $t=3$ 之間，而 $t=3$ 是最高點 $4.0$，所以 $3.80$ 落在上升的路上、比 $2.5$ 高但還沒到 $4.0$ ✓ 練習 3：一座摩天輪的半徑 $20$ 公尺，輪軸中心離地 $22$ 公尺，轉一圈 $8$ 分鐘。某個座位從最低點出發，寫出它的離地高度 $h(t)$（$t$ 以分鐘計）。 最低點是 $22-20=2$ 公尺，最高點是 $22+20=42$ 公尺，中線 $22$、振幅 $20$。週期 $8$ 分鐘，所以 $\omega=\dfrac{2\pi}{8}=\dfrac{\pi}{4}$。 $t=0$ 在最低點，而 $\cos$ 在 $t=0$ 取最大值，所以要加負號才能取到最低： $$h(t)=22-20\cos\left(\frac{\pi t}{4}\right)$$ 驗兩個點：$t=0$ 時 $22-20=2$ ✓ 最低；$t=4$ 時 $22-20\cos\pi=22+20=42$ ✓ 最高。
挑一個你生活裡真的會來回的東西（電風扇的擺頭、鞦韆、心跳），想辦法估出它的中線跟週期，然後寫出一條 $A\sin(\omega t)+B$ 的式子。不用很準，重點是你會發現這四個參數不是課本發明的，它們就是你眼睛看到的那四件事。 如果你在某題算出的週期是「$\dfrac{2\pi}{\text{給定的數字}}$」但量綱看起來怪怪的，先檢查題目給的是「週期」還是「頻率」，以及角度用的是度還是弧度。這兩個地方錯掉，後面全部會被帶著走。
