威威學長｜高中數學
$|x-2|<3$ 拆出來是 $-1<x<5$，一個區間。$|x-2|>3$ 拆出來是 $x>5$ 或 $x<-1$，兩段。 同樣一個絕對值，一邊變成「而且」（同時符合兩個條件），另一邊變成「或者」（符合其中一個就好）。這兩個字一差，答案的形狀就完全不同：一個是一段，一個是兩段。很多人是靠背的：小於拆成中間、大於拆成兩邊。背下來也能用，但只要題目換成 $|x-2|>x$ 這種右邊也是變數的，那條口訣就沒東西可套了。 會卡住的地方不是計算，是那個「而且／或者」沒想通。
絕對值就是「距離」
$|u|$ 的意思是「$u$ 這個點離 $0$ 多遠」。這句話是國中就有的，但進入不等式之後常被忘記。 拿它重看兩個式子。$|x-2|<3$ 是「$x$ 離 $2$ 的距離小於 $3$」。在數線上，離 $2$ 不到 $3$ 的點，就是 $2$ 左邊 $3$ 格到右邊 $3$ 格之間：$-1$ 到 $5$。這是一段連續的區間，所以要同時滿足「比 $-1$ 大」和「比 $5$ 小」，那是「而且」。 $|x-2|>3$ 是「$x$ 離 $2$ 的距離大於 $3$」。要嘛跑到 $5$ 的右邊，要嘛跑到 $-1$ 的左邊，兩個方向都算數。這是「或者」。
👑 威威說重點：靠近某個點 → 一段（而且）；遠離某個點 → 兩段（或者）。記這個圖像，比記「小中間、大兩邊」再可靠一點，因為它不用另外記誰對誰。
前提是右邊那個數要是正的
拆解的規則建立在「距離 $<a$」上，所以 $a$ 本身必須是正的。這件事看起來像廢話，但它是這一節最常被忽略的地方。 $|x|<5$ 有意義，$|x|<-5$ 呢？絕對值算出來不可能是負的，所以「距離小於 $-5$」永遠不成立，這條不等式無解，不是「解得 $5<x<-5$」那種看起來就很怪的區間。 反過來，$|x|>-5$ 呢？距離永遠 $\geq0>-5$，所以所有實數都是解。這一題的答案不是兩段，是全部。 ⚠️ 學長的警告：看到 $|x|<a$ 就套公式之前，先看 $a$ 的正負。$a<0$ 的時候有兩個現成答案：「$<$」無解、「$>$」全體實數。套公式硬拆會得到一堆無意義的區間。
一邊是變數的時候，改成平方
$|x-1|<x+2$ 這種題目右邊是變數，不能直接拆成「$-x-2<x-1<x+2$」，那需要 $x+2>0$ 成立才行，而你還不知道。 處理順序是這樣。第一步先問右邊能不能是負的：如果 $x+2\leq0$，左邊 $\geq0$、右邊 $\leq0$，不等式不可能成立（等號兩邊同為 $0$ 也辦不到，因為 $x=-2$ 代入左邊是 $3$）。所以要先要求 $x>-2$，這是生存條件。 有了 $x>-2$，兩邊就都非負了：左邊是絕對值，右邊被生存條件逼成正的。兩邊非負就可以平方且不改變不等號方向： $$(x-1)^2<(x+2)^2$$ 展開：$x^2-2x+1<x^2+4x+4$，整理得 $-6x<3$，即 $x>-\dfrac12$。再跟生存條件 $x>-2$ 取交集，因為 $-\dfrac12>-2$，所以答案是 $x>-\dfrac12$。 整段真正重要的只有那一步「先確認兩邊非負」。這件事如果是第一次看到，可以對照 根號不等式的兩步驟 SOP，那裡處理的是同一個問題的另一個版本：什麼時候可以平方。
一個常被講得太快的不等式
高中課本會給一條「三角不等式」：對任何實數 $a,b$， $$|a+b|\le|a|+|b|$$ 它說的是「先加再取距離」不會超過「各自取距離再加」。為什麼？因為 $a$ 和 $b$ 如果一正一負，相加的時候會互相抵銷，距離就變短了；同號的時候沒有東西可抵銷，兩邊才會相等。 等號成立的條件就只有兩種：$a$、$b$ 同號，或其中至少一個是 $0$。用 $a=3$、$b=-5$ 檢查：左邊 $|3-5|=2$，右邊 $3+5=8$，確實左邊小。再用 $a=3$、$b=5$：左邊 $8$、右邊 $8$，相等。 這條不等式以後在別的地方會再出現（例如證明距離的性質），現在只要記住那個「同號才相等」的條件就好。
換你動手
練習 1：解 $|2x+1|\le7$。 拆成 $-7\le2x+1\le7$。三邊都減 $1$：$-8\le2x\le6$；都除以 $2$：$-4\le x\le3$。帶等號所以端點要收，答案 $-4\le x\le3$。 練習 2：解 $|x+3|>2x$。 先看右邊：如果 $2x\le0$（即 $x\le0$），左邊 $\geq0\geq$ 右邊，不等式自動成立。所以 $x\le0$ 整段都是解，一段白撿（注意要確認 $x=0$ 時左邊是 $3>0$ ✓）。 再看右邊為正的情形：$x>0$。此時兩邊非負，平方得 $(x+3)^2>(2x)^2$，即 $x^2+6x+9>4x^2$，整理 $3x^2-6x-9<0$，同除以 $3$ 得 $x^2-2x-3<0$，即 $(x-3)(x+1)<0$，得 $-1<x<3$。與假設 $x>0$ 取交集：$0<x<3$。 合併兩段：$x<3$。（$x\le0$ 與 $0<x<3$ 接起來正好是全部小於 $3$ 的實數。） 練習 3：$|x-4|<-1$ 的解是什麼？ 無解。絕對值不可能小於 $0$，更不可能小於 $-1$。答案寫「無解」或空集合，不要硬拆成 $-1<x-4<-1$ 這種區間，那個區間本身就是空的。
挑三題你手上絕對值不等式的題目，這次先不要寫解答，只在題目旁邊做一件事：把「而且」或「或者」寫出來，並且畫一條數線標出答案是幾段。三題標完再回去算。如果你在第 3 題那種「右邊是負數」的題目上卡住，那通常是拆解前沒先看右邊的正負，跟算術無關，把那一題丟給我，我們一起看那一步。
