威威學長｜高一多項式系列
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設二次函數 $f(x)=ax^2-2ax+b$（$a\ne0$），已知 $a>b$。題目若給幾張圖形要你判斷可能性，可以從配方下手。
先把頂點位置與開口方向分開看，不急著替 $a,b$ 猜數字。
配方之後，頂點的位置跟 $a$ 有多大無關
先配方：$f(x)=a(x-1)^2+b-a$。頂點直接讀成 $(1,b-a)$；若用公式，記得本題已假設 $a\ne0$，才能除以 $2a$。
頂點的 $x$ 座標：$-\dfrac{-2a}{2a}=1$（固定的！跟 $a$ 多大無關）
頂點的 $y$ 座標：$f(1)=a-2a+b=b-a$
題目說 $a>b$，所以 $b-a<0$，頂點的 $y$ 座標必為負。頂點 $(1,\,b-a)$ 確定落在 $x$ 軸下方（第四象限）。
頂點在 $x$ 軸上方的圖形可以先排除。剩下再看開口：$a>b$ 沒有指定 $a$ 的正負，所以向上、向下都可能。例如 $a=2,b=1$ 時向上，$a=-1,b=-3$ 時向下。其他圖形細節仍要對照，不能只憑開口就決定整張圖合不合。
這題配方後先確定頂點在 $x$ 軸下方，再分 $a>0$、$a<0$。不用求出唯一的 $a,b$，但符號條件仍然要逐一檢查🙂
反過來：從解區間回推圖形，對稱軸是唯一指紋
反向的題型更常見：已知 $f(x)>0$ 的解，問你關於 $f$ 的一切。
例如 $f(x)>0$ 的解為 $-3<x<4$。這一句話告訴我們三件事：
- 開口向下（$a<0$），因為「大於零」的範圍是兩根之間的有限區間；
- 兩根是 $-3$ 和 $4$；
- 對稱軸是兩根的中點 $x=\dfrac{-3+4}{2}=\dfrac{1}{2}$，頂點、最大值，通通發生在這裡。
然後題目問什麼都好辦。好比問「$f(x)\geq 5$ 的解可能如何」：因為不知道頂點實際多高，只有三種劇本：頂點低於 $5$（無實數解）、剛好碰到 $5$（唯一解 $x=\frac{1}{2}$）、高於 $5$（解是一個以對稱軸為中心的對稱區間）。
候選區間的中點必須是 $1/2$，而且要落在原本 $f>0$ 的範圍內。例如 $-1\le x\le2$ 可以：取 $f(x)=-\frac12(x+3)(x-4)$，就能驗出這個解集。$0\le x\le2$ 的中點是 $1$，與對稱軸不同，不能成立。
解區間的中點能幫你找對稱軸，但不能決定拋物線有多高、多寬。別把一個條件用成全部條件。
恆成立：幾何敘述交給判別式
「圖形恆在直線上方」這種敘述，翻譯成代數就是「對所有 $x$，某式恆 $>0$」：
$y=x^2+12x+m$ 恆在直線 $y=4x-4$ 上方，求 $m$。
翻譯：$x^2+12x+m>4x-4$ 對所有實數 $x$ 成立，整理：
$$x^2+8x+(m+4)>0 \quad\text{恆成立}$$
恆正的條件就兩條：開口向上（$x^2$ 係數 $1>0$ ✓，現成的）＋跟 $x$ 軸無交點（判別式小於零）：
$$8^2-4(m+4)<0 \implies 64-4m-16<0 \implies m>12$$
也可以配方檢查：$x^2+8x+m+4=(x+4)^2+m-12$，最小值是 $m-12$，要它嚴格大於 $0$，同樣得到 $m>12$。兩種方法在檢查同一個最低點。
係數換了位置，先留下 $a$ 的正負
已知 $ax^2+bx+c>0$ 的解為 $1<x<2$，解 $bx^2+cx+a>0$。
原式只在兩根之間為正，因此開口向下，$a<0$。先把這個條件寫下來，等等除以 $a$ 時會用到。
用韋達定理建立比例：兩根之和 $3=-\dfrac{b}{a}$、兩根之積 $2=\dfrac{c}{a}$，所以 $b=-3a$、$c=2a$。
代入目標不等式：
$$(-3a)x^2+(2a)x+a>0 \implies a(-3x^2+2x+1)>0$$
重頭戲來了。兩邊同除以 $a$，但 $a<0$，不等號要變號：
$$-3x^2+2x+1<0$$
再乘 $-1$ 變回（又變號一次）：
$$3x^2-2x-1>0 \implies (3x+1)(x-1)>0 \implies x<-\frac{1}{3} \text{ 或 } x>1$$
如果漏了 $a<0$，就會誤寫成 $-\frac13<x<1$，剛好把內外兩段對調。先判斷符號，係數換位置的題目才不會把你帶走😅
換你動手
練習 1：$f(x)=ax^2+bx+c$ 為二次函數（$a\ne0$），已知 $f(x)<0$ 的解為所有實數。判斷 $a$、$b$、$c$ 需滿足什麼條件？
點開看詳解
「小於零恆成立」= 圖形整條在 $x$ 軸下方：開口向下（$a<0$）＋與 $x$ 軸無交點（判別式 $b^2-4ac<0$）。
兩個條件就夠了，$c$ 不需要另外限制，因為 $a<0$ 且 $b^2-4ac<0$ 已經保證 $c<0$（想一下：開口向下又不碰到 $x$ 軸，整張圖在下方，$y$ 截距 $c=f(0)$ 當然是負的）。
不過考試時可以直接寫出等價的第三種檢查：$c<0$ 是必要但非充分（$a<0$、$c<0$ 仍可能與 $x$ 軸相交），所以完整條件就是 $a<0$ 且 $b^2-4ac<0$。
練習 2：$f(x)$ 為二次函數，$f(2-x)=f(2+x)$ 對所有 $x$ 成立，且 $f(x)>0$ 的解為 $-1<x<5$……這樣的 $f(x)$ 存在嗎？
點開看詳解
$f(2-x)=f(2+x)$ 的意思是對稱軸在 $x=2$。
但 $f(x)>0$ 的解 $-1<x<5$ 給出的兩根是 $-1$ 和 $5$，中點是 $\dfrac{-1+5}{2}=2$。
兩個條件的對稱軸沒有衝突。例如 $f(x)=-(x+1)(x-5)$，開口向下、正值範圍是 $-1<x<5$，而且以 $x=2$ 為對稱軸，所以確實存在。注意：知道對稱軸是 $2$，單獨還不能推出兩根是 $-1,5$；兩個條件並不完全等價。
練習 3（大魔王款）：已知 $ax^2+bx+c>0$ 的解為 $-1<x<3$，解 $cx^2+bx+a>0$。
點開看詳解
解在兩根之間 ⟹ $a<0$。韋達：兩根之和 $2=-\dfrac{b}{a}$，得 $b=-2a$；兩根之積 $-3=\dfrac{c}{a}$，得 $c=-3a$。
代入目標式：
$$(-3a)x^2+(-2a)x+a>0 \implies a(-3x^2-2x+1)>0$$
同除以 $a<0$（變號！）：
$$-3x^2-2x+1<0 \implies 3x^2+2x-1>0 \implies (3x-1)(x+1)>0$$
解：$x<-1$ 或 $x>\dfrac{1}{3}$。
兩邊除以 $a$ 之前，先把 $a<0$ 寫在旁邊提醒自己。這題的兩段解就在變號那一步決定，後面再慢慢做因式分解。
拿一張紙，把二次不等式那章的題目按敘述挑出四題：給圖形問可能性、給解區間問圖形、講「恆在某某上方」、係數逆推。每題先不算，只寫一行字：「這題在問頂點、兩根、判別式，還是 $a$ 的正負？」
那一行寫不出來，就先別動筆，判斷的順序錯了，算得再快也是白算。卡住的話，把那題和你試過的寫法丟給我，我們看是方向錯了，還是變號漏了。
