威威學長｜高中數學
$(x-1)(x-2)^2(x-3)>0$。 課本教你畫一條數線、標出 $1$、$2$、$3$，然後從右邊開始畫一條曲線穿過去：奇次方的根穿過去，偶次方的根彈回來。圖畫完，看哪幾段在 $x$ 軸上方，答案就出來了。 但為什麼偶次方要彈回來？「彈回來」這個動詞聽起來像是圖形真的會轉彎，實際上你畫的那條線根本不存在，它只是符號的示意圖。真正的理由完全不需要圖，只要看一件事：那個因式會不會變號。
變號的只有一種因式
整條乘積的正負，是由每一個因式的正負一起決定的。所以只要盯住「跨過一個根的時候，哪個因式翻面了」。
- $(x-1)$ 跨過 $x=1$ 時，從負變正。它翻面了，所以整個乘積的正負跟著翻。
- $(x-2)^2$ 跨過 $x=2$ 時，$x-2$ 從負變正，但平方之後 $(-)^2$ 和 $(+)^2$ 都是正。它沒翻面。
- $(x-3)$ 跨過 $x=3$ 時，翻面。
所以「奇次穿過、偶次彈回」不是一條要背的規則，它是「平方會把負號吃掉」的直接後果。$(x-2)^4$、$(x-2)^6$ 都一樣。偶數次方永遠非負，跨過根的時候值只會從「正」降到「$0$」再回到「正」，中間沒有變號的機會。
👑 威威說重點：一個因式如果永遠非負（偶次方），它就不可能改變整條乘積的正負。它只決定「那個點等於 $0$」，不決定左右的符號。
完整的做法
第一步，把所有因式的 $x$ 係數調成正的。 例如 $(2-x)$ 要寫成 $-(x-2)$。這一步是在替下一步鋪路：如果每個因式都是「$x$ 減掉某個數」的形狀，那它在根的右邊就一定是正的。 第二步，把常數（那些提出來的負號）整理到不等式另一邊，記得翻轉不等號。 例如原式是 $(2-x)(x-1)>0$，寫成 $-(x-2)(x-1)>0$，也就是 $(x-2)(x-1)<0$。⚠️ 學長的警告：這一步是唯一會把不等號方向弄反的地方，也是這類題目最常見的失分點。移項、乘負數，都要檢查方向。 第三步，從最右邊開始。 取一個比所有根都大的 $x$（例如 $x=100$），每個因式都是正的，所以整條乘積是正的。這給了你最右邊那一格的符號。 第四步，往左走，每跨過一個根就處理一次。 奇次 → 翻面；偶次 → 不翻。 第五步，讀出答案。 題目要 $>0$ 就挑正號的區段，要 $<0$ 就挑負號的區段。而且要注意等號：如果是嚴格不等號（$>$ 或 $<$），根的本身不能收（因為那裡整條是 $0$）。
把 $(x-1)(x-2)^2(x-3)>0$ 跑一次
因式的 $x$ 係數都已經是正的。根依大小排：$1$、$2$、$3$。次方依序是 $1$、$2$、$1$。 從最右邊開始。取 $x=100$，三個因式都是正的，乘積為正。
- $x>3$：正
- 跨過 $x=3$（次方 $1$，奇數）→ 翻面 → $2<x<3$：負
- 跨過 $x=2$（次方 $2$，偶數）→ 不翻 → $1<x<2$：負
- 跨過 $x=1$（次方 $1$，奇數）→ 翻面 → $x<1$：正
題目要 $>0$，所以取正的兩段：$x<1$ 或 $x>3$。 檢查一下 $x=2$：整條是 $0$，不滿足嚴格大於，所以 $x=2$ 不在答案裡，這跟上面「偶次不翻」是兩件不同的事：偶次根不改變左右的符號，但它自己仍然是 $0$。$x=1$、$x=3$ 同理。 答案寫成 $(-\infty,1)\cup(3,\infty)$。
分式的不等式：根是空心的
$\dfrac{(x-1)(x-2)}{x-3}\ge0$ 這種，做法一模一樣，因為除法的正負號跟乘法一樣（正正得正、正負得負）。把分母當成一個因式放進去排就好。 唯一要記得的是：分母的根不能收進答案，因為那裡讓分母變成 $0$，整個式子沒有值。所以 $x=3$ 一定排除。分子貢獻的等號則可以收。 具體走一次。根是 $1$、$2$、$3$，都是一次方。取 $x=100$：正。跨 $3$ → 負；跨 $2$ → 正；跨 $1$ → 負。所以 $(x-1)(x-2)/(x-3)\ge0$ 的正區段是 $1<x<2$ 或 $x>3$。 再補端點：$x=1$、$x=2$ 讓分子為 $0$，整個分式等於 $0$，題目是 $\ge0$ 所以可以收。$x=3$ 讓分母為 $0$，排除。 答案：$1\le x\le2$ 或 $x>3$。
一個很容易踩的坑：不要約掉公因式
看到 $\dfrac{(x-2)^2(x-1)}{x-2}>0$，很多人第一反應是約掉一個 $(x-2)$，變成 $(x-2)(x-1)>0$ 再往下解。這樣做會漏掉一個條件：原式在 $x=2$ 是 $\dfrac00$，本來就沒有定義。約掉之後那個限制消失了，於是有可能把 $x=2$ 這種壞點算進答案。 約分的規則不只是「看起來一樣就約掉」，它附帶一個「不等於 $0$」的條件。在不等式的題目裡，那個條件往往正好是答案的一部分。
換你動手
練習 1：解 $(x+1)(x-2)^2>0$。 根是 $-1$、$2$，次方 $1$ 與 $2$。取 $x=100$：兩個因式都是正，乘積正。跨 $2$（偶）不翻 → $-1<x<2$ 時仍為正；跨 $-1$（奇）翻面 → $x<-1$ 為負。 所以正區段是 $-1<x<2$ 與 $x>2$。$x=2$ 讓乘積為 $0$，不收。 答案：$x>-1$ 且 $x\ne2$。 （這裡「偶次不翻」的效果很明顯：$x=2$ 左右兩邊都是正的，所以答案不是兩段，是「一整段挖掉一個點」。） 練習 2：解 $x(x-1)(x+2)^3<0$。 根 $-2$、$0$、$1$，次方 $3$、$1$、$1$（全是奇數）。取 $x=100$：三個因式都正，乘積正。 跨 $1$ → 負（$0<x<1$）；跨 $0$ → 正（$-2<x<0$）；跨 $-2$ → 負（$x<-2$）。 要 $<0$，取負的兩段：$x<-2$ 或 $0<x<1$。 練習 3：解 $\dfrac{x^2-4}{x-1}\le0$。 先把分子因式分解成 $(x-2)(x+2)$，原式 $\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-1}\le0$。根 $-2$、$1$、$2$，都是一次方。取 $x=100$：正。跨 $2$ → 負；跨 $1$ → 正；跨 $-2$ → 負。 要 $\le0$，先取負的兩段 $x<-2$ 與 $1<x<2$；再補上讓分子為 $0$ 的兩個點 $x=-2$ 與 $x=2$（題目是不等號，等號由分子貢獻）。合起來是 $x\le-2$ 或 $1<x\le2$。$x=1$ 因為分母為 $0$ 必須排除，注意它剛好落在兩段的中間，所以答案拆成兩塊而不是一整段。
翻出三題高次或分式不等式的題目，這次不要畫曲線，改在數線上只標「+」「−」兩種符號，每跨一個根就在心裡問一次「這個因式會不會翻面」。三題標完，你應該會發現自己不再需要「奇穿偶不穿」這六個字，因為那件事變成你自己看出來的了。 如果答案跟解答差在端點收不收，先回頭檢查兩件事：題目是不等號還是嚴格不等號，以及分母有沒有你的根。
