威威學長｜高二三角函數系列
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課本講週期，標準動作是列三行：$\sin x$ 是 $2\pi$、$\cos x$ 是 $2\pi$、$\tan x$ 是 $\pi$，然後補一條 $T=\dfrac{2\pi}{|\omega|}$，接著就開始算例題😅。 但你心裡是不是有個聲音：那 $\sin^2 x$ 呢？課綱根本沒寫平方啊，為什麼考試可以考？如果換成四次方、六次方，甚至 $\tan$ 的次方，我該怎麼判斷？🙃 今天我們就來聊「次方版」的週期。看完你會發現，這根本不是新東西，只是二倍角公式換了一件衣服。 先說一個真實場景。 上週有位同學傳訊息來，問題很短但很銳利：
「三角函數平方的週期，課綱裡面沒有啊，他為什麼可以考平方呢？平方週期怎麼判斷？如果他是其他的次方怎麼辦？」 這問題問得好。因為它戳到了一個大家都會遇到、卻很少人講清楚的東西：課綱寫的是「最低標準」，不是「命題範圍」。 👑 威威說重點： 課綱明明白白寫著 $\sin x$ 的週期是 $2\pi$、$\cos x$ 是 $2\pi$、$\tan x$ 是 $\pi$，它沒寫 $\sin^2 x$。但命題老師只要出一句「求 $y=\sin^2 x$ 的週期」，就能同時考你二倍角公式和週期判斷，這叫跨章節整合，是大考最愛的出題方式。 所以這篇我們把「次方版」的週期一次講完。
一、先複習：週期到底在看什麼
週期的定義是：找到最小的正數 $P$，使得對所有的 $x$ 都有 $f(x+P)=f(x)$。 這裡有兩個關鍵字要圈起來。「對所有 $x$ 都成立」代表波形要完整重複一次，不能只有某幾格剛好對上；「最小」則是因為 $2\pi$ 的兩倍、三倍當然也會重合，但我們要的是最短的那一個。這個最短的 $P$，叫做最小正週期，平常講「週期」指的都是它。 基本三本柱：
- $\sin x$ 週期 $2\pi$
- $\cos x$ 週期 $2\pi$
- $\tan x$ 週期 $\pi$
但真正好用的是這一條： 👑 黃金公式： $y=\sin(\omega x)$ 或 $y=\cos(\omega x)$ 的週期是 $\dfrac{2\pi}{|\omega|}$；$y=\tan(\omega x)$ 的週期是 $\dfrac{\pi}{|\omega|}$。其中 $\omega$（讀作 omega）就是 $x$ 旁邊那個係數。 看出重點了嗎？週期只跟 $x$ 旁邊那個係數有關，跟外面的係數無關。 外面乘 3、乘 100，波形只會被拉高，重複的節奏一點都沒變。換句話說，決定節奏的是 $x$ 旁邊那個 $\omega$，不是外面那個人。 $\omega=2$ 的時候，$x$ 跑得快一倍，週期就被砍半成 $\pi$。$\omega=3$ 的話變成 $\dfrac{2\pi}{3}$。 所以「$\sin^2 x$ 的週期」這個問題，翻成白話就是：平方之後，$x$ 旁邊的係數變成了多少？
二、降次：把平方拆掉，答案自己走出來
二倍角公式你一定背過。它其實是托勒密（Ptolemy）在西元二世紀為了編天文用的弦表推出來的。某種程度上，它是整個三角學最老的一批公式之一，當年算的是星星的位置😁。 $$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$$ 移項一下： $$2\sin^2\theta = 1 - \cos 2\theta \quad\Longrightarrow\quad \sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$$ 這叫降次公式。它的工作是把「二次」變成「一次」，代價是角度從 $\theta$ 變成 $2\theta$。 現在把 $\theta$ 換成 $x$： $$\sin^2 x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x$$ 那個常數 $\dfrac{1}{2}$ 是上下平移（波形整體往上升半格），不影響週期。真正決定週期的是 $-\dfrac{1}{2}\cos 2x$，而它的 $\omega=2$。 $$\therefore\ \text{週期} = \frac{2\pi}{2} = \pi$$ $\sin^2 x$ 的週期是 $\pi$，不是 $2\pi$。** 順便送你另一半（$\cos$ 的版本）。推法一樣，從 $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$ 出發： $$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$$ 所以 $\cos^2 x$ 的週期也是 $\pi$。
三、圖形直覺：把下半部「摺」上去
代數講完了，但代數不會讓你記住。那怎麼辦呢？🙃解法：我們改看圖。 先畫 $y=\sin x$。從 $0$ 到 $\pi$ 是一座山丘（最高點在 $\dfrac{\pi}{2}$，高度 1）；從 $\pi$ 到 $2\pi$ 是一個山谷（最低點在 $\dfrac{3\pi}{2}$，深度 $-1$）。 現在把它平方。平方會做兩件事：
- 負的地方全部變正（因為 $(-0.5)^2=0.25>0$）。
- 本來在 $0$ 到 $1$ 之間的數值被壓得更小（$0.5$ 變 $0.25$，$0.9$ 變 $0.81$，越接近 $0$ 縮得越兇）。
所以效果就是：把 $x$ 軸下方的那個山谷，整片沿著 $x$ 軸往上摺。 摺上去之後你會發現一件事：那個被摺上來的山谷，形狀跟原本的山丘一模一樣。因為 $\sin x$ 在 $[\pi,2\pi]$ 的圖形，本來就是 $[0,\pi]$ 那段的上下翻版。
👑 學長的小抄 平方把凹下去的地方「摺」上來。摺完之後兩段完全相同，本來要 $2\pi$ 才跑完的循環，現在 $\pi$ 就跑完了。 這也順便解釋了 $\sin^2 x$ 的值域（函數能吐出來的所有值）為什麼是 $[0,1]$ 而不是 $[-1,1]$：山丘頂點 $1$ 平方還是 $1$，山谷底部 $-1$ 被摺上來也變成 $1$，而 $0$ 平方之後仍然是 $0$。 負的地方被摺上來了，山丘本身不變，只是被壓低了一截。
四、規律表：偶數次方、奇數次方
| 函數 | 次方 | 週期 | 為什麼 |
|---|---|---|---|
| $\sin^2 x$ | 偶 | $\pi$ | 降次後變成 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x$ |
| $\cos^2 x$ | 偶 | $\pi$ | 降次後變成 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x$ |
| $\sin^4 x$ | 偶 | $\pi$ | 降兩次，展開式含 $\cos 2x$ |
| $\cos^4 x$ | 偶 | $\pi$ | 同上 |
| $\sin^6 x$、$\cos^6 x$ | 偶 | $\pi$ | 規律不變 |
| $\sin^3 x$ | 奇 | $2\pi$ | 展開成 $\sin x$ 與 $\sin 3x$ |
| $\cos^3 x$ | 奇 | $2\pi$ | 展開成 $\cos x$ 與 $\cos 3x$ |
| $\tan^n x$ | 任意 | $\pi$ | $\tan$ 本身週期就是 $\pi$ |
⚠️ 學長的警告： 這張表只適用「單一個三角函數的次方」。如果題目是 $\sin^2 x+\sin x$ 這種混搭，要分別算週期再取最小公倍數：$\pi$ 跟 $2\pi$ 的最小公倍數是 $2\pi$，所以 $\sin^2 x+\sin x$ 的週期是 $2\pi$，不是 $\pi$。簡單的說，混搭題沒有捷徑，只能拆開分別算。
為什麼「偶數次方」一定會降到 $\pi$？
這是最多同學想不通的地方。關鍵在一件事實： 偶數次方展開後，一定含有一個 $\cos 2x$（或 $\sin 2x$）的項。 為什麼？你想一下 $\sin^{2n}x$ 這個東西，它是「$\sin$ 自己乘自己偶數次」。每乘開一次，頻率都是加加減減，最後得到的全是 $\cos(2kx)$ 這種偶數倍角：$\cos 2x$、$\cos 4x$、$\cos 6x$……一路到 $\cos 2nx$，外加一個常數項。 這些項的週期分別是： $$ \pi,\quad \frac{\pi}{2},\quad \frac{\pi}{3},\quad \ldots,\quad \frac{\pi}{n} $$ 它們的最小公倍數就是 $\pi$（因為每一個都能整除 $\pi$）。而且 $\cos 2x$ 那一項的係數不可能是 0，所以 $\pi$ 是真的最小，不能再往下縮。 反過來，奇數次方 $\sin^{2n+1}x$ 展開後拿到的是 $\sin x$、$\sin 3x$、$\sin 5x$……全是奇數倍角。裡面週期最長的是 $\sin x$ 的 $2\pi$，所以週期卡在 $2\pi$ 下不來。 順便一提這條「展開成整數倍角」的路，是韋達（François Viète）在十六世紀玩出來的。他甚至用三倍角公式 $\cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$ 去解三次方程：把 $x=2\sqrt{p}\cos\theta$ 代進去，三次方程就變成了餘弦的倍角式。你現在覺得很煩的倍角公式，當年是拿來解世紀難題的😎。
五、為什麼課綱沒寫卻會考
命題老師不可能出一題「請背出 $\sin^2 x$ 的週期」。但他們很愛出這種：
「下列關於 $f(x)=2\sin^2 x-1$ 的敘述，哪些正確？」 你如果看不出 $f(x)=-\cos 2x$（週期 $\pi$、值域 $[-1,1]$、對稱軸是 $x=\dfrac{k\pi}{2}$；對稱軸就是讓波形左右對稱的那條鉛直線），就只能硬代數字，然後在考場上慢半拍。 這題本質上在考什麼？考你會不會把「二次」降成「一次」。二倍角公式是課綱內容，週期也是課綱內容，兩塊拼起來就是這題。這就是大考的「跨章節整合」。 辨識方式很簡單：看到題目問週期，但函數裡有平方、選項又只出現 $\pi$ 跟 $2\pi$ 兩種，那就是在考降次。
🌰 範例解析
範例 1：求 $f(x)=\sin^4 x$ 的週期。 降兩次。第一次： $$ \sin^4 x = \left(\sin^2 x\right)^2 = \left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right)^2 = \frac{1 - 2\cos 2x + \cos^2 2x}{4} $$ 第二次處理 $\cos^2 2x$。用 $\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos 2\theta}{2}$，令 $\theta=2x$： $$ \cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2} $$ 代回去： $$ \sin^4 x = \frac{1}{4}\left(1 - 2\cos 2x + \frac{1 + \cos 4x}{2}\right) = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x $$ $\cos 2x$ 週期 $\pi$，$\cos 4x$ 週期 $\dfrac{\pi}{2}$。最小公倍數是 $\pi$。答案 $\pi$。 驗算：取 $x=\dfrac{\pi}{4}$，$\sin^4\dfrac{\pi}{4}=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^4=\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}$。用展開式：$\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{2}\cos\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{1}{8}\cos\pi=\dfrac{3}{8}-0-\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{4}$ ✓
- 學長邏輯：展開式裡 $\cos 2x$ 的係數 $-\dfrac{1}{2}$ 不是 0，所以週期就是 $\pi$，不能再砍半。要確認「最小」的話，檢查 $\dfrac{\pi}{2}$ 是不是週期：$\sin^4 0=0$，但 $\sin^4\dfrac{\pi}{2}=1\ne 0$，所以 $\dfrac{\pi}{2}$ 出局 ✓。（這一步用的降次公式來自二倍角，推法見二倍角公式與降次。）
範例 2：判斷 $g(x)=\cos^3 x$ 的週期。 三次方是奇數，但我們還是老老實實展開。三倍角公式 $\cos 3x=4\cos^3 x-3\cos x$，移項： $$ \cos^3 x = \frac{3\cos x + \cos 3x}{4} $$ $\cos x$ 週期 $2\pi$，$\cos 3x$ 週期 $\dfrac{2\pi}{3}$。而 $2\pi=3\times\dfrac{2\pi}{3}$ 剛好是 $\cos 3x$ 週期的整數倍，所以最小公倍數就是 $2\pi$。答案 $2\pi$。 驗算「$\pi$ 不是週期」：$\cos^3 0=1$，但 $\cos^3\pi=(-1)^3=-1\ne 1$ ✓
- 學長邏輯：奇數次方展開只會拿到「奇數倍角」（$\cos x$、$\cos 3x$、$\cos 5x$……）。把 $x$ 換成 $x+\pi$ 的時候，這些項每一項都剛好變號，加起來變成原式的負號，不是同一個函數。要等 $x$ 走完 $2\pi$ 才回到原點。（三倍角公式的推法學長另外寫在三倍角公式。）
範例 3：求 $f(x)=2\sin^2 x-3\sin x+1$ 的最大值與最小值。 平方項跟一次項同時出現，用換元法，就是「把一坨東西暫時取個新名字，讓式子變簡單」。令 $t=\sin x$，因為 $x$ 是實數，$t$ 的範圍（也就是它的定義域）是 $$ -1 \le t \le 1 $$ 原式變成 $g(t)=2t^2-3t+1$，定義域 $[-1,1]$。這是開口向上的拋物線，頂點在 $t=\dfrac{3}{4}$（$\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{3}{4}$，落在 $[-1,1]$ 裡面，所以頂點真的接得到）。
- 頂點值：$g\!\left(\dfrac{3}{4}\right)=2\cdot\dfrac{9}{16}-\dfrac{9}{4}+1=\dfrac{18}{16}-\dfrac{36}{16}+\dfrac{16}{16}=-\dfrac{2}{16}=-\dfrac{1}{8}$
- 左端點 $t=-1$：$g(-1)=2+3+1=6$
- 右端點 $t=1$：$g(1)=2-3+1=0$
最大值 $6$（當 $\sin x=-1$，即 $x=\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi$）；最小值 $-\dfrac{1}{8}$（當 $\sin x=\dfrac{3}{4}$）。
- 學長邏輯：這題的陷阱是「看到頂點就交卷」。拋物線的頂點只有落在 $t\in[-1,1]$ 裡面才有效。這題頂點剛好在裡面，最小值就是頂點值；如果題目換成 $g(t)=2t^2-5t+1$，頂點 $\dfrac{5}{4}=1.25$ 跑到定義域外，最小值就得改看端點 $t=1$。這種「端點 vs 頂點誰大」的比較，是配方法的固定戲碼（二次函數在有限區間的最大最小值）。
範例 4（追加）：求 $h(x)=\sin^2 x\cos^2 x$ 的週期與最大值。 先合併再降次： $$ \sin^2 x\cos^2 x = (\sin x\cos x)^2 = \left(\frac{\sin 2x}{2}\right)^2 = \frac{\sin^2 2x}{4} $$ 再降一次。用 $\sin^2\theta=\dfrac{1-\cos 2\theta}{2}$，令 $\theta=2x$： $$ h(x) = \frac{1}{4}\cdot\frac{1-\cos 4x}{2} = \frac{1-\cos 4x}{8} $$ 週期 $=\dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}$。最大值 $=\dfrac{1-(-1)}{8}=\dfrac{1}{4}$（當 $\cos 4x=-1$）。 驗算：取 $x=\dfrac{\pi}{4}$，$\sin^2\dfrac{\pi}{4}\cos^2\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$ ✓
- 學長邏輯：看到 $\sin^2 x\cos^2 x$ 不要慌。$\sin x\cos x$ 是半個 $\sin 2x$（因為 $\sin 2x=2\sin x\cos x$），平方之後 $\omega$ 從 2 變 4，週期就從 $\pi$ 再砍半成 $\dfrac{\pi}{2}$。前面那個 $\dfrac{1}{4}$ 是 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2$ 來的。
🔍 即時小測
- $\sin^6 x$ 的週期是多少？
- $\cos^5 x$ 的週期是多少？
- $\tan^4 x$ 的週期是多少？
- $f(x)=1-2\cos^2 x$ 的週期是多少？
- $f(x)=\sin^2 x+\sin x$ 的週期是多少？
- $f(x)=3\sin^2 x+2$ 的最大值與最小值各是多少？
📖 詳解：
- $\pi$。偶數次方一律 $\pi$。驗算：$\sin^6 x=\left(\dfrac{1-\cos 2x}{2}\right)^3$，展開是 $\cos 2x$、$\cos 4x$、$\cos 6x$ 的組合（外加常數），週期由 $\cos 2x$ 決定，$\dfrac{2\pi}{2}=\pi$。
- $2\pi$。5 是奇數，展開只有 $\sin x$、$\sin 3x$、$\sin 5x$ 這些奇數倍角，最大的循環單位是 $\sin x$ 的 $2\pi$。驗算：$\cos^5 0=1$，$\cos^5\pi=-1$，所以 $\pi$ 不是週期。
- $\pi$。$\tan$ 本身週期就是 $\pi$，$\tan(x+\pi)=\tan x$，平方也好、四次方也好都一樣。幾次方都是 $\pi$。
- $\pi$。先降次：$\cos^2 x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}$，所以 $f(x)=1-(1+\cos 2x)=-\cos 2x$，週期 $\dfrac{2\pi}{2}=\pi$。（另一條路：$1-2\cos^2 x=-\cos 2x$，這根本就是二倍角公式的長相。）
- $2\pi$。這是混搭型，不能直接套規律。$\sin^2 x$ 週期 $\pi$、$\sin x$ 週期 $2\pi$，取最小公倍數得 $2\pi$。驗算：$f(0)=0$、$f(\pi)=0+0=0$ 看起來過關，但 $f\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1+1=2$、$f\!\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=1-1=0$，兩者不相等 → $\pi$ 不是週期 ✓。
- 最大值 $5$、最小值 $2$。因為 $\sin^2 x$ 的範圍是 $[0,1]$（不是 $[-1,1]$！），所以 $3\times 0+2=2$ 是最小值、$3\times 1+2=5$ 是最大值。
