威威學長｜高一多項式系列
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$\dfrac{ax}{x-1}-(bx+1)>0$ 的解是 $x<-1$ 或 $1<x<3$，求 $a$、$b$。
有一條捷徑叫「比較係數」：既然兩個式子的解區間一樣，那就假設它們成比例，把係數對一對收工。它快，但它有前提。前提不成立的時候，它會無聲無息地給你錯答案。
先把題目整理乾淨
第一步永遠一樣：全部移到同一邊，通分。
$$\frac{ax}{x-1}-(bx+1)>0 \implies \frac{ax-(bx+1)(x-1)}{x-1}>0 \implies \frac{-bx^2+(a+b-1)x+1}{x-1}>0$$
分子展開別急，一步一步來：$(bx+1)(x-1)=bx^2-bx+x-1$，所以 $ax-(bx^2-bx+x-1)=-bx^2+(a+b-1)x+1$。對。
快路：根與係數（有條件）
解區間的臨界點有三個：$-1$、$1$、$3$。分母 $x-1$ 貢獻了 $x=1$，剩下 $-1$ 和 $3$ 必須由分子提供，也就是說 $x=-1$、$x=3$ 是分子 $-bx^2+(a+b-1)x+1=0$ 的兩個根。
用韋達定理：
兩根之和：$(-1)+3=2=\dfrac{-(a+b-1)}{-b}=\dfrac{a+b-1}{b}$
兩根之積：$(-1)(3)=-3=\dfrac{1}{-b}=-\dfrac{1}{b}$，得 $b=\dfrac{1}{3}$。
代回：$2=\dfrac{a+\frac{1}{3}-1}{\frac{1}{3}}=3a-2$，得 $a=\dfrac{4}{3}$。
漂亮，$b=\dfrac{1}{3}$、$a=\dfrac{4}{3}$。
但這裡有個坑。 這個解法用「分子在 $x=-1,3$ 為零」推出了係數，卻沒有回頭檢查不等號的方向。萬一解出來的係數讓不等式的方向跟題目給的解區間相反，就是全錯。這題剛好會過，但過得有點僥倖。
嚴謹路：用正負號區間反推
嚴謹版的第一步：同乘 $(x-1)^2$（平方恆正，不等號不變號，且 $x\neq 1$）：
$$\left[-bx^2+(a+b-1)x+1\right]\cdot(x-1)>0$$
現在當逆向工程師：已知解是 $x<-1$ 或 $1<x<3$，用三個臨界點拼出一個候選：
$$(x+1)(x-1)(x-3)>0$$
測正負號：$x>3$ 時 $(+)(+)(+)>0$；$1<x<3$ 時 $(+)(+)(-)<0$；$-1<x<1$ 時 $(+)(-)(-)>0$；$x<-1$ 時 $(-)(-)(-)<0$。
咦，這個式子的解是 $-1<x<1$ 或 $x>3$，跟題目要的剛好相反。所以目標式必須帶一個負號：
$$-(x+1)(x-1)(x-3)>0 \implies (-x^2+2x+3)(x-1)>0$$
跟原式對照：
$$\left[-bx^2+(a+b-1)x+1\right]\cdot(x-1)=k\cdot(-x^2+2x+3)(x-1),\quad k>0$$
用常數項抓 $k$：$1=3k$，$k=\dfrac{1}{3}$（正數 ✓，方向確認）。比係數：
$-b=-\dfrac{1}{3}\implies b=\dfrac{1}{3}$；$a+\dfrac{1}{3}-1=\dfrac{2}{3}\implies a=\dfrac{4}{3}$。
同樣的答案，但這次連不等號方向都驗證過了，零僥倖。
「同解區間就成比例」沒有這個定理
這裡要停下來問一個大問題：上面那句「解區間一樣，所以成比例」，憑什麼？
拿三個多項式試試：$x-2>0$、$(x-2)^3>0$、$(x-2)(x^2+1)>0$，解全部都是 $x>2$。可是它們的長相天差地遠：同解區間的多項式根本有無限多個，可以加奇數次重根，可以乘上一個恆正的多項式。
所以數學上沒有「同解區間就成比例」這種定理，上面那三個多項式就是反例。
那這題憑什麼能比？關鍵只有兩個字：次數。
- 邊界點必是根（連續函數的變號性質）＋因式定理 ⟹ 分子必含 $(x+1)$、$(x-3)$ 這兩個因式，乘起來已經二次了。
- 題目的分子最高就是二次：它沒有額度再塞恆正的 $x^2+1$，也沒有額度升成 $(x+1)^3(x-3)^5$。
次數被鎖死，長相就被鎖死，所以只能差一個常數倍率 $k$。這才是「比較係數」合法的完整理由。
以後看到解答寫「比較係數」，請在心裡默念一句檢查咒語：「它的次數鎖死了嗎？」 鎖死了就大膽用；沒鎖死，那個解答寫得太隨便，你要自己找別的路。
換你動手
練習 1：解 $\dfrac{x-3}{x+2}\leq 0$。
點開看詳解
先抓分母不能為零：$x\neq -2$。這題的陷阱是 $\leq$：分子可以等於零（$x=3$ 可以），分母不行。
分子 $x-3\leq 0$ 給 $x\leq 3$；分母 $x+2>0$ 給 $x>-2$。同號（分子負、分母正，或分子零）：
$$-2<x\leq 3$$
別把 $-2$ 包進去。分式不等式看到 $\leq$，第一反應就該是「等號只留給分子」。
練習 2：$\dfrac{x^2-5x+6}{x-1}>0$ 的解，用「分子分母正負組合」與「同乘平方」兩種方法各解一次。
點開看詳解
分子因式分解：$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$。
方法一（同乘 $(x-1)^2$）：$(x-1)(x-2)(x-3)>0$，四個區間測號（或穿針引線：三根 $1,2,3$，右起正負相間）：
$x>3$ 正 ✓；$2<x<3$ 負；$1<x<2$ 正 ✓；$x<1$ 負。
解：$1<x<2$ 或 $x>3$。
方法二（正負組合）：分子正（$x<2$ 或 $x>3$）且分母正（$x>1$）⟹ $1<x<2$ 或 $x>3$；分子負（$2<x<3$）且分母負（$x<1$）⟹ 空集合。同答案。
兩法答案一致：$\boxed{1<x<2 \text{ 或 } x>3}$。
哪個好用見仁見智，但「同乘平方」的好處是把分式一次變多項式，之後全部交給穿針引線的 SOP，比較不容易漏 case。
練習 3（逆推題，嚴謹路完整跑一遍）：$\dfrac{ax+2}{x-2}>0$ 的解為 $-1<x<2$，求 $a$。
點開看詳解
臨界點 $-1$ 和 $2$；分母 $x-2$ 貢獻 $2$，所以 $x=-1$ 是分子的根：$a(-1)+2=0$，$a=2$。
但還沒完，要驗方向。 $a=2$ 時式子是 $\dfrac{2x+2}{x-2}>0$，即 $\dfrac{2(x+1)}{x-2}>0$。
$(x+1)(x-2)>0$ 的解：$x<-1$ 或 $x>2$，跟題目給的 $-1<x<2$ 相反。所以 $a=2$ 不合。
換個角度再確認一次：分子 $ax+2$ 的根是 $x=-\frac{2}{a}$，題目要求臨界點落在 $-1$，所以 $-\frac{2}{a}=-1$，解出來還是 $a=2$。兩條路都指向同一個數字，而它代回去就是不對。
對，這就是本題的陷阱本體：無解。 分子只有一次，根唯一，方向被 $a$ 的正負綁死；而 $a=2>0$ 時 $(x+1)$ 與 $(x-2)$ 在 $-1<x<2$ 內必然異號，所以商永遠是負的，不可能等於題目的解。
嚴謹的結論是：不存在這樣的 $a$。當你推出來的答案代回去是矛盾的，要敢寫「無解」，而不是硬拗一個數字。
（把題目改成解為 $x<-1$ 或 $x>2$，那 $a=2$ 就完美了，出題的人只要動一個符號。）
挑兩題分式不等式的逆推題（講義上的、段考題都行），先用「比較係數」快解一次，再用「同乘平方、拼正負號」慢慢解一次。兩次答案一樣，才算真的過。
不一樣的那一題，先別急著懷疑答案，把你快解的那幾行丟給我，我們來看是次數沒有鎖死，還是最後那個不等號方向沒驗。
