威威學長｜高二三角函數系列
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課本講到圖形變換，標準動作是丟給你一張密密麻麻的表：左移右移、上移下移、壓縮伸長，每一格還配一句「口訣」。老實說，段考題硬背那張表也能過😅。 但背的時候，你心裡是不是有幾個解不開的結？為什麼往右移是「減」不是「加」？為什麼「先壓縮再平移」跟「先平移再壓縮」答案會不一樣？還有那題經典的：$y=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$ 到底左移多少，為什麼參考書跟老師講的可以不一樣？🙃 今天我們就來聊聊圖形變換。我們會發現，它從頭到尾只有一件事：把式子裡的某個字母，換成另一坨東西。 學會這個替換動作之後，那張表你可以直接丟掉。 先從一個真實場景開始。 把 $y=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$ 丟給全班，問一句：「這是 $\sin x$ 往左移多少？」 你會收到三種答案：$\frac{\pi}{3}$、$\frac{\pi}{6}$，還有沉默。 今天學長不給你第三條規則背，要給你一條公理：學完之後，這類題目你自己就推得出來。😎
一、先講一句可能有點震撼的話
圖形變換看起來招式一大堆。左移右移、上移下移、先做後做，課本還幫你整理成一張密密麻麻的表。但全部拆到底，其實只做一件事：
把式子裡的某個字母，換成另一坨東西。
就四個動作，沒有別的了：
| 你對圖形做的事 | 你對式子做的事 |
|---|---|
| 往右平移 $h$ | 把 $x$ 換成 $(x-h)$ |
| 往上平移 $k$ | 把 $y$ 換成 $(y-k)$ |
| 水平壓縮 $a$ 倍 | 把 $x$ 換成 $ax$ |
| 鉛直伸長 $b$ 倍 | 把 $y$ 換成 $y/b$ |
四條都不難，難的是你相不相信「就這四條」。我們用數字確認一遍。
往右移，為什麼是減？ 原本站在 $x=0$ 的那個點，現在跑到 $x=h$ 去了。新式子必須讓「$x=h$ 的時候，長得跟舊式子在 $x=0$ 一模一樣」，所以把 $x$ 換成 $x-h$，代 $x=h$ 進去剛好變回 $0$，對上了。
往上移同理。 $y=0$ 的位置現在抬到 $y=k$，所以要讓 $y-k=0$，也就是把 $y$ 換成 $y-k$。
水平壓縮 2 倍。 $y=\sin x$ 的週期是 $2\pi$（週期就是「波形重複一次要跑多遠」）。把 $x$ 換成 $2x$，變成 $y=\sin 2x$，週期縮成 $\pi$，整個波形橫向被壓成一半。
鉛直伸長 3 倍。 $y=\sin x$ 的峰值原本是 $1$，伸長後要變 $3$。把 $y$ 換成 $y/3$ 得到 $\dfrac{y}{3}=\sin x$，也就是 $y=3\sin x$。
👑 威威說重點： 你不需要記「平移量是多少」，只要問「哪個字母被換成什麼」；替換寫得出來，答案就成立。這四條對二次函數、指數、對數通通適用（二次函數的平移可複習二次函數圖形與平移）。
⚠️ 學長的警告： 中文的「壓縮幾倍」「伸長幾倍」是地雷區。有人說「水平壓縮 2 倍」是指寬度變一半，也有人理解成 $x$ 乘 $2$；同一個詞，兩種算法，考場上就爆了。永遠不要用中文倍率思考，直接問「哪個字母被換成什麼」。 你只要能寫出那個替換，倍率怎麼講都不會影響你。
二、黃金定律：把 $x$ 想成一個空格
接下來這個想法，是整篇最值錢的東西。 👑 黃金定律：原式裡的 $x$ 是一個空格「$(\ )$」。變換只塞進那個空格，其他東西一概不動。 看例子最快。$y=3\sin x+1$，把 $x$ 想成空格就是 $y=3\sin(\ )+1$。現在往右移 $\frac{\pi}{2}$： $$y=3\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+1$$ 結束。那個 $+1$ 連動都沒動，前面的 $3$ 也原地站好。 同一個函數，這次往上移 5。注意空格換人了：這次動的是 $y$，把 $y$ 換成 $(y-5)$： $$(y-5)=3\sin x+1\ \Longrightarrow\ y=3\sin x+6$$ 👑 學長的口訣：誰被平移，就換誰。換完記得把 $y$ 解回來。 這裡有個同學常犯的錯：往上移的時候，看到 $+1$ 就直接改成 $+6$，完全忘了前面還有個 $3$ 倍。用替換法不會出這種事，因為你是對整個 $y$ 動刀，不是對常數項動刀。🙂
三、破除混淆：先把係數提出來
好，回來處理開場那題。$y=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$，到底左移多少？ 關鍵動作只有一個：把 $x$ 旁邊的係數提出來。 $$\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=\sin\left(2\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\right)$$ 檢查一下：$2\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=2x+\frac{\pi}{3}$ ✓ 提出來之後，$x$ 旁邊的係數變成 $1$。這時候括號裡加減的那個數，才是真正的平移量。這裡括號裡是 $+\frac{\pi}{6}$，所以圖形是往左 $\frac{\pi}{6}$。 為什麼非提不可？因為提完之後，式子長成 $A\sin\big(\omega(x-h)\big)+B$。這個形狀就是課本所謂的「標準形」，它存在的唯一目的，就是讓你能一眼讀出四個參數。只要式子不是這個長相，你讀出來的平移量就是假的。 再確認一次方向感：$2\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$ 要還原成原本的輸入，$x$ 得加上 $\frac{\pi}{6}$，代表原圖上的點往左跑了 $\frac{\pi}{6}$。所以是左移。 ⚠️ 學長的警告： $y=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$ 和 $y=\sin 2\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$ 是同一個函數，但很多同學會在「括號裡是 $+\frac{\pi}{3}$」和「左移 $\frac{\pi}{3}$」之間直接畫等號。這個等號錯得離譜，而且會在兩類題目上連環爆：一類問平移量，一類問對稱軸。之後講四大特徵時，我們會再撞到它一次。
四、順序判斷：式子裡先加減，圖形上先伸縮
這節是本篇重點，也是同學卡最久的地方。 先把兩個長得很像的東西並排： $$\sin\big(\omega(x-h)\big)\qquad\text{對比}\qquad\sin(\omega x-k)$$ 看起來差不多，讀法完全不同：
- 看到 $\omega(x-h)$（有提係數）：先沿水平方向壓縮 $\omega$ 倍，再平移 $h$。
- 看到 $\omega x-k$（沒提係數）：先平移 $k$，再水平壓縮 $\omega$ 倍。
那怎麼辦呢？🙃解法：不要背結論，直接用「替換」各跑一次，順序自己會浮出來。 第一種，$\omega(x-h)$。從 $\sin x$ 出發，先壓縮 $\omega$ 倍（把 $x$ 換成 $\omega x$），得到 $\sin(\omega x)$；再平移 $h$（把 $x$ 換成 $x-h$）： $$\sin\big(\omega(x-h)\big)$$ ✓ 到了。 第二種，$\omega x-k$。從 $\sin x$ 出發，先平移 $k$（把 $x$ 換成 $x-k$），得到 $\sin(x-k)$；再壓縮 $\omega$ 倍（把 $x$ 換成 $\omega x$）： $$\sin(\omega x-k)$$ ✓ 也到了。 注意到了嗎：替換的順序，本身就是圖形運動的順序。 你照著替換做，順序自然就對，根本不用記規則。順序是替換動作自己帶出來的結果。 那「剛好相反」是相反在哪？相反在算術上。 看 $\omega(x-h)$ 這個式子。如果把它讀成「對 $x$ 做了什麼事」，順序是：$x$ 先被減掉 $h$，再被乘上 $\omega$（括號先算嘛）。可是圖形上是先伸縮、才平移。 再看 $\omega x-k$：$x$ 先被乘上 $\omega$，再被減掉 $k$。可是圖形上是先平移、才伸縮。 👑 學長的小抄：式子裡 $x$ 的「先加減」，對應圖形的「後平移」；式子裡 $x$ 的「先乘除」，對應圖形的「後伸縮」。兩邊剛好顛倒。 這條小抄的用處是：你只要看式子裡 $x$ 是被誰先碰到，就知道圖形上哪個動作排在後面。反著推，順序就出來了。😁
五、動手驗算：$y=2x$ 的兩種順序
這個例子是同學在對話裡真的丟出來問的，我把它放進來，因為它把一切都講清楚了。 題目：$y=2x$。先往右移 3、再沿 $x$ 方向壓縮 2 倍，會得到什麼？ 順序 A：先右移，再壓縮 右移 3，把 $x$ 換成 $(x-3)$： $$y=2(x-3)=2x-6$$ 壓縮 2 倍，把 $x$ 換成 $2x$： $$y=2(2x)-6=4x-6$$ 順序 B：先壓縮，再右移 壓縮 2 倍，把 $x$ 換成 $2x$： $$y=2(2x)=4x$$ 右移 3，把 $x$ 換成 $(x-3)$： $$y=4(x-3)=4x-12$$ $4x-6$ 和 $4x-12$，差了 6。順序不同，答案就不同，這不是什麼哲學問題，是紮紮實實的兩條不同直線。你畫出來就會看到它們是平行的兩條線，中間隔了 6 格😅。 這件事每天都在發生：先穿襪子再穿鞋，跟先穿鞋再穿襪子，結果會一樣嗎😅？數學只是把它寫成了式子。 順帶一提，那位同學原本寫的是 $y=2x-3$ 和 $y=2(x-3)$，他是拿 $y=x$ 當起點。但原式是 $y=2x$，那個 $2$ 也躲不掉。原式的每一個 $x$ 都是空格，一個都不能漏。
六、還原題：由後往前、動作相反
這類題目長這樣：某個函數經過「先水平伸長 2 倍、再左移 $\frac{\pi}{2}$」之後得到 $y=\frac{1}{2}\sin x$，求原函數。 正向想很亂，反向做很快，就像按了倒帶鍵一樣（對，就是那首〈倒帶〉😎）。原則就兩句：由後往前、動作相反。 正向是「伸長 → 左移」，那還原就是「右移 → 壓縮」。起點是題目給的終點 $y=\frac{1}{2}\sin x$。 第一步，把最後做的「左移 $\frac{\pi}{2}$」反過來，改成右移： $$y=\frac{1}{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$$ 第二步，把「水平伸長 2 倍」反過來，改成壓縮 2 倍，也就是把 $x$ 換成 $2x$： $$y=\frac{1}{2}\sin\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)$$ 驗算一次，把答案正向跑：先水平伸長 2 倍（把 $x$ 換成 $\frac{x}{2}$）得 $\frac{1}{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$；再左移 $\frac{\pi}{2}$（把 $x$ 換成 $x+\frac{\pi}{2}$）得 $\frac{1}{2}\sin x$。回到題目給的結果了 ✓ ⚠️ 學長的警告：最後一步的頭號陷阱 第二步只能把單獨一個 $x$ 換成 $2x$，不能把整包角度乘以 $2$。 錯法：$\frac{1}{2}\sin\left(2\left(x-\frac{\pi}{2}\right)\right)=\frac{1}{2}\sin\left(2x-\pi\right)$ ❌ 這裡 $\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$ 已經是一整包角度了，你再去乘 2，等於把平移量偷偷放大成兩倍。壓縮是「換掉那個 $x$」，不是「把括號乘開」。
🌰 範例解析
範例 1：把 $y=\sin x$ 先右移 $\frac{\pi}{3}$，再水平壓縮成一半（$x$ 換成 $2x$）。求新函數與它的週期。 右移 $\frac{\pi}{3}$：$y=\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$。壓縮：$y=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$。週期 $\frac{2\pi}{2}=\pi$。
- 學長邏輯：照順序替換，一步一格，中間不要跳步。不放心就驗算：原圖波峰在 $x=\frac{\pi}{2}$，右移後跑到 $\frac{5\pi}{6}$，壓縮後縮到 $\frac{5\pi}{12}$；而新函數的波峰確實在 $2x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}$ 也就是 $x=\frac{5\pi}{12}$ 的位置 ✓。另外注意 $\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$ 也等於 $\sin 2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$，所以這條曲線同樣可以描述成「先壓縮一半、再右移 $\frac{\pi}{6}$」。
範例 2：把 $y=3\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)-1$ 寫成標準形，並說出它是由 $y=\sin x$ 經過哪些動作、各多少量得到的。 提出係數： $$3\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)-1=3\sin\left(2\left(x+\frac{\pi}{12}\right)\right)-1$$ 所以是：沿水平方向壓縮成一半、往左移 $\frac{\pi}{12}$、鉛直伸長 3 倍、往下移 1。
- 學長邏輯：看到 $x$ 旁邊有係數，第一件事就是提出來。提出來之前讀到的任何平移量都是假的。這題你要是直接讀 $\frac{\pi}{6}$，就中了。驗算一下：$\sin x\to\sin 2x\to\sin 2\left(x+\frac{\pi}{12}\right)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)$，再乘 3、再減 1，一路對得上 ✓
範例 3：把 $y=\sin x$ 先左移 $\frac{\pi}{6}$，再水平壓縮成一半，得到什麼？跟範例 2 比一比。 左移 $\frac{\pi}{6}$：$\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$。壓縮（$x$ 換成 $2x$）：$\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)$。
- 學長邏輯：最後的相位跟範例 2 一模一樣。但這題是「左移 $\frac{\pi}{6}$ 之後再壓縮」，範例 2 是「壓縮之後再左移 $\frac{\pi}{12}$」，左移 $\frac{\pi}{6}$ 再壓縮，完全等於壓縮再左移 $\frac{\pi}{12}$。同一條曲線，可以有好多種動作敘述。所以題目問「平移多少」時，你要先確認它講的是哪種順序，判斷方法永遠只有一個：提係數。
範例 4：$y=\cos x$ 先鉛直壓縮成一半，再往上移 3，最後水平壓縮成一半。求新函數。 鉛直壓縮成一半就是 $y$ 值減半，把 $y$ 換成 $2y$：$2y=\cos x$，即 $y=\frac{1}{2}\cos x$。往上移 3，把 $y$ 換成 $(y-3)$：$y=\frac{1}{2}\cos x+3$。水平壓縮成一半，把 $x$ 換成 $2x$： $$y=\frac{1}{2}\cos 2x+3$$
- 學長邏輯：三個動作、兩個空格。鉛直壓縮跟往上移都塞進 $y$ 的空格，所以要照順序對 $y$ 動刀；水平壓縮塞的是 $x$ 的空格。小心一件事：如果把順序換成「先往上移 3、再鉛直壓縮成一半」，會得到 $y=\frac{1}{2}\cos x+\frac{3}{2}$，縱向的兩個動作之間也會互相影響，不是只有橫向才要注意順序。
🔍 即時小測
- $y=\sin x$ 往右移 $\frac{\pi}{4}$，新函數是？
- $y=\cos x$ 先往上移 2 單位，再鉛直伸長 3 倍，得到什麼？
- $y=\sin x$ 先右移 $\frac{\pi}{6}$，再水平壓縮成一半，得到什麼？
- 承上題，同一條曲線如果改成「先水平壓縮成一半、再右移 $h$」，$h$ 要取多少？
- $y=3\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)-1$ 是由 $y=\sin x$ 水平壓縮成一半之後，再往左移多少？
- 某函數經過「先水平伸長 3 倍、再右移 $\frac{\pi}{3}$」之後得到 $y=\sin x$，求原函數。
📖 詳解：
- $y=\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$。往右移就是把 $x$ 換成 $\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$。
- $y=3\cos x+6$。往上移 2 得 $y=\cos x+2$；鉛直伸長 3 倍是把 $y$ 換成 $\frac{y}{3}$，得 $\frac{y}{3}=\cos x+2$，解回 $y=3\cos x+6$。注意 $+2$ 也被放大成 $+6$ 了，這正是「對整個 $y$ 動刀」的意思。
- $y=\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)$。先得 $\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$，再把 $x$ 換成 $2x$；不要寫成 $\sin\left(2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\right)$，那會變成 $\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$。
- $h=\frac{\pi}{12}$。先壓縮得 $\sin 2x$，再右移 $h$ 得 $\sin 2(x-h)=\sin(2x-2h)$。要跟 $\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)$ 一樣，所以 $2h=\frac{\pi}{6}$，$h=\frac{\pi}{12}$。
- 往左 $\frac{\pi}{6}$。提出係數：$3\sin\left(2\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\right)-1$，括號裡是 $+\frac{\pi}{6}$。這題的陷阱就是把 $+\frac{\pi}{3}$ 直接當成平移量，那會答成 $\frac{\pi}{3}$。
- $y=\sin\left(3x+\frac{\pi}{3}\right)$。由後往前、動作相反：先左移 $\frac{\pi}{3}$ 得 $\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$，再把 $x$ 換成 $3x$ 得 $\sin\left(3x+\frac{\pi}{3}\right)$。驗算：把它水平伸長 3 倍（$x$ 換成 $\frac{x}{3}$）得 $\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$，再右移 $\frac{\pi}{3}$ 得 $\sin x$ ✓
