威威學長｜高中數學
$y=x^2-4x+3$ 和 $y=(x-2)^2-1$。展開來是同一個式子、畫出來是同一條拋物線，但第二個寫法你掃一眼就知道它在哪裡轉彎：頂點 $(2,-1)$、開口朝上。第一個寫法你得先動筆算 $\dfrac{-b}{2a}$ 才會知道同樣的事。 課本把「從第一種寫成第二種」叫配方法，然後給步驟：一次項係數一半的平方，加進去再減掉。這招照著做不會錯，但看起來很像憑空發明的一個技巧。其實頂點的座標本來就藏在原式裡面，配方只是把它挖出來而已😅。
頂點為什麼可以直接讀
先看 $y=(x-2)^2-1$ 這種寫法好在哪。 $(x-2)^2$ 是一個平方。實數平方的最小值是 $0$，而且只有餵 $0$ 進去的時候才會發生，也就是 $x-2=0$、$x=2$ 的時候。所以整條函數的最小值就是 $0-1=-1$，在 $x=2$ 取到。 就這麼兩句，頂點抓完了。關鍵是那句話：「平方的最小值是 $0$，取到它的地方就是頂點」。你不需要微積分、不需要背公式，只要看得出哪一坨是平方。 反過來看 $y=x^2-4x+3$。這裡沒有明顯的平方可以指，你只知道它是個二次函數、開口朝上，但「在哪裡轉彎」被 $x^2$ 和 $-4x$ 混在一起了。配方要做的，就是把混在一起的部分重新打包成一個平方。
配方不是技巧，是反著用一條恆等式
整件事只有一條恆等式在撐： $$(x+d)^2=x^2+2dx+d^2$$ 右邊展開有「$x$ 的平方」和「一次項」，左邊只有一個平方。所以只要你手上的式子長得像 $x^2+2dx$，就可以靠補上 $d^2$ 把前面三項收成 $(x+d)^2$。補進去的東西當然不等值，所以補完立刻減掉。 一般式直接做完一次： $$ax^2+bx+c=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c$$ 括號裡的 $x^2+\dfrac{b}{a}x$ 對照 $x^2+2dx$，看得出來 $2d=\dfrac{b}{a}$，所以 $d=\dfrac{b}{2a}$。補上 $d^2$ 再減掉： $$a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}\right]+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\left(c-\frac{b^2}{4a}\right)$$ 對照 $a(x-h)^2+k$，得到 $$h=-\frac{b}{2a},\qquad k=c-\frac{b^2}{4a}=\frac{4ac-b^2}{4a}$$ 這兩個公式就是課本那兩行，但現在你知道它們是從哪裡長出來的：$h$ 是「讓平方歸零的那個 $x$」，$k$ 是「歸零之後剩下的常數」。
👑 威威說重點：配方不是硬湊，「加一半的平方再減掉」是把 $x^2+2dx+d^2=(x+d)^2$ 反著用。補上的東西立刻扣回去，等值不變。
配方之後，平移就看得到了
寫成 $y=a(x-h)^2+k$ 之後，這條拋物線可以想成 $y=x^2$ 被動了三次手腳：
- 乘上 $a$：縱向伸縮。$|a|>1$ 拉高，$0<|a|<1$ 壓扁，$a<0$ 再上下翻面。
- 把 $x$ 換成 $x-h$：橫向平移 $h$ 單位。
- 最後整個加 $k$：縱向平移 $k$ 單位。
第二項的方向是最多人搞反的地方。$(x-2)^2$ 是往右 $2$，不是往左。理由很樸素：你要讓括號裡變成 $0$，得餵 $x=2$ 進去。平移的方向，永遠是「你要拿什麼餵進去才會歸零」的方向。 這一段的完整推導（為什麼所有函數的伸縮平移都只換「變數本人」）在另一篇：圖形變換的黃金定律。
三個真的會出錯的地方
一、$x^2$ 係數不是 $1$ 的時候，忘記整包一起處理。 算 $y=2x^2-8x+5$ 的時候，很多人的第一動作是「$-8$ 的一半是 $-4$，平方是 $16$」，然後得到 $(x-4)^2$ 配上某個常數。這樣錯了，因為你把 $2$ 漏在外面。正確的第一動作是先把 $2$ 提出來： $$2x^2-8x+5=2(x^2-4x)+5=2\left[(x-2)^2-4\right]+5=2(x-2)^2-3$$ 看出差別了嗎：提出來之後，$-4$ 的一半是 $-2$（不是 $-4$），而且那個 $-4$ 被 $2$ 乘過之後是 $-8$，不是 $-4$。係數 $a$ 會穿過整個括號。 二、$a<0$ 的時候，「頂點是最小值」要改成最大值。 上面的推論完全靠「平方最小值是 $0$」這一條。但當 $a<0$，$a$ 乘在平方外面，$a\cdot 0=0$ 仍然是最大值，因為平方非負、乘上負數之後就非正，最大是 $0$。所以流程一樣，只是你抓到的頂點現在是全圖的最高點🙃。判斷方法很簡單：看 $a$ 的正負，$a>0$ 開口朝上（頂點最低），$a<0$ 開口朝下（頂點最高）。 三、只看 $a$ 就下結論「有最大值／最小值」。 在整個實數線上，二次函數一定有一個全域極值，所以上面兩條是對的。但如果題目把 $x$ 限制在一個區間裡（例如 $0\leq x\leq 5$），頂點可能根本不在區間內，這時候極值會落在端點上。⚠️ 學長的警告：那種題目「配方」只是前半段，後半段要比較頂點和兩個端點的值。這一段單獨寫成一篇文章還比較清楚：二次函數在有限區間的最大最小值。
換你動手
練習 1：把 $y=x^2+6x+5$ 配成 $a(x-h)^2+k$，寫出頂點。 $$y=(x+3)^2-4$$ 一次項 $6$ 的一半是 $3$，平方是 $9$；$x^2+6x$ 補 $9$ 減 $9$，得 $(x+3)^2-9+5=(x+3)^2-4$。頂點 $(-3,-4)$。驗算：展開是 $x^2+6x+9-4=x^2+6x+5$ ✓。 練習 2：$y=-2x^2+12x-13$ 的最大值是多少？在哪裡取到？ 先把 $-2$ 提出來：$-2(x^2-6x)-13$。括號內補 $9$ 減 $9$：$-2\left[(x-3)^2-9\right]-13=-2(x-3)^2+18-13=-2(x-3)^2+5$。因為 $-2<0$，平方項非正，最大值是 $5$，在 $x=3$ 取到。 如果你算成 $-2(x-3)^2+5$ 之外的東西，回頭檢查那個 $18$，它來自 $-2\times(-9)$，正負號要在這裡翻一次。 練習 3：$y=x^2-4x+3$ 在 $0\leq x\leq 5$ 上的最小值。 這題是上面第三個坑。配方得 $y=(x-2)^2-1$，頂點 $x=2$ 落在區間內，所以最小值是 $-1$。但別急著交卷，順手算一下兩個端點：$x=0$ 時 $y=3$，$x=5$ 時 $y=25-20+3=8$。端點都比 $-1$ 大，所以最小值確實是 $-1$（最大值是 $8$，在端點上）。養成「頂點＋兩端點」都寫出來的習慣，這一類題目就不會出事。
翻出你手上任何一份二次函數的題目，挑三題，這次只做配方、只寫頂點，不要畫圖、不要解不等式。配完之後做一件小事：把 $x=h$ 代回原式，看看算出來是不是 $k$。如果對不上，問題幾乎都在「$a$ 有沒有穿過括號」，回到上面的第一個坑看一遍。 如果你配出來的式子跟解答長得一樣、頂點卻不一樣，那通常不是配方錯，是平移方向或 $a$ 的正負被漏掉了，把那一題和你寫的式子丟給我，我們一起看是哪一步漏的。
