威威學長｜高中數學
$y=x^2-4x+3$。配方得 $(x-2)^2-1$，頂點 $(2,-1)$，所以最小值是 $-1$。這題每個人都會。 換一題：同一個函數，但限制 $3\le x\le5$。 如果你還是回答「最小值 $-1$」，那就錯了，因為 $x=2$ 根本不在 $3$ 到 $5$ 之間，你算的那個最低點不在允許的範圍裡。在 $3\le x\le5$ 上，函數一路往上爬，最小值發生在 $x=3$：$f(3)=9-12+3=0$。 同一個函數、同一條拋物線，只是換了範圍，答案就從 $-1$ 變成 $0$。這一節要處理的就是這件事：「頂點」是整條拋物線的極值，但題目常常只給你一段區間。
三種情形，先分清楚
限制 $x$ 在某個區間 $[p,q]$ 之後，對稱軸 $x=h$ 跟這個區間只有三種位置關係：
- $h$ 落在區間內（$p\le h\le q$）：頂點是候選人。
- $h$ 在區間左邊（$h<p$）：整段區間都在對稱軸右側，函數在那裡是單調的。
- $h$ 在區間右邊（$h>q$）：整段區間都在對稱軸左側，也是單調的。
後兩種的情況好處理：既然單調，極值一定落在兩個端點上，其中一個是最大、另一個是最小。 第一種稍微麻煩：頂點是其中一個極值，另一個極值在端點，但是哪一個端點要看。
👑 威威說重點：區間極值一定只會發生在兩種地方：區間的兩個端點，以及頂點（如果它在區間內）。所以最保險的做法就是這三個數字全部算出來，再比大小。
那個「哪個端點」的判斷
如果不想每次都算三個值，有一條快招：比較對稱軸跟區間中點的距離。 對稱軸是 $x=h$，區間中點是 $\dfrac{p+q}{2}$。拋物線對稱，所以離對稱軸越遠的點，函數值離極值越遠。
- $a>0$（開口朝上，頂點是最低點）：離對稱軸越遠 → 值越大。所以離得遠的那個端點是最大值。
- $a<0$（開口朝下）：反過來，離得遠的那個端點是最小值。
以 $y=x^2-4x+3$ 在 $[3,5]$ 上為例。對稱軸 $h=2$，中點 $4$。$h=2$ 在中點左邊，代表右端點 $5$ 離對稱軸較遠（距離 $3$）而左端點 $3$ 離得較近（距離 $1$）。$a>0$ 所以遠的那個大：最大值在 $x=5$，$f(5)=25-20+3=8$；最小值在 $x=3$，$f(3)=0$。 ⚠️ 學長的警告：這條快招很容易記反（「遠的大」還是「近的大」取決於 $a$ 的正負）。如果你考試時不確定，就老實算三個值 $f(p)$、$f(q)$、$f(h)$ 再比，慢三十秒，但不會錯。
用三個值把上面的例子全部驗一遍
回到原本的函數 $f(x)=x^2-4x+3$，$h=2$。 第一段，$0\le x\le5$：$h=2$ 在區間內。算三個值：$f(0)=3$、$f(2)=-1$、$f(5)=8$。最小值 $-1$、最大值 $8$。 第二段，$3\le x\le5$：$h=2$ 在區間外（左邊）。整段單調遞增，所以只需要看端點：$f(3)=0$、$f(5)=8$。最小值 $0$、最大值 $8$。 第三段，$-1\le x\le1$：$h=2$ 也在區間外（右邊）。整段單調遞減，端點：$f(-1)=1+4+3=8$、$f(1)=1-4+3=0$。最小值 $0$、最大值 $8$。 三段的最大值都是 $8$。這是巧合，因為 $8$ 是 $f(-1)$ 和 $f(5)$ 這兩個對稱點的值。$x=-1$ 與 $x=5$ 離對稱軸 $x=2$ 都是 $3$ 單位，所以值相同。這種對稱關係有時會讓題目看起來很怪，但它不是錯。
換一個方向：區間本身是未知的
有一種題目不給你區間，而是反過來問「在哪個區間上，函數的最小值會等於某個數」。例如 $f(x)=x^2-4x+3$ 在 $[k,k+1]$ 上的最小值是 $0$，求 $k$。 這種題目沒辦法治三個值硬比，因為區間會動。起手式是先想清楚 $f$ 的值：$f(x)=0$ 的解是 $x=1$ 與 $x=3$，而最低點在 $x=2$、值是 $-1$。 要讓「區間上的最小值」等於 $0$，這個區間就必須踩到 $x=1$ 或 $x=3$ 其中之一，而且不能踩到讓 $f$ 更小的地方，也就是不能包含 $x=2$。所以 $[k,k+1]$ 只能落在 $x=2$ 的左側或右側，並且剛好碰到 $1$ 或 $3$。
- 碰到 $1$：區間右端 $k+1=1$，得 $k=0$。此時區間是 $[0,1]$，$x=2$ 不在裡面，最小值是 $f(1)=0$ ✓
- 碰到 $3$：區間左端 $k=3$，得 $k=3$。此時區間是 $[3,4]$，最小值是 $f(3)=0$ ✓
這題看起來換了包裝，考的還是同一件事：頂點到底在不在區間裡。
換你動手
練習 1：$f(x)=x^2-6x+5$ 在 $1\le x\le4$ 上的最大值與最小值。 對稱軸 $h=-\dfrac{-6}{2}=3$，落在 $[1,4]$ 內。三個值：$f(1)=1-6+5=0$、$f(3)=9-18+5=-4$、$f(4)=16-24+5=-3$。最小值 $-4$（在 $x=3$）、最大值 $0$（在 $x=1$）。 順手用快招檢查：中點 $2.5$，$h=3$ 在中點右邊，所以左端點 $1$ 離對稱軸較遠。$a>0$ 所以遠的那個大 → 最大值在 $x=1$，對上了。 練習 2：$f(x)=-x^2+4x$ 在 $0\le x\le1$ 上的最大值與最小值。 對稱軸 $h=2$，在區間右邊。整段單調遞增（開口朝下的拋物線，在對稱軸左側是上升的）。端點：$f(0)=0$、$f(1)=-1+4=3$。最小值 $0$、最大值 $3$。 這裡注意「開口朝下」不會讓最大值變成頂點。頂點 $x=2$ 不在範圍裡，所以在 $[0,1]$ 上它只是一個遞增函數。 練習 3：$f(x)=x^2-2x+3$ 在 $2\le x\le4$ 上的最大值與最小值。 對稱軸 $h=1$，在區間左邊。整段單調遞增。端點：$f(2)=4-4+3=3$、$f(4)=16-8+3=11$。最小值 $3$、最大值 $11$。
翻出三題你課本上「二次函數在區間上的極值」，這次不要配方也不要畫圖，只做一件事：把對稱軸 $x=h$ 算出來，在旁邊寫下它跟 $[p,q]$ 的關係是「在裡面」「在左邊」還是「在右邊」。三題都標完，你會發現大部分題目根本不需要討論，只有「在裡面」那一種才要跟端點比。 如果你算出來的答案是「最小值在頂點」但頂點不在題目給的區間裡，那通常是把兩個不同的區間混在一起了。把題目跟你圈的區間丟給我，我們一起對一次。
