威威學長｜高二三角函數系列
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課本講到 $y=A\sin(\omega x+\varphi)+B$，標準動作是把四個參數的意義整理成一張表，然後直接跳進例題：「看圖，求 $\varphi$。」老實說，段考題照著那張表填，大部分時候真的會對😅。 可是你心裡是不是也卡過這幾題？為什麼同一條曲線，$A$ 寫正的也通、寫負的也通？為什麼圖形明明穿過中線，你算出來的 $\varphi$ 老師卻說「差了一個 $\pi$」？還有那個上下平移，什麼時候要加、加了又該加多少？🙃 今天我們就來聊這三個坑。它們有個共同點：都不會讓你的算式看起來很奇怪。 你會很順、很開心地一路算完，然後錯。所以這篇先把地雷標給你看。 先說一個真實場景。 前幾天有個同學傳了一張照片來。算式整整齊齊，$2\sin(2x+\varphi)$，往下解出 $\varphi=\dfrac{\pi}{6}$，然後被紅筆畫掉。他問我：「學長，我每一步都照著 SOP 走，為什麼答案是錯的？」 因為他踩到的不是計算錯，是三個沒人寫在標題上的坑。
一、$A$ 的正負，圖形根本沒告訴你
先把符號講清楚。$A$ 叫做振幅，意思是「這條波從中線算起，最高可以爬多高」；$\omega$ 管橫向的快慢；$\varphi$ 叫做相位，決定波形左右挪到哪裡；$B$ 是中線的高度。四個字母裡，$A$ 是最容易被誤會的一個。 看這兩條函數： $$y = 2\sin x \qquad \text{和} \qquad y = -2\sin(x+\pi)$$ 第二條拆開來：$\sin(x+\pi)=-\sin x$，所以 $-2\sin(x+\pi)=-2\cdot(-\sin x)=2\sin x$。 兩條是同一條。你把它們畫出來，連一個點都不會差😎。 這個結論有點反直覺：單看一張圖，你沒辦法確定 $A$ 是正是負。 圖形只告訴你「振幅」$|A|$（也就是 $A$ 拔掉正負號之後的大小），沒告訴你 $A$ 本人是誰。 👑 威威說重點： 圖形給你的是 $|A|$，不是 $A$。同一個波形，寫成 $A>0$ 或 $A<0$ 都畫得出來，只是只有其中一種會跟題目給的範圍條件相容。 那怎麼辦呢？🙃解法：先記一條當逃生梯的公式。 👑 黃金公式： $A\sin\theta=-A\sin(\theta\pm\pi)$。振幅變號，角度就補一個 $\pi$ 回去。 為什麼會這樣？在單位圓上（半徑 1、圓心在原點的那個圓），角度加 $\pi$ 等於把點轉到圓的正對面，$y$ 座標由正變負、由負變正。而 $\sin$ 讀的就是 $y$ 座標，所以 $\sin(\theta+\pi)=-\sin\theta$。反過來，你要把 $-\sin$ 換成 $+\sin$，就補一個 $\pi$ 進角度裡，兩個方向都通。（單位圓跟廣義角還沒很熟的，先看廣義角與單位圓定義；想從和角公式硬推也可以，見和角公式與差角公式。） 看出重點了嗎？選項之間的轉換只是在「換一件衣服」：係數變號、角度補 $\pi$，圖形一個點都沒動。 實戰上你有三條路可以挑： 對策①：預設 $A>0$。 波峰對應的角度就是 $\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$（$k$ 是整數，代表「多繞幾圈都算」）。95% 的題目會給範圍限制，像是 $|\varphi|<\pi$ 或 $0\le\varphi<2\pi$。出題老師的意思其實就是「我用 $A>0$ 的版本出題」，照著算就對。 對策②：四個選項全部長成負的。 例如每個選項都是 $-3\sin(2x+\cdots)$ 這種開頭。那就用黃金公式把整包改寫：外面係數變號，角度加一個 $\pi$。以 $y=2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)$ 為例： $$2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right) = -2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}+\pi\right) = -2\sin\left(x+\frac{7\pi}{6}\right)$$ 對策③：你堅持要用 $A<0$ 直接算下去，可以。 但外面的負號會把事情整個反過來：圖形上的波峰，對應的會是 $\sin$ 的最小值，所以角度要用 $\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi$，不是 $\dfrac{\pi}{2}$。 ⚠️ 學長的警告： 對策③不是不能用，是緊張的時候很容易手滑寫成 $\dfrac{\pi}{2}$。考試當下選一個版本貫徹到底（學長建議 $A>0$），不要算到一半換隊。
二、對稱中心有兩種：往上穿、往下穿
圖形跟中線的交點叫做對稱中心，它是波形「轉半圈會跟自己重合」的那個點。這些點對應的角度，一定是 $k\pi$。這句沒錯。問題是 $k$ 的奇偶，會決定圖形在那一瞬間是往上還是往下：
- $\theta=0,\ 2\pi,\ 4\pi$，偶數倍的 $\pi$ → 圖形由下往上穿過中線
- $\theta=\pi,\ 3\pi$，奇數倍的 $\pi$ → 圖形由上往下穿過中線
差別只是一個 $\pi$，但你的 $\varphi$ 就被這個 $\pi$ 決定了😅。波形穿過中線的那一瞬間，它正在往上爬還是往下溜，決定了你要挑哪一個 $k$。 回到那位同學的題目：圖形的波峰在 $\left(-\dfrac{\pi}{3},3\right)$、波谷在 $\left(\dfrac{\pi}{6},0\right)$，波谷剛好貼在 $x$ 軸上。 他的做法是：先找波峰和波谷的正中間 $x=-\dfrac{\pi}{12}$（這個點確實落在中線上），然後列式 $$2\cdot\left(-\frac{\pi}{12}\right)+\varphi=k\pi$$ 取 $k=0$，所以 $-\dfrac{\pi}{6}+\varphi=0$，得到 $\varphi=\dfrac{\pi}{6}$。 錯在哪？$x=-\dfrac{\pi}{12}$ 在波峰的右邊，圖形正從波峰往下走，所以這是往下穿，角度必須是 $-\pi$（或 $\pi$、$3\pi$），絕對不是 $0$： $$2\cdot\left(-\frac{\pi}{12}\right)+\varphi=-\pi \;\Longrightarrow\; -\frac{\pi}{6}+\varphi=-\pi \;\Longrightarrow\; \varphi=-\pi+\frac{\pi}{6}=-\frac{5\pi}{6}$$ 用他自己的答案反擊他。 把 $\varphi=\dfrac{\pi}{6}$ 代回波峰的位置 $x=-\dfrac{\pi}{3}$： $$\theta=2\left(-\frac{\pi}{3}\right)+\frac{\pi}{6}=-\frac{4\pi}{6}+\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{2}$$ $\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=-1$，所以 $y=B-A=\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}=0$。可是圖上那個點是波峰，高度應該是 3。他等於自己算出了一個「波谷」，卻說那是波峰，矛盾。（照他自己那個把中線當 0、振幅當 2 的版本，這一格會算出 $-2$，也是波谷。） 換正確的 $\varphi=-\dfrac{5\pi}{6}$ 走一遍三個點：
- $x=-\dfrac{\pi}{3}$：$\theta=-\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{5\pi}{6}=-\dfrac{4\pi}{6}-\dfrac{5\pi}{6}=-\dfrac{9\pi}{6}=-\dfrac{3\pi}{2}$，$\sin=1$，所以 $y=\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}=3$ ✓ 波峰
- $x=\dfrac{\pi}{6}$：$\theta=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac{2\pi}{6}-\dfrac{5\pi}{6}=-\dfrac{3\pi}{6}=-\dfrac{\pi}{2}$，$\sin=-1$，所以 $y=\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}=0$ ✓ 波谷
- $x=-\dfrac{\pi}{12}$：$\theta=-\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{5\pi}{6}=-\pi$，$\sin=0$，所以 $y=\dfrac{3}{2}$ ✓ 在中線上，而且是往下穿
三個點全中🙂。 那怎麼辦呢？🙃解法：以後求 $\varphi$，乖乖用波峰，不要用中線交點。
👑 學長的小抄 波峰的角度只有一種（$\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$）；中線交點有兩種（$2m\pi$ 跟 $(2m+1)\pi$）。挑錯就多一個 $\pi$。 如果非得用中線交點，記得先問一句「往上還是往下」。最快的判斷法是看那個角度的 $\cos$：$\cos(0)=1$、$\cos(2\pi)=1$（偶數倍的 $\pi$ 都是 1），圖形正在上升；$\cos(\pi)=-1$、$\cos(3\pi)=-1$（奇數倍都是 $-1$），圖形正在下降。與其死背「上穿下穿」，不如直接看 $\cos$ 的正負。
三、上下平移最容易忘
那位同學還有一個更早的坑。他一開始寫 $y=2\sin(2x+\varphi)$，把中線當成 $y=0$。可是圖上最高點是 3，最低點剛好貼著 $x$ 軸（$y=0$）。 中線不是 0，它是最高和最低的正中間： $$B=\frac{3+0}{2}=\frac{3}{2}, \qquad A=\frac{3-0}{2}=\frac{3}{2}$$ 所以整個式子後面要掛一條 $+\dfrac{3}{2}$。忘了它，$A$ 跟 $B$ 會同時錯，而且錯誤一路傳染到你所有的驗算，你會發現每個點都差一點點，然後開始懷疑人生😔。 ⚠️ 學長的警告： 圖形的最低點碰到 $x$ 軸，不代表中線就是 $x$ 軸。它只代表這條波的「波谷高度」剛好是 0。這是新手最常犯的視覺誤判。 判斷中線的方法：拿尺在圖上畫三條水平線：最高點一條、最低點一條，然後在正中間畫第三條。第三條就是中線，它的 $y$ 值就是 $B$。這個動作花你五秒，省你十分鐘。 簡單的說：$B$ 是中線的高度，$A$ 是從中線量到波峰的距離。兩個都要，一個都不能少。
四、附帶一提：講義的條件也可能是錯的
那題的講義寫「$|\varphi|<\dfrac{\pi}{2}$」，但正確答案是 $\varphi=-\dfrac{5\pi}{6}$，絕對值 $\dfrac{5\pi}{6}$ 比 $\dfrac{\pi}{2}$ 大。這兩個敘述不可能同時對（順帶一提，這類絕對值不等式的處理方式，可以複習絕對值不等式）。 參考書、講義的條件抄錯、答案印錯，是常態，尤其是改編題。我的建議是：發現矛盾的時候，先回去把圖上的座標一個一個重新讀一遍（這種小字最常看錯）；確認自己讀對了，就大方接受講義印錯，別花二十分鐘在那裡自我懷疑🙂。 順帶說一件有趣的事。這種「把波形拆成四個參數」的語言，後來被傅立葉（Joseph Fourier）玩到極致，他發現任何週期性的訊號，不管長得多怪，都能拆成一堆正弦波疊加起來。你今天算的 $A$、$\omega$、$\varphi$、$B$，就是他那個世界裡的樂高積木。所以這四個字母不是出題老師發明出來整你的😁。
🌰 範例解析
範例 1（陷阱一）：下列哪些函數的圖形與 $y=2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{5}\right)$ 完全相同？ (A) $y=-2\sin\left(x+\dfrac{6\pi}{5}\right)$ (B) $y=2\sin\left(x-\dfrac{\pi}{5}\right)$ (C) $y=-2\sin\left(x+\dfrac{11\pi}{5}\right)$ (D) $y=2\sin\left(x+\dfrac{11\pi}{5}\right)$ (B) 角度差一個負號，圖形左右不同，刪。(A)：$-2\sin\left(x+\dfrac{6\pi}{5}\right)=-2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{5}+\pi\right)=2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{5}\right)$ ✓。(C)：$\dfrac{11\pi}{5}=\dfrac{\pi}{5}+2\pi$，但外面係數是負的，$-2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{5}+2\pi\right)=-2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{5}\right)$，是原圖的上下翻轉，刪。(D)：$2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{5}+2\pi\right)=2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{5}\right)$ ✓。答 (A)(D)。
- 學長邏輯：「圖形完全相同」只有兩招：角度差 $\pi$ 配係數變號（等於轉半圈），或是角度差 $2\pi$（繞一整圈回到原點）。(C) 湊了 $2\pi$ 卻沒注意到外面的負號，是標準的陷阱選項。記牢這個對比：湊到 $\pi$ 要變號，湊到 $2\pi$ 不用變。
範例 2（陷阱二）：函數 $y=3\sin(2x+\varphi)+1$ 的圖形在 $x=\dfrac{\pi}{3}$ 處由上往下穿過中線 $y=1$，且 $0\le\varphi<2\pi$，求 $\varphi$。 「由上往下穿」→ 角度是奇數倍的 $\pi$：$2\cdot\dfrac{\pi}{3}+\varphi=\pi$，所以 $\varphi=\pi-\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}$。驗算：$\theta=\dfrac{2\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}=\pi$，$\sin\pi=0$ 所以 $y=1$ ✓ 落在中線上；而且 $\sin$ 在 $\pi$ 附近是遞減的（$\cos\pi=-1<0$），確實由上往下穿 ✓
- 學長邏輯：這題的鑰匙字是「由上往下」。同樣一個交點，換成「由下往上」，答案就得改成 $0$ 或 $2\pi$ 開頭，$\varphi$ 會變成 $\dfrac{4\pi}{3}$。同一格位置，兩個完全不同的答案。這就是對稱中心這麼容易出事的原因。
範例 3（陷阱三）：某函數圖形最高點 $y=5$、最低點 $y=-1$，最高點發生在 $x=-\dfrac{\pi}{6}$、最低點發生在 $x=\dfrac{\pi}{3}$，求方程式。 $B=\dfrac{5+(-1)}{2}=2$；$A=\dfrac{5-(-1)}{2}=3$；半週期 $=\dfrac{\pi}{3}-\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{2\pi}{6}+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}$，所以 $T=\pi$（波形重複一次要跑的長度），$\omega=2$；波峰 $x=-\dfrac{\pi}{6}$：$2\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+\varphi=\dfrac{\pi}{2}$，$-\dfrac{\pi}{3}+\varphi=\dfrac{\pi}{2}$，$\varphi=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{5\pi}{6}$。 $$y=3\sin\left(2x+\frac{5\pi}{6}\right)+2$$ 驗算最低點 $x=\dfrac{\pi}{3}$：$\dfrac{2\pi}{3}+\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac{4\pi}{6}+\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac{9\pi}{6}=\dfrac{3\pi}{2}$，$\sin=-1$，$y=-3+2=-1$ ✓
- 學長邏輯：$B=2$ 是中線的高度，不是 0。「最低點 $y=-1$」跟「最低點在 $x$ 軸上」是兩件完全不同的事：前者告訴你中線在 $-1$ 上方 3 格，後者告訴你中線在 0 上方 $A$ 格。還要小心一件事：$\dfrac{\pi}{2}$ 是半週期（波峰到波谷的橫向距離），不是週期，別順手把 $T$ 寫成 $\dfrac{\pi}{2}$。
🔍 即時小測
- 下列哪個函數與 $y=4\sin x$ 的圖形相同？(A) $y=-4\sin(x+\pi)$ (B) $y=4\sin(x+\pi)$ (C) $y=-4\sin(x-\pi)$
- 函數 $y=-3\sin(2x+\varphi)$（$0\le\varphi<2\pi$）的圖形波峰在 $x=\dfrac{\pi}{4}$，求 $\varphi$。
- 函數 $y=3\sin(3x+\varphi)+1$ 的圖形在 $x=\dfrac{\pi}{6}$ 由下往上穿過中線，且 $0\le\varphi<2\pi$，求 $\varphi$。
- 某圖形最高點 $y=7$、最低點 $y=1$，求中線 $B$ 與振幅 $A$。
- 判斷對錯：「圖形的最低點剛好碰到 $x$ 軸，所以這條波的中線是 $x$ 軸。」
- 某圖形波峰 $\left(-\dfrac{\pi}{3},3\right)$、波谷 $\left(\dfrac{\pi}{6},0\right)$，求 $\omega$ 與 $\varphi$。
- 函數 $y=2\sin(4x+\varphi)$ 的圖形在 $x=\dfrac{\pi}{8}$ 處由上往下穿過中線，此時 $4x+\varphi$ 應該是哪一種角？用 $\cos$ 說明。
📖 詳解：
- (A)、(C)。(A)：$-4\sin(x+\pi)=-4(-\sin x)=4\sin x$ ✓。(C)：$\sin(x-\pi)=\sin x\cos\pi-\cos x\sin\pi=-\sin x$，所以 $-4\sin(x-\pi)=4\sin x$ ✓。(B)：$4\sin(x+\pi)=-4\sin x$，圖形上下相反，不算相同。
- 波峰高度 3，要求 $\sin(2x+\varphi)=-1$：$2\cdot\dfrac{\pi}{4}+\varphi=\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi$，$\dfrac{\pi}{2}+\varphi=\dfrac{3\pi}{2}$，$\varphi=\pi$ ✓（$0\le\varphi<2\pi$ 也合格）。驗算：$\theta=\dfrac{\pi}{2}+\pi=\dfrac{3\pi}{2}$，$y=-3(-1)=3$ ✓
- 「由下往上穿」→ 角度是偶數倍的 $\pi$，取 $2\pi$：$3\cdot\dfrac{\pi}{6}+\varphi=2\pi$，$\dfrac{\pi}{2}+\varphi=2\pi$，$\varphi=\dfrac{3\pi}{2}$。驗算：$\theta=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{3\pi}{2}=2\pi$，$\sin=0$ 所以 $y=1$ ✓；$\cos 2\pi=1>0$，遞增，確實由下往上穿 ✓
- $B=\dfrac{7+1}{2}=4$；$A=\dfrac{7-1}{2}=3$。
- 錯。最低點碰到 $x$ 軸只代表最低值是 0，中線在它上方 $A$ 格的地方。例如最高 6、最低 0，中線是 $y=3$，不是 $y=0$。
- 半週期 $=\dfrac{\pi}{6}-\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}$，所以 $T=\pi$，$\omega=2$；$B=A=\dfrac{3}{2}$；波峰：$2\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)+\varphi=\dfrac{\pi}{2}$，$-\dfrac{2\pi}{3}+\varphi=\dfrac{\pi}{2}$，$\varphi=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{3\pi}{6}+\dfrac{4\pi}{6}=\dfrac{7\pi}{6}$，也就是 $-\dfrac{5\pi}{6}$。
- 奇數倍的 $\pi$（$\pi$、$3\pi$、$-\pi$ 都行）。理由：$\sin$ 的值要等於 0（穿過中線），角度只能是 $k\pi$；而 $\cos$ 負責判斷上升或下降，$\cos(\text{奇數倍 }\pi)=-1<0$，圖形在下降，所以是「由上往下穿」。本題若取 $\varphi$ 在 $[0,2\pi)$，則 $4\cdot\dfrac{\pi}{8}+\varphi=\pi$ 給 $\varphi=\dfrac{\pi}{2}$（驗算：$\theta=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}=\pi$，$\sin=0$、$\cos=-1$，往下穿 ✓）。
