威威學長｜高中數學
$8\times4=32$，這題當然不用對數也算得出來。先把這三個數換個寫法：$8=2^3$、$4=2^2$、$32=2^5$。原本的乘法就變成
$$2^3\cdot2^2=2^{3+2}=2^5.$$
底數一直是 $2$，指數則從 $3$、$2$ 加成 $5$。對數把注意力放在這些指數上：$\log_2 8=3$，讀成「$2$ 要取幾次方才得到 $8$？」
所以 $\log_2 8+\log_2 4=\log_2 32$。這個加號有來歷，先記住眼前的 $3+2=5$，等等看一般式就不會只剩符號🙂
定義旁邊的條件也要讀
對數的定義是
$$\log_a b=c\quad\Longleftrightarrow\quad a^c=b.$$
$a$ 叫底數，$b$ 叫真數，也可叫引數；$c$ 是要找的指數。在這篇談的實數對數裡，條件是 $a>0$、$a\ne1$，以及 $b>0$。
$a=1$ 很容易檢查：不管 $c$ 取多少，$1^c$ 都是 $1$。你無法從輸出反推唯一的指數，所以它不能拿來當對數底數。
當 $a>0$，$a^c$ 對每個實數 $c$ 都是正數，這就解釋了 $b>0$。像 $\log_2(x-3)$，開始算之前先寫 $x-3>0$，也就是 $x>3$。這一步和做根號不等式時先圈定義域很像。
底數為什麼要求正數？我們要的是一個能接受每個實數指數、又保留指數律的實值函數。負底數做不到這件事：$(-2)^3$ 可以算，$(-2)^{1/2}$ 卻沒有實數值。能做某些次方，不代表所有實數次方都有定義。
負底數會在哪一步出問題
試著把平常熟悉的規則一路套下去：
$$-1=(-1)^1=(-1)^{2/2}\stackrel{?}{=}\bigl((-1)^2\bigr)^{1/2}=1.$$
前面的 $2/2=1$ 沒問題。問號那一步把「先取二次方，再開根號」當成什麼都沒做，才把答案弄反了。先平方成 $1$ 後，平方根主值取的是正的 $1$，不會替你記住原來選了 $-1$。
這個例子指出：$(a^m)^n=a^{mn}$ 不能不帶條件地套在負底數與任意分數指數上。它沒有證明負數的每一種次方都不能算，也沒有推翻在正底數下成立的指數律😅
把範圍擴到複數後，可以定義更多次方，但必須處理取哪個值、選哪個角度的問題。這裡先留在正底數的實數世界，把合法範圍內的規則用穩。
乘法、除法與次方的對數
以下都假設 $a>0$、$a\ne1$，而 $M,N>0$。令 $m=\log_a M$、$n=\log_a N$，也就是 $M=a^m$、$N=a^n$。由指數律，
$$MN=a^ma^n=a^{m+n}.$$
把它翻回對數：
$$\log_a(MN)=m+n=\log_a M+\log_a N.$$
同樣地，$M/N=a^{m-n}$，所以
$$\log_a\frac MN=\log_a M-\log_a N.$$
若 $t$ 是實數，$M^t=(a^m)^t=a^{mt}$，因此
$$\log_a(M^t)=t\log_a M.$$
這三條都從指數律來。想不起來時，可以先用 $M=a^m$、$N=a^n$ 換回去，看指數在做什麼。
⚠️ 學長的警告：$\log_a(M+N)$ 不能拆成 $\log_a M+\log_a N$。開頭的加號來自「真數相乘」，不是看到括號就能分配。
例如 $\log_2(8+4)=\log_2 12$，而 $\log_2 8+\log_2 4=5$；$2^5=32$，明明和 $12$ 不同。拿一組小數字代進去，就能攔下這個誤用。
零次方、負次方與分數次方
我們仍取 $a>0$。正整數次方可以從連乘開始：$a^3a^2$ 一共是五個 $a$ 相乘，所以等於 $a^5$。
如果要把 $a^ma^n=a^{m+n}$ 延伸到指數 $0$，就得有 $a^3a^0=a^3$。因為 $a^3\ne0$，約掉後只剩 $a^0=1$。這一步不能拿去替 $0^0$ 定義值。
負次方也可以這樣看。$a^3a^{-3}=a^0=1$，所以 $a^{-3}=1/a^3$。一般寫成
$$a^{-n}=\frac1{a^n}.$$
分數指數多一個選擇：我們要求正底數的實數次方仍為正。由 $(a^{1/2})^2=a$，就選正平方根，得到 $a^{1/2}=\sqrt a$。只靠「平方等於 $a$」，還有負平方根；正值的要求也在定義裡。
這樣一路延伸，指數從正整數走到零、負整數、有理數，原來的規律才接得上。要延伸到無理數指數，還需要極限或等價的定義，不能把「相乘幾次」照字面讀下去。
換底公式，讓計算機幫得上忙
要算 $\log_2 5$，計算機上卻只有 $\log$、$\ln$，就可以換底。其中 $\log$ 在這裡表示底數 $10$，$\ln$ 表示底數 $e$ 的自然對數。
令 $y=\log_a b$，所以 $a^y=b$。取另一個合法底數 $c>0$、$c\ne1$，兩邊取對數：
$$\log_c(a^y)=\log_c b\quad\Longrightarrow\quad y\log_c a=\log_c b.$$
因為 $a\ne1$，$\log_c a\ne0$，可以除過去：
$$\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}.$$
因此 $\log_2 5=\log5/\log2$，也等於 $\ln5/\ln2$。分子分母要選同一個底數，不能上面按 $\log$、下面按 $\ln$，再怪計算機答案不一樣🙃
把相乘的倍數放到刻度上
對數也能拿來處理跨度很大的數值。當正數每次乘上 $10$，它的常用對數每次就增加 $1$：$1,10,100,1000$ 對應 $0,1,2,3$。畫在對數刻度上，這幾次等比例增長會隔著一樣的距離。
地震規模、分貝、酸鹼值都涉及對數，但各自的係數與方向不同。不能一律把「刻度加 $1$」解讀成「能量變十倍」。先看該尺度的定義，再用對數律換回實際的比例。
反函數畫成圖，會關於直線對稱
$y=a^x$ 和 $y=\log_a x$ 互為反函數，意思是把輸入、輸出對調。$a^p=q$ 等價於 $\log_a q=p$，所以指數圖上的 $(p,q)$ 會對應到對數圖上的 $(q,p)$。
在座標平面上，交換兩個座標就是對直線 $y=x$ 鏡射。兩條曲線因此關於 $y=x$ 對稱；如果 $(p,q)$ 同時在兩條曲線上，那 $(q,p)$ 也會是共同交點。
這只說明交點的對稱性，還沒有數出交點。點可能落在 $y=x$ 上，也可能在直線兩側成對出現。隨底數改變，交點數可以是 $0,1,2,3$；指數與對數的交點個數會把不同底數的情況分開看。
換你動手
1. 求 $\log_2 8+\log_2 4$
兩項分別是 $3$ 和 $2$，和為 $5$。也可以合成 $\log_2(8\cdot4)=\log_2 32=5$，檢查一次乘法律。
2. 解 $3^x=20$
兩邊取常用對數，$x\log3=\log20$，所以
$$x=\frac{\log20}{\log3}\approx2.73.$$
先驗範圍：$3^2=9$、$3^3=27$，答案在 $2$ 和 $3$ 之間，方向對了。
3. 已知 $\log2\approx0.3010$、$\log3\approx0.4771$，求 $\log12$ 的近似值
$12=2^2\cdot3$，因此
$$\log12=2\log2+\log3\approx2(0.3010)+0.4771=1.0791.$$
題目給的小數已經捨入，所以這裡也用近似等號。$12$ 在 $10$ 與 $100$ 之間，對數在 $1$ 和 $2$ 之間，可以再檢查一次。
4. 不查公式，解釋 $5^0$ 和 $7^{-2}$
要求 $5^3\cdot5^0=5^3$，而 $5^3\ne0$，所以 $5^0=1$。要求 $7^2\cdot7^{-2}=7^0=1$，所以 $7^{-2}=1/49$。
如果你只寫「公式就是這樣」，再補上為什麼必須選那個值。這個小推導，正好檢查你有沒有把指數律和定義接起來🙂
挑一題你正在解的對數方程式，先圈底數和真數，寫出它們的限制，再開始換底或合併。算完把每個候選解代回限制：哪些能留下，哪些根本不在原式的定義域？
