威威學長｜高中數學
把計算機切到弧度模式，輸入 $\sin 0.1$，螢幕會吐出一串數字：$0.099833\ldots$。這個動作你按過幾百次，快得像是理所當然，但整件事其實有點離奇：計算機的電路不認識「對邊除以斜邊」，它手上只有加減乘除和比較大小。真正跑進處理器裡的，是把 $\sin$ 換成一串加減乘除。
這裡先用泰勒展開理解多項式近似。真實的計算機或函式庫可能採取不同演算法，也可能先把角度縮到較小的範圍，再用控制過誤差的多項式計算；不能把接下來的推導當成每一台計算機內部都照做的程式。
離奇的地方在於 $\sin x$ 的長相完全不像多項式。$\sin x$ 週而復始，值永遠被夾在 $-1$ 與 $1$ 之間，怎麼加都跑不出去；一條非零次的多項式不可能這樣，$x$ 一大它就爆走。這兩種函數看起來是不同物種，一個會繞圈，一個只會一路衝。
泰勒的方法先要求多項式在選定的點附近接近原函數。算 $\sin0.1$ 時，展開中心放在 $0$ 就很方便；不用為了這一個值，逼多項式在整條實軸都長得像正弦😎
為什麼多項式可以假裝別的函數
多項式的優點很實際：算值只要乘與加，微分積分都是同一套規則，程式寫起來也短。它的缺點同樣實際，行為太溫和，做不出週期，也做不出在某一點附近突然爆掉的樣子。
讓多項式在一個點附近「像」，有好幾種定義可以挑，泰勒的選擇是把各階導數全部對齊。這個選擇有道理：值決定圖形的高度，一階導數決定傾斜，二階導數決定彎曲，這三樣東西全部來自同一點附近的資訊，所以它們是可以在單一個點上被檢查、被複製的。
對齊這件事為什麼有用，用兩台車想最快。兩台車從同一個位置出發，初速相同、加速度也相同，出發後的短時間內，兩台車的距離幾乎是零，因為它們的狀態一模一樣。泰勒多項式就是那台「狀態完全複製」的車：位置、速度、加速度、加速度的變化率，一階一階複製下去。距離拉長就會分家，因為多項式沒有真的複製無限多階。
展開中心是 $a$，多項式先在附近給出近似。要不要加項、要不要換中心，要看誤差；不能保證離 $a$ 越遠誤差就單調增加，也不能只憑「可微很多次」就斷言無窮級數一定等於原函數。
每一項各修掉一種誤差
多項式一項一項加上去的過程，很像修圖：每一項都在修上一版留下的那一種誤差。
- 常數項先把高度對準：要求 $p(a)=f(a)$，所以常數項是 $f(a)$。這一版是一條水平線。
- 一次項再加 $f'(a)(x-a)$，把斜率對準。修完之後你得到的是 $f(a)+f'(a)(x-a)$，也就是切線，這條你在單變數裡已經認識：它是 $f$ 在 $a$ 附近的線性近似。
- 二次項再加 $\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2$，把彎曲程度對準，切線是直的、原函數多半在彎，這一項負責補上那個彎。
二次項除的 $2$、三次項除的 $6$，是為了抵銷反覆微分冒出來的階乘。$x^3$ 微分三次剩下 $6$，所以要讓三次項的三階導數等於 $f'''(a)$，係數得除以 $6$。一般項除以 $n!$ 也是同一個原因；$n!$ 是 $n(n-1)\cdots1$，並約定 $0!=1$。
這些係數也是唯一的：次數高於 $n$ 的項，微分 $n$ 次後代 $x=a$ 仍為零；次數低於 $n$ 的項則已消失，所以第 $n$ 階導數只決定第 $n$ 項的係數。有限次的結果叫泰勒多項式 $p_n$，它近似 $f$。若繼續加項，而且餘項 $f(x)-p_n(x)$ 確實趨近 $0$，才能把下式寫成等號：
$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$
符號拆開看：$f^{(n)}$ 代表 $f$ 的第 $n$ 階導數（括號是為了不要跟次方混淆，$f^{(0)}$ 就是 $f$ 自己），$f^{(n)}(a)$ 是那一階導數在 $a$ 的值，$\sum$ 表示把每一項加起來。把 $a$ 選在 $0$，式子會乾淨很多，這個特例叫做麥克勞林展開：
$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$
泰勒展開以 Brook Taylor 命名，$a=0$ 的特例則以 Colin Maclaurin 命名。換名字沒有多一套算法，只是把展開中心選在 $0$。
把 $e^x$ 在 $0$ 附近的版本排出來：$p_0(x)=1$、$p_1(x)=1+x$、$p_2(x)=1+x+x^2/2$。代 $x=0.5$，分別得到 $1$、$1.5$、$1.625$，而 $e^{0.5}\approx1.648721$，三個誤差約為 $0.648721$、$0.148721$、$0.023721$。
這個例子確實越加越準，但我們不必靠「看起來差不多」來猜。下面的餘項會告訴你怎麼替誤差畫出範圍。
四個展開，前幾項就夠用
$e^x$。$e^x$ 是最省事的例子，因為它的每一階導數都還是 $e^x$ 自己，在 $x=0$ 的值全部等於 $1$：
$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$$
這條式子對所有實數都成立，代入 $x=1$ 得 $e=1+1+\frac12+\frac16+\cdots$。分母的階乘越來越大，後面的項很快就變小。
$\sin x$ 與 $\cos x$。這兩個的導數會循環：$\sin$ 微分得 $\cos$，$\cos$ 微分得 $-\sin$，再來是 $-\cos$、回到 $\sin$。把各階導數在 $0$ 的值排出來會看到 $0,1,0,-1$ 一直輪，所以 $\sin$ 的偶數次項全部變成零：
$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$$
$\cos$ 的循環從 $1$ 開始，換成奇數次項消失：
$$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots$$
順手做個檢查：把 $\sin$ 的展開逐項微分，$x$ 給 $1$、$-\frac{x^3}{6}$ 給 $-\frac{x^2}{2}$、$\frac{x^5}{120}$ 給 $\frac{x^4}{24}$，拼起來正好是 $\cos$ 的展開。這種便宜的一致性檢查，比重新推一次快得多。
$\frac{1}{1-x}$。這一條不需要算任何導數，它就是等比級數的和：
$$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots,\qquad |x|<1$$
國中學過的部分和公式 $\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$ 在這裡派上用場：當 $|x|<1$，$x^{n+1}$ 會趨近 $0$，剩下的就是 $\frac{1}{1-x}$。那個 $|x|<1$ 的條件不能省，硬代 $x=2$ 進去，左邊是 $1+2+4+8+\cdots$ 一路衝到無窮，右邊卻是 $\frac{1}{-1}=-1$，兩邊擺在一起就知道有人亂來。🙃
上面幾個級數，在各自有效的範圍內確實等於原函數；取有限項才有截斷誤差。令 $R_n(x)=f(x)-p_n(x)$，表示取到 $n$ 次項後還差多少。若 $f$ 在包含 $a,x$ 的區間上有連續的 $n+1$ 階導數，拉格朗日餘項可寫成
$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1},$$
其中 $c$ 介於 $a$ 和 $x$ 之間。只要估得出那一階導數的大小，就能估誤差。正負交錯的級數還有另一個方法：若省略部分的各項絕對值遞減並趨近 $0$，誤差不超過第一個省略項的絕對值。光有正負交錯，還不夠。
小角度近似：課本公式的來源與它的邊界
把 $\sin$ 的展開留第一項、$\cos$ 的展開留前兩項，就得到物理課和國中理化裡那些「憑空出現」的公式：
$$\sin x\approx x,\qquad \cos x\approx 1-\frac{x^2}{2}$$
前提是 $x$ 用弧度講，而且要夠小。$x$ 必須是弧度這件事沒有商量餘地，因為整條推導從頭到尾都在對 $x$ 微分，$x$ 是長度比，不是度數；$1^\circ$ 換成弧度大約是 $0.01745$（弧度量）。
拿 $x=0.1$ 試一次。$\sin 0.1$ 的真值是 $0.0998334\ldots$，用 $x$ 估計得 $0.1$，差了大約 $1.7\times10^{-4}$，而這個數字幾乎就是下一個被丟掉的項 $\frac{x^3}{6}=\frac{0.001}{6}=0.000167$。$\cos 0.1$ 的真值是 $0.9950042\ldots$，用 $1-\frac{x^2}{2}=0.995$ 估計，誤差約 $4\times10^{-6}$，對上被丟掉的 $\frac{x^4}{24}=0.00000417$。階乘和指數在這些數字裡咬得很緊，估誤差時甚至不需要計算機。
單擺是這條近似的經典舞台：重力把擺錘拉回來的分量正比於 $\sin\theta$，方程裡因此卡了一個 $\sin$，但只要擺角小，$\sin\theta\approx\theta$ 讓方程瞬間變成最單純的簡諧運動。這個動作有個很現代的說法：把非線性的東西在一個工作點附近換成多項式，然後只相信它在工作點附近講的話。
同一個近似拿去算 $x=1$ 弧度（約 $57.3^\circ$），$\sin1\approx0.8415$，用 $1$ 估的絕對誤差約 $0.1585$；若以真值為分母，相對誤差約 $18.8\%$。$\cos1\approx0.5403$，用 $0.5$ 估則差約 $0.0403$。誤差要不要緊，得看你的用途，不能只記「角度小就可以」😅
換你動手
練習 1：寫出 $e^x$ 在 $a=0$ 的前四個非零項，並用它估計 $e^{0.1}$。
前四個非零項是 $1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}$。代入 $x=0.1$：$1+0.1+0.005+0.0001667=1.1051667$。計算機給的 $e^{0.1}=1.1051709\ldots$，兩者差了大約 $4\times10^{-6}$，剛好是下一個被丟掉的項 $\frac{x^4}{24}=4.17\times10^{-6}$ 的量級。四項就能對到小數第五位，這也是為什麼程式庫裡的多項式近似可以又快又準。
練習 2：用 $\cos x\approx1-\frac{x^2}{2}$ 估計 $\cos 0.2$，並用下一項說出誤差的上界。
代進去得 $1-\frac{0.04}{2}=0.98$。$\cos$ 的展開正負交錯，而且 $x=0.2$ 時每一項都比前一項小得多，所以真值被夾在相鄰兩個部分和之間：下界是 $0.98$，上界是 $0.98+\frac{x^4}{24}=0.98+0.0000667=0.9800667$。計算機的答案 $0.9800666$ 落在裡面，誤差不超過 $6.7\times10^{-5}$，而這個範圍在真值還沒算出來之前就能講定。
練習 3：取 $\frac{1}{1-x}$ 的展開前四項，估計 $\frac{1}{1-0.5}$，並與真值比較誤差。
前四項是 $1+0.5+0.25+0.125=1.875$，真值是 $\frac{1}{0.5}=2$，誤差 $0.125$。想更準就多取一項 $x^4=0.0625$，得到 $1.9375$，誤差縮到 $0.0625$：每多一項誤差就乘上 $x=0.5$，因為被丟掉的尾巴正好是 $\frac{x^{n+1}}{1-x}$ 這種等比數列。這裡也順便看出 $|x|<1$ 的角色，$x$ 小的時候尾巴短、收斂快，$x$ 逼近 $1$ 的時候要多算很多項才夠，而 $x$ 一旦超過 $1$，再多項也沒用。
拿計算機比較 $\sin0.1$、$\sin0.2$、$\sin0.5$，旁邊寫下用 $x-x^3/6$ 算出的值，再把兩欄相減。不要只看哪個角度比較大：先決定你要準到小數第幾位，再看誤差是否已經小到夠用。
如果某一項的係數你算出來跟課本差一個階乘，通常是微分少做了一次、或是階乘多寫了一個數字。把你的算式貼給我，我們一起抓那一處。
