威威學長｜高中數學
$\sin^2\theta=\dfrac{1-\cos 2\theta}{2}$。 第一次看到這個式子的人通常有兩個反應。第一個是「為什麼右邊冒出了一個 $2\theta$」；第二個是「左邊明明比較短，幹嘛換成右邊那麼長」。 第二個問題問得很好，因為它其實是整套三角函數裡最實際的一件事：次方和兩倍角是可以互換的，而且是同一個恆等式的兩個方向。 什麼時候換、換哪一邊，取決於你接下來要做什麼。
二倍角公式先出來
二倍角公式不是新的，它是和角公式取 $A=B=\theta$ 的結果： $$\sin 2\theta=\sin(\theta+\theta)=\sin\theta\cos\theta+\cos\theta\sin\theta=2\sin\theta\cos\theta$$ $$\cos 2\theta=\cos(\theta+\theta)=\cos\theta\cos\theta-\sin\theta\sin\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$$ $\cos$ 的這一條之所以有三種長相，是因為可以用 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ 把其中一個平方換掉： $$\cos 2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1=1-2\sin^2\theta$$ 三個版本是同一個東西，但用的時候要挑。挑的原則很簡單：你想留下 $\sin$ 就用有 $\sin$ 的那個，想留下 $\cos$ 就用有 $\cos$ 的那個，想兩個都留就用第一個。
👑 威威說重點：$\cos 2\theta$ 的三種寫法不是三個公式，是一個公式的三件衣服。選哪件，看你想讓最後的式子裡剩下誰。
把其中兩條移項，就是降次公式
看 $\cos 2\theta=1-2\sin^2\theta$。這條式子的左邊是 $2\theta$，右邊有 $\sin^2\theta$。把 $\sin^2\theta$ 解出來： $$\sin^2\theta=\frac{1-\cos 2\theta}{2}$$ 同樣地，從 $\cos 2\theta=2\cos^2\theta-1$ 可以得到 $$\cos^2\theta=\frac{1+\cos 2\theta}{2}$$ 這兩條就是降次公式。名字來自它的效果：次方從 $2$ 次降到 $1$ 次，代價是角度從 $\theta$ 變成 $2\theta$。 所以那個「為什麼右邊多一個 $2\theta$」的疑問，答案是：那個 $2\theta$ 是買門票的錢。你想讓平方消失，就得付出一倍的角度。
為什麼要降次：一個具體的場合
拿 $\sin^2 x$ 的週期來看。 如果你從圖形入手，$\sin x$ 的週期是 $2\pi$，但 $\sin^2 x$ 的圖形每一段都在 $x$ 軸上方，原本在 $x$ 軸下方的半個波被翻上來了。翻上來之後，波峰之間只隔 $\pi$。所以週期是 $\pi$，不是 $2\pi$。 但「從圖形看」不算證明，考試也不給你畫圖。用降次公式就一句話： $$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}$$ 右邊是一個常數減掉 $\cos 2x$，而 $\cos 2x$ 的週期是 $\dfrac{2\pi}{2}=\pi$。加常數、乘 $\dfrac12$ 都不改變週期，所以 $\sin^2 x$ 的週期是 $\pi$。 ⚠️ 學長的警告：這裡的重點是記住平方會讓週期減半這件事有公式可以推，不是死記 $\sin^2x$ 的週期是 $\pi$。同樣的手法可以處理 $\cos^2x$、$\sin^4x$、$\sin^2x\cos^2x$，後兩者要先降兩次。課綱沒把這些寫成條目，但題目會考，因為它只需要一條課綱內的公式。
順便說說另一邊：升次
同一個恆等式，只看反方向就是升次：把 $\sin^2\theta$ 換成 $\dfrac{1-\cos2\theta}{2}$ 是降次；反過來把 $\cos 2\theta$ 換成 $2\cos^2\theta-1$ 就是升次。 什麼時候需要升次？當式子裡有多個不同的角度、你想把它們統一。例如 $\cos2\theta$ 跟 $\cos\theta$ 混在一條方程式裡，兩個角度不同不好處理；換成 $2\cos^2\theta-1$ 之後，整條只剩下 $\theta$，就變成一個二次方程式了。 所以這條恆等式真正的價值是：讓你在「統一次方」和「統一角度」之間選一個。兩個不能同時要，但你可以選對自己有利的那個。
換你動手
練習 1：已知 $\sin\theta=\dfrac35$，且 $\theta$ 在第二象限，求 $\sin 2\theta$。 要用 $\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$，需要先求 $\cos\theta$。第二象限的 $\cos$ 是負的，由 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ 得 $\cos^2\theta=1-\dfrac9{25}=\dfrac{16}{25}$，所以 $\cos\theta=-\dfrac45$。 $$\sin 2\theta=2\cdot\frac35\cdot\left(-\frac45\right)=-\frac{24}{25}$$ 順手檢查一下符號合不合理：$\theta$ 在第二象限，那 $2\theta$ 大概在第三或第四象限，$\sin$ 應該是負的 ✓ 練習 2：求 $\cos^2\dfrac{\pi}{8}$ 的精確值。 用降次：$\cos^2\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{1+\cos\left(2\cdot\frac{\pi}{8}\right)}{2}=\dfrac{1+\cos\frac{\pi}{4}}{2}$。而 $\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}$，所以 $$\cos^2\frac{\pi}{8}=\frac{1+\frac{\sqrt2}{2}}{2}=\frac{2+\sqrt2}{4}$$ 為什麼挑 $\cos$ 的版本？因為題目問的是 $\cos^2$，用 $\cos$ 的降次公式會直接留下 $\cos$，不必再換。 練習 3：化簡 $\sin^2x-\cos^2x$。 把兩項提出一個負號：$\sin^2x-\cos^2x=-(\cos^2x-\sin^2x)$。括號裡正好是 $\cos 2x$ 的第一種寫法，所以答案是 $-\cos2x$。 這題也可以用降次硬做：$\dfrac{1-\cos2x}{2}-\dfrac{1+\cos2x}{2}=\dfrac{-2\cos2x}{2}=-\cos2x$。兩條路都通，但第二條多繞了三步，先看式子長得像哪個已知的恆等式，通常比直接套公式快。 順帶提醒一個常見的卡點：$\cos^2x-\sin^2x$ 跟 $\sin^2x-\cos^2x$ 只差一個負號，但只有前者等於 $\cos2x$。如果你常在這一步把答案寫成 $+\cos2x$，就在旁邊順手代 $x=0$ 檢查一次：$\sin^2 0-\cos^2 0=-1$，而 $\cos 0=1$，所以答案必須是 $-\cos2x$。
挑三題你手上三角函數的題目，只做一件事：把題目裡所有出現的平方圈起來，然後在旁邊寫你打算用哪一條降次公式（留 $\sin$ 還是留 $\cos$）。三題標完再回去算。如果你常常算到一半發現角度很亂，八成都是一開始選錯衣服，那時候回頭換版本比硬算快。 如果你遇到的是 $\sin^4x$ 這種更高次的，降一次不夠，要降兩次。把題目和你第一次降完的式子丟給我，我們一起看第二步。
