威威學長｜幾何之美系列
三角形 $A(0,0)$、$B(6,0)$、$C(2,4)$ 的三個「心」算出來是 $G=\left(\frac{8}{3},\frac{4}{3}\right)$（重心）、$O=(3,1)$（外心）、$H=(2,2)$（垂心）。三個點畫在同一張紙上，它們沒有散開，剛好排在同一條直線上，而且 $OG:GH=1:2$。
這條線叫歐拉線（Euler line）。接下來把三個點的位置寫成向量，就能看見比例 $1:2$ 的來源，不必靠圖畫得準不準😎
三角形的四個心
| 名稱 | 符號 | 定義 | 白話解釋 |
|---|---|---|---|
| 重心 | $G$ | 三條中線的交點 | 三角形的「平衡點」 |
| 外心 | $O$ | 三條邊垂直平分線的交點 | 外接圓的圓心 |
| 垂心 | $H$ | 三條高的交點 | 三條高匯聚的地方 |
| 內心 | $I$ | 三條角平分線的交點 | 內切圓的圓心 |
歐拉在 1765 年的論文 Solutio facilis problematum quorundam geometricorum 裡證明了一件事：
外心 $O$、重心 $G$、垂心 $H$ 三點共線。
內心一般不在這條線上。非正三角形的等腰三角形是容易驗的例外：四個心都在對稱軸上。
為什麼會共線：三行向量
設 $O$ 是原點，$\vec{OA}$、$\vec{OB}$、$\vec{OC}$ 是三個頂點的位置向量（從 $O$ 指向頂點）。重心的位置向量是三頂點的平均：
$$\vec{OG}=\frac{\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}}{3}$$
垂心呢？以外心為原點時，它恰好是三個頂點向量的和：
$$\vec{OH}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}$$
這個和為什麼是垂心？把三個向量簡記為 $a,b,c$，候選點記成 $h=a+b+c$。從 $A$ 指向它的向量是 $h-a=b+c$，而
$$(b+c)\cdot(c-b)=\lVert c\rVert^2-\lVert b\rVert^2=0,$$
因為 $B,C$ 都在以 $O$ 為圓心的外接圓上，兩個長度相同。所以候選點在從 $A$ 出發、垂直 $BC$ 的高上；另外兩條高也同樣成立，這才確認它是垂心。
兩式一比，$\vec{OH}=3\vec{OG}$。若三角形不是正三角形，$O$、$G$、$H$ 便落在同一直線上，且 $OG:GH=1:2$。
⚠️ 學長的警告：正三角形的 $O,G,H$ 重合，沒有由這些點唯一決定的歐拉線，也不能把 $0:0$ 寫成 $1:2$。向量等式仍然成立，長度比例則要排除這個情形。
「共線」可以用向量成比例來檢查。遇到給座標的題目，先找出兩個非零向量再比，不用憑圖看起來像不像。
九點圓：九個點擠在同一個圓上
任給非退化三角形，下面九個指定點共圓；在直角三角形等特殊情形，部分點會重合：
- 三邊中點（3 個）
- 三個頂點到垂心的中點（3 個）
- 三條高的垂足（3 個）
這個圓叫九點圓（Nine-point circle），也叫歐拉圓或費爾巴哈圓。兩件事要記住：
- 半徑是外接圓半徑的一半。
- 圓心 $N$ 在歐拉線上，而且落在 $O$ 和 $H$ 的正中間（$ON=NH$）。
$N$ 是 $OH$ 中點，$G$ 則在 $OH$ 的三分之一處。因此依序排列的 $O,G,N,H$，分段比例是 $2:1:3$。把它畫在同一條數線上，位置會比背比例更好記🙂
九點圓另有完整的幾何證明。這裡先用下面的座標例子，檢查圓心、半徑，以及三類點各一個；想驗到全部九個指定點，也可以照相同的方法繼續算。
把 $A(0,0)$、$B(6,0)$、$C(2,4)$ 算完
重心。 頂點座標平均：
$$G=\left(\frac{0+6+2}{3},\frac{0+0+4}{3}\right)=\left(\frac{8}{3},\frac{4}{3}\right)$$
外心。 $AB$ 的中點是 $(3,0)$，它的垂直平分線是 $x=3$。$AC$ 的中點是 $(1,2)$，$AC$ 的斜率 $\frac{4-0}{2-0}=2$，所以它的垂直平分線斜率是 $-\frac{1}{2}$，方程式 $y-2=-\frac{1}{2}(x-1)$。代 $x=3$：$y-2=-1$，得 $y=1$。外心 $O=(3,1)$。
垂心。 用 $H=3G-2O$（就是 $\vec{OH}=3\vec{OG}$ 改寫而已）：
$$H=3\left(\frac{8}{3},\frac{4}{3}\right)-2(3,1)=(8,4)-(6,2)=(2,2)$$
驗算：$AB$ 邊的高是 $x=2$；$AC$ 邊的高斜率 $-\frac{1}{2}$、過 $B(6,0)$，方程式 $y=-\frac{1}{2}(x-6)$，代 $x=2$ 得 $y=2$。吻合。
歐拉線。 過 $O(3,1)$ 和 $G\left(\frac{8}{3},\frac{4}{3}\right)$，斜率
$$m=\frac{\frac{4}{3}-1}{\frac{8}{3}-3}=\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{1}{3}}=-1$$
方程式 $y-1=-(x-3)$，即 $y=-x+4$。代 $H(2,2)$：$2=-2+4$ ✓，三點真的共線。
九點圓。 圓心是 $O$ 和 $H$ 的中點：
$$N=\left(\frac{3+2}{2},\frac{1+2}{2}\right)=\left(\frac{5}{2},\frac{3}{2}\right)$$
外接圓半徑 $R=\lvert OA\rvert=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$，所以九點圓半徑是 $\frac{\sqrt{10}}{2}$。
三類點各挑一個驗：
- 邊中點 $(3,0)$：$\left(3-\frac{5}{2}\right)^2+\left(0-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{1}{4}+\frac{9}{4}=\frac{10}{4}$ ✓
- 高的垂足 $(2,0)$（$C$ 對 $AB$ 的垂足）：$\left(2-\frac{5}{2}\right)^2+\left(0-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{1}{4}+\frac{9}{4}=\frac{10}{4}$ ✓
- 頂點到垂心的中點：$A$ 和 $H(2,2)$ 的中點 $(1,1)$，$\left(1-\frac{5}{2}\right)^2+\left(1-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}+\frac{1}{4}=\frac{10}{4}$ ✓
這三個距離平方都是 $10/4$，驗到了三類點各一個，和半徑 $\sqrt{10}/2$ 相符。這是例子的數值檢查，還不能拿它代替九點圓對所有三角形的證明。
四個點排成一條線
非正三角形時，沿 $O\to H$ 的順序是 $O,G,N,H$，分段比例為 $OG:GN:NH=2:1:3$。因為 $G$ 在 $OH$ 的三分之一處，$N$ 在二分之一處，中間那一小段只有 $OH$ 的六分之一。
考卷上怎麼出
多選：哪些點共線。 最常見的陷阱是把「外心、重心、垂心、內心」四個一起列，問哪幾個共線，答案是前三個，內心通常不在歐拉線上。另一種問法是「歐拉線上是否存在某點」，這種先驗比例 $1:2$ 最快。
計算：給座標求歐拉線。 套路固定：算重心（頂點平均）→ 算外心（垂直平分線交點）→ 用 $H=3G-2O$ 算垂心 → 寫出直線方程式。真的去解三條高的交點會慢很多。
九點圓半徑。 記住「九點圓半徑＝外接圓半徑的一半」，這題就是送的。
這裡用到的是中線、垂直平分線、向量與圓的方程式。歐拉線和九點圓可以拿來串這些工具；是否屬於你的考試範圍，請以課程與簡章為準，不必為了這篇另外背一份考點清單。
四個真的會錯的地方
- 以為歐拉線通過內心。 只有外心、重心、垂心一定在上面；內心一般不在（等腰三角形例外）。
- 把外接圓和九點圓搞混。 九點圓半徑是外接圓的一半，圓心在歐拉線中段，兩者是不同的圓。
- 忘記直角三角形的特例。 直角三角形的垂心就是直角頂點，外心是斜邊中點；歐拉線還在，只是位置特殊。
- 把 $OG:GH=1:2$ 記反成 $2:1$。 記「外重垂」，$O$、$G$、$H$ 這個順序，$O$ 到 $G$ 短，$G$ 到 $H$ 長。
換你算：$P(0,0)$、$Q(4,0)$、$R(0,3)$
求重心 $G$、外心 $O$、垂心 $H$、歐拉線方程式，以及九點圓的圓心與半徑。
解答
重心：$G=\left(\frac{0+4+0}{3},\frac{0+0+3}{3}\right)=\left(\frac{4}{3},1\right)$。
外心：$\angle P=90^\circ$，直角三角形的外心在斜邊中點。斜邊 $QR$ 的中點是 $\left(\frac{4+0}{2},\frac{0+3}{2}\right)=(2,1.5)$，所以 $O=(2,1.5)$。
垂心：直角三角形的垂心就是直角頂點 $P=(0,0)$。用 $H=3G-2O=(4,3)-(4,3)=(0,0)$ 驗算 ✓。
歐拉線：過 $O(2,1.5)$ 和 $H(0,0)$，斜率 $\frac{1.5}{2}=\frac{3}{4}$，方程式 $y=\frac{3}{4}x$。代 $G\left(\frac{4}{3},1\right)$：$\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{3}=1$ ✓。
九點圓：圓心 $N$ 是 $O$、$H$ 的中點 $=(1,0.75)$。外接圓半徑 $R=\lvert OQ\rvert=\sqrt{(2-4)^2+(1.5-0)^2}=\sqrt{6.25}=2.5$，所以九點圓半徑 $=\frac{R}{2}=1.25$。
打開 GeoGebra 畫一個非退化、非正三角形，標出外心、重心、垂心，再拉動頂點。三點應一直共線，且 $OG:GH=1:2$。拉成正三角形時三點會重合，這時不能再用兩段長度相除來驗比例。接著試等腰但非正三角形，看看內心是不是也落在對稱軸上。
「內心什麼時候才會上線」的答案，就是這章最好的自我測驗。如果你拉出來的結果跟 $\vec{OH}=3\vec{OG}$ 的推論對不上，把你的圖寄給我，我們來看看是哪一步錯了。
