威威學長｜數學陷阱系列
把 $\sqrt{-4}\cdot\sqrt{-9}$ 寫在紙上。兩個根號擺在一起，很容易順手把裡面的數乘起來：
$$\sqrt{-4}\cdot\sqrt{-9}\stackrel{?}{=}\sqrt{(-4)(-9)}=\sqrt{36}=6$$
右邊的 $\sqrt{36}=6$ 沒算錯。出問題的是問號那一步：兩個根號可以這樣合併嗎？
先別急著擦掉整行，我們換一條路算同一題。令 $i$ 為虛數單位，滿足 $i^2=-1$。採用負實數平方根的主值約定，$\sqrt{-4}=2i$、$\sqrt{-9}=3i$，所以
$$\sqrt{-4}\cdot\sqrt{-9}=(2i)(3i)=6i^2=-6.$$
一個算出 $6$，一個算出 $-6$。這個負號就卡在 $i^2$ 裡，先把根號合起來會把它漏掉😅
先把「平方根」和根號分開
在實數裡，$9$ 的平方根有 $3$ 和 $-3$，因為兩個數平方都等於 $9$。但 $\sqrt9$ 指定的是非負的那一個，因此 $\sqrt9=3$。解方程式 $x^2=9$ 才寫 $x=\pm3$。
這個區別搬到複數裡仍然要留著。$-4$ 的平方根有 $2i$ 和 $-2i$；我們把 $\sqrt{-4}$ 約定成 $2i$，稱為主平方根，也就是這篇說的「主值」。
對負實數 $-a$（$a>0$），約定寫成
$$\sqrt{-a}=i\sqrt a.$$
平方檢查一次：$(i\sqrt a)^2=i^2a=-a$。另一個平方根是 $-i\sqrt a$。如果題目問的是「所有平方根」，那一個也得寫出來🙂
還有一個常被一起漏掉的條件：實數公式 $\sqrt a\sqrt b=\sqrt{ab}$ 保證成立的範圍是 $a,b\ge0$。要把公式用到負數，得重新檢查，不能只把原本的限制擦掉。
這和做根號不等式時先寫定義域是同一個習慣。知道符號在哪裡有定義，才知道下一步能不能做。
負數根號相乘，先把 $i$ 寫出來
算這類題，我會先讓每個根號各自化簡。多寫一小步，$i^2$ 就躲不掉：
$$\sqrt{-3}\cdot\sqrt{-12}=(i\sqrt3)(i\sqrt{12})=i^2\sqrt{36}=-6$$
$$\sqrt{-2}\cdot\sqrt{-8}=(i\sqrt2)(i\sqrt8)=i^2\sqrt{16}=-4.$$
這裡合併的已經是 $\sqrt3\sqrt{12}$、$\sqrt2\sqrt8$，根號裡都是非負實數，可以放心用乘法公式。
⚠️ 學長的警告：兩個負實數的主平方根相乘，結果是負實數。算出正數時，回頭找找 $i^2$ 是在哪一步不見的。
用字母寫也一樣。若 $a,b>0$，則
$$\sqrt{-a^2}\cdot\sqrt{-b^2}=(ai)(bi)=-ab.$$
「$a,b>0$」別省略。如果只知道 $a,b$ 是實數，就得寫成 $-\lvert a\rvert\lvert b\rvert$，因為 $\sqrt{a^2}=\lvert a\rvert$。這時允許 $a$ 或 $b$ 為 $0$，結果也可能是 $0$。
同樣是根號，操作次序卻要看裡面的數。雙重根號的化簡處理的是另一種拆法，先確認題型再套，省得越整理越長🙃
方程式裡的正負號要另外處理
拿 $x^2+2x+5=0$ 來看。配方得到 $(x+1)^2=-4$，所以 $x+1=\pm2i$，兩個根是 $-1+2i$ 和 $-1-2i$。
它們的乘積是
$$(-1+2i)(-1-2i)=1-(2i)^2=5.$$
根與係數關係也給出 $5$，兩條路對得上。配方開根號完全可以用；要注意的是，方程式要找出兩個根，而 $\sqrt{-4}$ 這個符號本身只取主值。
把容易混在一起的幾種寫法放在旁邊對照：
| 問的是什麼 | 寫法 | 要注意的條件 |
|---|---|---|
| $\sqrt{-4}\sqrt{-9}$ | $(2i)(3i)=-6$ | 負數根號先各自化簡 |
| $\sqrt{-1}$ | $i$ | 這裡採主值約定 |
| $x^2=-1$ 的所有解 | $x=\pm i$ | 方程式的兩個解都要列出 |
| $(\sqrt{-1})^2$ | $i^2=-1$ | 平方回去就是根號裡的數 |
| $\sqrt{a^2}$，$a$ 為實數 | $\lvert a\rvert$ | $a$ 可能是負數 |
一般複數的主平方根，怎麼選
$\sqrt{3+4i}$ 就不能只靠「把負號換成 $i$」了。設它等於 $u+vi$，其中 $u,v$ 都是實數。平方後比較實部和虛部：
$$(u+vi)^2=u^2-v^2+2uv\,i=3+4i,$$
所以 $u^2-v^2=3$、$2uv=4$。可以找到 $u=2,v=1$，另一組則是 $u=-2,v=-1$。也就是 $2+i$ 和 $-2-i$ 都平方成 $3+4i$。
一般複數的主平方根選實部為正的那一個；如果兩個平方根的實部都是 $0$，才選虛部為正的那一個。$0$ 另外約定 $\sqrt0=0$。
因此 $\sqrt{3+4i}=2+i$，但 $\sqrt{5-12i}=3-2i$。第二個答案的虛部是負的，照樣是主值，因為它的實部 $3$ 是正的。把「主值一定選正虛部」套到所有複數，就會在這題出錯🤔
用角度看，差的那個負號從哪裡來
這段是延伸。前面的負數根號乘法，會用 $i^2=-1$ 已經算得完；想追到公式失效的原因，再跟我把角度寫出來。
對非零複數 $z$，令 $r=\lvert z\rvert$，也就是它到原點的距離。再選主輻角 $\theta=\operatorname{Arg}z\in(-\pi,\pi]$，表示它相對正實軸的方向。採弧度制，$\pi$ 就是半圈。
極式可以寫成 $z=re^{i\theta}$；這裡 $e^{i\theta}$ 表示單位圓上的 $\cos\theta+i\sin\theta$。主平方根是
$$\sqrt z=\sqrt r\,e^{i\theta/2},\qquad -\pi<\theta\le\pi.$$
距離開根號，選好的角度除以 $2$。關鍵在「選好的」：同一個方向能寫成差 $2\pi$ 的很多角度，先選哪個，除以 $2$ 之後就會影響正負號。
以開頭的 $-4$ 和 $-9$ 為例，兩者的主輻角都是 $\pi$。各自開根號後再相乘，角度是 $\pi/2+\pi/2=\pi$，落在負實軸上，答案是 $-6$。
若先相乘，得到的是 $36$，它的主輻角是 $0$。接著開根號，角度仍是 $0$，答案變成 $6$。原本相加得到的 $2\pi$ 被改寫回 $0$；這兩個角度除以 $2$，就差了半圈。
對兩個非零複數 $z_1,z_2$，令 $s=\operatorname{Arg}z_1+\operatorname{Arg}z_2$。在這篇採用的主值約定下：
$$\sqrt{z_1}\sqrt{z_2}=\sqrt{z_1z_2}\quad\Longleftrightarrow\quad -\pi<s\le\pi.$$
若 $s$ 落在這個區間外，兩邊會相差一個負號。這說的是「兩種算法的結果互為相反數」，不代表結果一定是負實數。若任一個 $z_j=0$，兩邊都是 $0$，也不需要談角度。
邊界要分清楚：$\sqrt{-1}\sqrt4=i\cdot2=2i=\sqrt{-4}$，角度和是 $\pi$，可以合併。可是 $\sqrt{-i}\sqrt{-i}=-i$，而 $\sqrt{(-i)(-i)}=\sqrt{-1}=i$；角度和是 $-\pi$，剛好在被排除的那一端。
這一組很值得留著檢查自己：兩端一個能用、一個不能用，是主輻角區間左開右閉的結果🙂
動手練：八題
第 1 到第 4 題練 $i$ 的運算；第 5 到第 8 題求主平方根。先寫答案，再平方或相乘驗一次。
- $\sqrt{-9}\cdot\sqrt{-16}$
- $\sqrt{-25}\cdot\sqrt{-49}$
- $(\sqrt{-3})^2$
- $\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}$
- $\sqrt{3+4i}$
- $\sqrt{5-12i}$
- $\sqrt{-2+2\sqrt3\,i}$
- $z=-8i$，求 $\sqrt z$ 的主值
解答與檢查
- $(3i)(4i)=12i^2=-12$。
- $(5i)(7i)=35i^2=-35$。
- $(\sqrt3\,i)^2=3i^2=-3$。
- $i\cdot i=-1$，再乘 $i$ 得 $-i$。
- 設主平方根是 $u+vi$。由 $u^2-v^2=3$、$uv=2$，代入 $v=2/u$ 得 $u^4-3u^2-4=0$。令 $w=u^2$，則 $(w-4)(w+1)=0$。$u^2$ 不能為負，故 $u^2=4$；主值取 $u=2$，得到 $v=1$。答案 $2+i$，平方確實是 $3+4i$。
- 比較平方後的實部、虛部，得到 $u^2-v^2=5$、$uv=-6$。取正實部 $u=3$，則 $v=-2$。答案 $3-2i$，因為 $(3-2i)^2=5-12i$。
- 距離是 $\sqrt{4+12}=4$，主輻角是 $2\pi/3$。開根號後距離為 $2$、角度為 $\pi/3$，答案是 $1+\sqrt3\,i$。平方檢查：$(1+\sqrt3\,i)^2=-2+2\sqrt3\,i$。
- $-8i=8e^{-i\pi/2}$，故 $\sqrt{-8i}=2\sqrt2\,e^{-i\pi/4}=2-2i$。實部為正，且 $(2-2i)^2=-8i$。
第 5、6 題用代數找答案，第 7、8 題用角度；兩條路都要做主值的選擇。算完再平方，是不用重跑整段推導的檢查法😎
支線切割在處理另一個要求
複變函數裡的 branch cut（支線切割），處理的是函數的連續性與可微性。採上面的角度約定時，從負實軸上方靠近 $-1$，主平方根趨近 $i$；從下方靠近，卻趨近 $-i$。兩邊接不起來。
把負實軸切掉後，就能在剩下的區域選出連續、複可微的平方根分支。前面直接約定 $\sqrt{-1}=i$ 仍然有效，只是「有指定一個值」和「附近能連續地接起來」是不同的要求。
高中不需要會這個。做負數根號的乘法時，先化成 $i\sqrt a$ 就足夠；遇到一般複數的主平方根，再回來檢查角度或實部的選擇。
現在把第一題的 $\sqrt{-9}$ 改成 $\sqrt9$，另外一個根號不動，重算一次。這次先合併根號會不會得到同一個答案？把兩條算法並排寫出來，指出哪個 $i$ 不見了，而不是只記最後的正負號。
