威威學長｜高中數學
$$\sin 3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta$$ 這個式子第一次看到會覺得怪。左邊是 $3\theta$ 的正弦，右邊卻冒出了 $\sin^3\theta$，同一個角的平方、三次方，怎麼會跑進來？ 而且它不是對稱的：$\sin$ 的版本是 $3$ 配 $-4$，$\cos$ 的版本是 $4$ 配 $-3$，兩個數字剛好顛倒。 會出現三次方其實有很直接的原因：三倍角是「三個 $\theta$ 疊在一起」，每展開一層就多帶一個因子；等到最後用平方關係把 $\cos$ 全部換成 $\sin$，剩下的東西自然就是三次的。
推導：只是多做一次和角
三倍角不是新公式，它是 $2\theta+\theta$ 的和角展開。 先看 $\sin 3\theta=\sin(2\theta+\theta)$： $$\sin 3\theta=\sin2\theta\cos\theta+\cos2\theta\sin\theta$$ 現在把二倍角代進去：$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$、$\cos2\theta=1-2\sin^2\theta$（這裡選這個版本，因為它只留 $\sin$）： $$=2\sin\theta\cos\theta\cdot\cos\theta+\left(1-2\sin^2\theta\right)\sin\theta$$ $$=2\sin\theta\cos^2\theta+\sin\theta-2\sin^3\theta$$ 再用 $\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$ 把 $\cos$ 消掉： $$=2\sin\theta\left(1-\sin^2\theta\right)+\sin\theta-2\sin^3\theta=2\sin\theta-2\sin^3\theta+\sin\theta-2\sin^3\theta$$ 合併同類項： $$=3\sin\theta-4\sin^3\theta$$ $\cos$ 的版本走同一條路，只要一開始選對二倍角的版本（$\cos2\theta=2\cos^2\theta-1$）： $$\cos3\theta=\cos2\theta\cos\theta-\sin2\theta\sin\theta=\left(2\cos^2\theta-1\right)\cos\theta-2\sin^2\theta\cos\theta$$ $$=2\cos^3\theta-\cos\theta-2\left(1-\cos^2\theta\right)\cos\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$$
👑 威威說重點：$\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta$，$\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$。推導過程不值得背，但「選哪個二倍角版本會讓你少繞路」值得記：想留 $\sin$ 就走 $\sin$ 那條，想留 $\cos$ 就走 $\cos$ 那條。
係數怎麼記才不會背反
兩個公式的係數剛好對調，硬背很容易混。有三個不用背的方法： 方法一：代特別角檢查。 取 $\theta=0$：$\sin0=0$，右邊 $3\cdot0-4\cdot0^3=0$ ✓；$\cos0=1$，右邊 $4\cdot1-3\cdot1=1$ ✓。這只驗證了常數，不夠。 再取 $\theta=90^\circ$：$\sin270^\circ=-1$，右邊 $3\cdot1-4\cdot1^3=-1$ ✓；$\cos270^\circ=0$，右邊 $4\cdot0-3\cdot0=0$ ✓。 不過這兩個角都有點「太好過」：$0^\circ$ 和 $90^\circ$ 的 $\sin$、$\cos$ 不是 $0$ 就是 $1$，係數寫錯還是有機會蒙對。再補一個 $\theta=30^\circ$ 就穩了：左邊 $\sin 90^\circ=1$，右邊 $3\cdot\dfrac12-4\cdot\dfrac18=\dfrac32-\dfrac12=1$ ✓ 三個角都對上，係數就沒背反。 方法二：記「$3$ 配在哪一邊」。 兩條式子的 $3$ 和 $4$ 都在，只是位置對調：$\sin3\theta$ 是 $3\sin\theta-4\sin^3\theta$，那個 $3$ 配在低次項；$\cos3\theta$ 是 $4\cos^3\theta-3\cos\theta$，那個 $3$ 配在高次項。記「$3$ 的位置對調」比整條式子背下來省力得多。 方法三：$\tan$ 的版本。 它長這樣： $$\tan 3\theta=\frac{3\tan\theta-\tan^3\theta}{1-3\tan^2\theta}$$ 分子是 $3\tan\theta-\tan^3\theta$，分母是 $1-3\tan^2\theta$。⚠️ 學長的警告：分母那個 $3$ 是乘在 $\tan^2\theta$ 上（$1$ 減掉 $3\tan^2\theta$），不是 $3\tan^2\theta-1$。這一條可以用 $30^\circ$ 快速驗證：$3\theta=90^\circ$ 的時候 $\tan$ 會爆掉，而 $\tan30^\circ=\dfrac{1}{\sqrt3}$，$3\tan^2 30^\circ=3\cdot\dfrac13=1$，分母剛好變成 $0$ ✓ 如果你寫成 $3\tan^2\theta-1$，這個檢查就會給出 $2$，一眼看得出來。
為什麼這件事跟「三等分角」有關
把 $\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$ 反過來讀。如果已知 $\cos3\theta$ 的值，想求 $\cos\theta$，那就得解 $$4x^3-3x=\cos3\theta\quad(x=\cos\theta)$$ 一個三次方程式。 三次方程式不一定有「用四則運算與開平方、開立方就能寫出來」的漂亮解，這件事在數學史上很重要：古希臘的三大作圖難題之一「三等分任意角」，最後被證明做不到，線索就藏在這裡。 不過要講清楚分寸：從「三等分角會導出一個三次方程式」到「因此尺規作圖不可能」，中間還要處理更多東西（例如那些解是不是可用尺規造出來）。這裡只點出這個關聯，不是給出完整證明。你如果對那段歷史有興趣，那是數學史裡很有意思的一章。
什麼時候真的會用到它
三倍角公式在高中不算常見，但它出現的場合很特定：題目裡同時有 $\sin\theta$ 和 $\sin3\theta$（或同時有 $\cos\theta$ 和 $\cos3\theta$），而你需要把其中一邊換掉。 三種典型的問法：
- 給你 $\sin\theta$，問 $\sin3\theta$。 最單純，直接代入算數字。
- 給你 $\sin3\theta$，問 $\sin\theta$。 這要解一個三次方程式。題目通常會精心安排成「有漂亮解」的形狀，例如整理後可以因式分解成 $\left(2\sin\theta-1\right)(\ldots)=0$，所以不用害怕，動手整理就會發現。
- 要你證明某個恆等式。 做法是從三倍角出發，往目標那一邊慢慢整理。
共同點是：先看哪一邊的角度比較多，就往另一邊換。角度多的那一邊通常比較難直接處理。
換你動手
練習 1：用 $\theta=30^\circ$ 驗證 $\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta$。 左邊：$\sin90^\circ=1$。右邊：$\sin30^\circ=\dfrac12$，所以 $3\cdot\dfrac12-4\cdot\dfrac18=\dfrac32-\dfrac12=1$ ✓ 練習 2：用 $\theta=30^\circ$ 驗證 $\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$。 左邊：$\cos90^\circ=0$。右邊：$\cos30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}$，$\cos^3 30^\circ=\dfrac{3\sqrt3}{8}$，所以 $4\cdot\dfrac{3\sqrt3}{8}-3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{3\sqrt3}{2}-\dfrac{3\sqrt3}{2}=0$ ✓ 練習 3：化簡 $8\cos^3\theta-6\cos\theta$。 把 $2$ 提出來：$2\left(4\cos^3\theta-3\cos\theta\right)=2\cos3\theta$。看出來了嗎，題目給的那串就是三倍角公式的兩倍，直接回推就好，不必展開。
挑三題跟三倍角有關的題目，先不要套公式，改做一件事：把 $\theta$ 代一個特別角（$0^\circ$、$30^\circ$、$90^\circ$ 都好）進去，看看等號兩邊對不對。三個角對完，你大概就不會再把 $\sin$ 跟 $\cos$ 的係數背反了。 如果你遇到的是 $2\cos3\theta-1=0$ 這種要解 $\theta$ 的題目，那要先回推成 $4\cos^3\theta-3\cos\theta=\dfrac12$ 再用三倍角，或是直接設 $\theta$ 的三倍角為新的未知數。把題目丟給我，我們一起看哪一條路比較短。 最後一件小事：三倍角公式不需要背進考場。你需要的是「三倍角可以拆成 $2\theta+\theta$」這個念頭，以及那三個特別角可以拿來驗算。剩下的，考場上三十秒推得出來。
