威威學長｜高中數學
$y=(2x+1)^{10}$。冪次律你會，微分的定義你也會，但你手上這個東西是「某個東西的十次方」，而那個東西本身又是 $x$ 的函數。硬算做得到：把 $(2x+1)^{10}$ 展開成十一項再逐項微分。只是你不會想做第二次😅。
連鎖律給出 $y'=20(2x+1)^9$。那個 $20$ 拆開是 $10\times2$：$10$ 來自十次方，$2$ 來自裡面的 $2x+1$。
如果口訣背得出來，卻不知道最後為什麼要乘 $2$，先把兩層分開。接下來每一個變化率都寫清楚是「誰相對誰」在變。
變化率本來就是一個比值
先退一步看微分在寫什麼。$\dfrac{dy}{dx}$ 是「$x$ 動一點點，$y$ 動多少」的比值。同樣地 $\dfrac{dy}{du}$ 是「$u$ 動一點點，$y$ 動多少」，$\dfrac{du}{dx}$ 是「$x$ 動一點點，$u$ 動多少」。
令內層 $u=g(x)$、外層 $y=f(u)$。兩層在對應的位置都可微時，連鎖律寫成：
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$$
⚠️ 學長的警告：右邊的 $du$ 看起來可以約掉，適合幫你記公式；但在這裡，導數是極限，不能只靠普通分數約分當證明。連鎖律的前提是內層在 $x$ 可微、外層在對應的 $u$ 可微。
用三顆齒輪的兩段傳動想
假設齒輪 A 轉一圈會帶動 B 轉三圈，B 轉一圈再帶動 C 轉半圈。這裡先只計轉圈數的大小；兩次嚙合各反向一次，A 和 C 最後同向。
現在問：A 轉一圈，C 轉幾圈？
答案是 $3\times0.5=1.5$，不是 $3+0.5$。理由很物理：A 每轉一圈，B 就被推著轉三圈；B 每轉一圈，C 被推著轉半圈。中間那顆 B 轉了三圈，所以 C 那邊被推了三次，每次半圈。傳遞的是一段一段的倍率，所以倍率相乘。
連鎖律把同樣的倍率關係用在局部變化：$x$ 的小變化先傳到 $u$，再傳到 $y$，兩段變化率相乘。倍率也可能小於 $1$ 或為負，所以不一定每一段都在放大。
回到 $(2x+1)^{10}$，把那顆 2 找出來
令 $u=2x+1$，於是 $y=u^{10}$。分開微分：
$$\frac{dy}{du}=10u^9,\qquad \frac{du}{dx}=2$$
乘起來：
$$\frac{dy}{dx}=10u^9\cdot 2=20(2x+1)^9$$
那個 $2$ 就是 $du/dx$：$x$ 的小變化傳到 $u=2x+1$ 時放大兩倍。少乘它，相當於把這裡的 $u'$ 當成 $1$，和原來的內層函數不符。
想確認的話，不用信我，展開對一次就好。在 $x=0$ 附近，$(1+2x)^{10}=1+20x+180x^2+\cdots$，一次項係數 $20$，跟 $20(2x+1)^9$ 在 $x=0$ 給的 $20$ 對得上😁。
👑 威威說重點：連鎖律的乘法就是「兩段倍率疊起來」。$\dfrac{dy}{du}$ 管外層，$\dfrac{du}{dx}$ 管內層，缺一個就少一段齒輪。
多一層就多乘一個
同一件事往上疊。每一層都問「這個變數動一點點，下一層動多少」，然後通通乘起來。
- $y=\sin(3x)$：內層 $u=3x$。$\dfrac{dy}{dx}=3\cos(3x)$。
- $y=\cos(x^2)$：內層 $u=x^2$。$\dfrac{dy}{dx}=2x\cdot(-\sin x^2)=-2x\sin(x^2)$。
- $y=e^{\sin x}$：內層 $u=\sin x$。$\dfrac{dy}{dx}=e^{\sin x}\cos x$。
- $y=\sqrt{1-x^2}$：在 $-1<x<1$ 內，寫成 $(1-x^2)^{1/2}$，得 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac12(1-x^2)^{-1/2}(-2x)=\dfrac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$。
最後那個可以拿來看一件常被誤會的事：它就是單位圓上那一點的 $y$ 對 $x$ 的變化率，會在最左最右（$x=\pm1$）爆掉，因為那裡是圓的切線方向變成垂直的地方，斜率本來就沒有有限值。答案在那裡無定義，不是我們算錯🙃。
三個真的會扣分的錯
第一種錯是忘了乘內層。這是最常見的，而且它有個特徵：答案錯得很「有規律」。$\sin(3x)$ 寫成 $\cos(3x)$，你只是漏了一段。把內層 $u$ 先寫出來，$\dfrac{du}{dx}$ 那一格空白就看得見，比在腦裡做安全。
第二種是把外層微分「對 $x$」算。例如 $y=\sin(3x)$ 寫成 $3\cos(3x)$ 是對的，但寫成 $3\cos(x)$ 就是把外層的微分對象搞錯了。外層微分的時候，內層要整坨照抄當成一個符號（$\cos(3x)$，不是 $\cos(x)$）。
第三種是三層以上只乘到兩層。$y=\sin(e^{x^2})$ 這種要乘三段：外層 $\cos(e^{x^2})$、中層 $e^{x^2}$、內層 $2x$，合起來 $2x\,e^{x^2}\cos(e^{x^2})$。判斷方法只有一個：數一數有幾個「東西」。這裡有 $\sin$、$e^{\square}$、$x^2$ 三層，就該有三個因子。
換你動手
練習 1：微分 $y=(3x-2)^5$。
令 $u=3x-2$。$\dfrac{dy}{du}=5u^4$、$\dfrac{du}{dx}=3$，所以 $y'=15(3x-2)^4$。快速檢查：把 $(3x-2)^5$ 在 $x=0$ 展開，常數項 $(-2)^5=-32$，一次項是 $5(-2)^4\cdot3x=240x$；而 $15(3x-2)^4$ 在 $x=0$ 給 $15\cdot16=240$ ✓。
練習 2：微分 $y=\sin^2 x$（也就是 $(\sin x)^2$）。
⚠️ 這題的陷阱是「平方要在裡面還是外面」。把 $(\sin x)^2$ 看成外層是「平方」、內層是 $\sin x$，則 $y'=2\sin x\cdot\cos x$。用二倍角公式看就是 $\sin 2x$。如果你曾經想在 $\sin$ 上動手上 $\cos$，那正是這一題要修的習慣：先認外層。
練習 3：微分 $y=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。
在 $-1<x<1$ 內，改寫成 $(1-x^2)^{-1/2}$。外層微分給 $-\frac12(1-x^2)^{-3/2}$，內層微分給 $-2x$，相乘得 $\frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}$。在 $0<x<1$ 時導數為正，也符合分母越來越小、倒數越來越大的方向。
找三題你手上正在做的合成函數微分，每題先在紙邊寫下「內層是誰、外層是誰」，再寫 $\dfrac{dy}{du}$ 跟 $\dfrac{du}{dx}$ 兩格，最後才相乘。三題都這樣做，然後把答案跟解答對一次。如果某一題錯了，幾乎可以在那兩格上直接看出來是哪一格空的，這比事後重算快得多。
如果你遇到的是三層以上、或內外層互相咬住（例如 $y=\sin(\cos(2x))$）的題目，把題目和你寫的兩格丟給我，我們一起數有幾個因子。
