威威學長｜高中數學
$\sqrt{5+2\sqrt{6}}$。裡面的 $5$ 和 $2\sqrt{6}$ 怎麼配都配不出乾淨的東西，看起來就是一個化簡不下去的無理數。 但它等於 $\sqrt2+\sqrt3$。驗一下：(√2+√3)² = 2+3+2√6 = 5+2√6，對得上。所以那個看起來拆不開的東西，其實是兩個乾淨根號的平方。 這類題目在課本裡都配得很好，每一題都拆得開。可是你自己拿一個 $\sqrt{5+2\sqrt5}$ 來試，怎麼配都配不出來，然後開始懷疑是不是自己算錯。你沒算錯，是那一個本來就拆不開😅。底下要講兩件事：怎麼拆，以及怎麼在一分鐘內判斷拆不開。
拆得開的意思是什麼
說「拆得開」，精確的意思是：它能不能寫成 $\sqrt m+\sqrt n$ 這種兩個根號相加的樣子。 假設可以，那平方一次就知道條件了： $$(\sqrt m+\sqrt n)^2=m+n+2\sqrt{mn}$$ 要它等於 $a+2\sqrt b$，就得同時滿足 $$m+n=a,\qquad mn=b$$ 所以整件事的內容就是：找兩個數，和是 $a$、積是 $b$。而和與積都給定的兩個數，就是 $t^2-at+b=0$ 的兩根。它有解的條件是判別式 $$\Delta=a^2-4b$$ 要大於或等於 $0$。而我們要找的是「整數或簡單分數」的 $m,n$，所以還要更強：$\Delta$ 必須是完全平方數。 那個「完全平方」的要求是從哪來的？$m$、$n$ 既然是 $t^2-at+b=0$ 的兩根，公式解就是 $\dfrac{a\pm\sqrt{a^2-4b}}{2}$。如果 $a^2-4b$ 不是完全平方，$\sqrt{a^2-4b}$ 本身就是一個拆不開的根號。你想把它塞進另一個根號裡面，結果只是換了一個更醜的寫法，沒有真的化簡。
👑 威威說重點：$m+n=a$、$mn=b$。雙重根號的化簡不是技巧，是解一個「和與積」問題；$a^2-4b$ 不是完全平方，就直接寫「無法化簡」，別硬湊。
三個例子，一個個對照
第一個：$\sqrt{5+2\sqrt6}$。對照 $a+2\sqrt b$，得 $a=5$、$b=6$。找和 $5$、積 $6$ 的兩數：$2$ 與 $3$。所以 $$\sqrt{5+2\sqrt6}=\sqrt2+\sqrt3$$ 第二個：$\sqrt{7+4\sqrt3}$。這裡不是 $2\sqrt b$ 的形狀，那個 $4$ 要先處理。$4\sqrt3=2\cdot2\sqrt3=2\sqrt{12}$，所以 $a=7$、$b=12$。和 $7$、積 $12$ 的兩數是 $3$ 與 $4$，於是 $$\sqrt{7+4\sqrt3}=\sqrt3+\sqrt4=\sqrt3+2$$ （看得出 $\sqrt4=2$ 是整數，所以答案只剩一個根號加一個整數，這在題目裡很常見。） 第三個：$\sqrt{5+2\sqrt5}$。$a=5$、$b=5$，判別式 $a^2-4b=25-20=5$。$\sqrt5$ 不是整數，所以找不到兩個簡單的 $m,n$，這一個化簡不了。它不是「還沒算出來」，是沒有更簡單的形式。
減號的版本要多一個絕對值
如果題目是 $\sqrt{a-2\sqrt b}$，拆法是 $\sqrt m-\sqrt n$，條件一樣是和 $a$、積 $b$，答案取 $m>n$ 那一組配對。 $$\sqrt{5-2\sqrt6}=\sqrt3-\sqrt2$$ 這裡有個一定要處理的細節：$\sqrt3-\sqrt2$ 是正的（約 $0.32$），所以直接寫沒問題。但如果配出來 $m<n$，例如某題得到 $\sqrt2-\sqrt3$，那是負的，而根號的結果不可能負。⚠️ 學長的警告：遇到 $m<n$ 的時候，答案要寫成絕對值 $\left|\sqrt m-\sqrt n\right|$，或者直接交換成 $\sqrt n-\sqrt m$。漏掉這一步是這一類題目最常見的失分點。 判斷要不要加絕對值有個快招：算完先看兩個根號誰大，小的擺後面就安全。
拆開之後有什麼用
拆完通常不會就直接結束，題目還要往下走，常見的有兩條路：
- 求倒數或有理化。$\dfrac{1}{\sqrt2+\sqrt3}$ 可以直接分母有理化，但如果你手上的式子還沒拆開，通常得多繞一圈。
- 比較大小。$\sqrt{5+2\sqrt6}$ 跟 $2$ 誰大？拆開變 $\sqrt2+\sqrt3$。$(\sqrt2+\sqrt3)^2=5+2\sqrt6\approx9.9>4$，所以它比 $2$ 大。不拆的話你只能按計算機。
還有一件事值得記著：這套「和與積」的想法，在別的地方會再用到，例如求 $x+\dfrac1x$ 給定時求 $x^2+\dfrac1{x^2}$，做的是同一件事（平方之後看多了什麼）。這條「先平方、看多出來什麼」的路在第 根號不等式的兩步驟 SOP 也用得上，只是那裡的重點是平方的合法性。
換你動手
練習 1：化簡 $\sqrt{11+2\sqrt{30}}$。 $a=11$、$b=30$，找和 $11$、積 $30$ 的兩數：$5$ 與 $6$。所以 $\sqrt{11+2\sqrt{30}}=\sqrt5+\sqrt6$。驗算：$(\sqrt5+\sqrt6)^2=5+6+2\sqrt{30}=11+2\sqrt{30}$ ✓ 練習 2：化簡 $\sqrt{8-2\sqrt{15}}$。 $a=8$、$b=15$，和 $8$ 積 $15$ 的兩數是 $3$ 與 $5$。取 $m>n$：$\sqrt5-\sqrt3$。驗算：$(\sqrt5-\sqrt3)^2=5+3-2\sqrt{15}=8-2\sqrt{15}$ ✓，而且 $\sqrt5-\sqrt3\approx0.5>0$，不用加絕對值。 練習 3：$\sqrt{6+2\sqrt7}$ 可以化簡嗎？ $a=6$、$b=7$，判別式 $36-28=8$，不是完全平方，所以不行。想確認的話也可以找找看：和 $6$、積 $7$ 的整數配對只有 $1$ 與 $7$（和是 $8$，不對），找不到。答案就是原本的樣子。
翻出講義上雙重根號的題目，先不要算，只做判斷：每一題都算 $a^2-4b$，是完全平方的打勾，不是的打叉。整頁標完再回去算打勾的那些。真正的收穫是：你會發現題庫裡「拆不開」的題目其實很少：那些幾乎都是出題老師不小心，或是要你回答「無法化簡」。省時間只是順便。 如果你手上有一題打勾了、卻怎麼配都配不出來，把 $a$ 和 $b$ 你填的數字丟給我，我們一起看是不是那個 $2\sqrt b$ 的係數沒先提出來。
