威威學長｜高一多項式系列
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$\sqrt{x^2-25}>x-1$。敢不敢兩邊直接平方？平方得到 $x^2-25>(x-1)^2$，解出 $x>13$。數字乾淨漂亮，但答案是錯的：$x\leq -5$ 那整段憑空消失了。
這裡少的是平方前的正負判斷。右邊 $x-1$ 可以為負，不能把原不等式和平方後的不等式直接當成同一個條件😅
為什麼平方會出事
平方會丟掉正負號資訊，先看這個簡單的例子：
$$3>-5 \quad\text{但}\quad 3^2=9<25=(-5)^2$$
一個明明成立的「大於」，平方後竟然變「小於」。所以規則很簡單：只有兩邊都確定非負時，才能放心平方（且不等號方向不變）。
兩步驟 SOP
Step 1：先抓「生存條件」（根號內 $\geq 0$、分母 $\neq 0$）。不管題目問什麼，這先寫。最後的解絕對不能超出這個範圍。
Step 2：判斷正負。兩邊都非負才能平方；不能確定，就分情況討論。有時候你甚至會發現根本不用平方。
把這兩步套回開頭那題，看看被漏掉的負半軸在哪裡回來。
實戰：$\sqrt{x^2-25}>x-1$
第一步是生存條件。$x^2-25\geq 0$，即 $(x-5)(x+5)\geq 0$，得 $x\geq 5$ 或 $x\leq -5$。
第二步是分情況。左邊帶根號，恆為非負。右邊 $x-1$ 是誰？分兩種情況：
第一種情況，右邊為負（$x<1$）。左邊只要有定義，就必為非負，不等式直接成立。與 $x\ge5$ 或 $x\le-5$ 取交集，得到 $x\le-5$。
第二種情況，右邊非負（$x\geq 1$）。這時兩邊都非負，可以安心平方：
$$x^2-25>(x-1)^2=x^2-2x+1 \implies -25>-2x+1 \implies 2x>26 \implies x>13$$
$x>13$ 符合假設 $x\geq 1$ ✓ 也符合生存條件 ✓。第二段解到手。
合併起來：$x\leq -5$ 或 $x>13$。
第一種情況直接靠「非負數大於負數」得到整段解。先看右邊的正負，就能少做一輪平方，也不會漏掉負半軸。
乘積小於零，這一題不用平方
$$\sqrt{\frac{x+3}{1-x}}\cdot\frac{x+1}{x-4}<0$$
先不要展開，觀察乘積的兩個因子各能取什麼符號。
第一步是生存條件。根號內要 $\geq 0$；但注意，整條式子要嚴格小於 0，如果根號是 $0$，整條就是 $0$，不合格。所以根號內必須嚴格大於 0：
$$\frac{x+3}{1-x}>0 \implies \frac{x+3}{x-1}<0 \implies -3<x<1$$
分母 $x-4\neq 0$（反正 $4$ 早就不在範圍裡了）。生存範圍：$-3<x<1$。
第二步連平方都不用。 在生存範圍內，根號算出來必定是正數。正數乘出來要小於 $0$，代表另一個因子必須是負的：
$$\frac{x+1}{x-4}<0 \implies -1<x<4$$
與生存範圍取交集：
$$\boxed{-1<x<1}$$
根號在解的範圍內為正，乘積的正負就由另一個因子決定。這一題看符號就算得完，沒有必要平方🙂
帶等號時，把端點放進其中一段
如果題目是 $\sqrt{x+3}\geq x+1$ 這種（右邊可負、帶等號），SOP 完全一樣，但有兩個細節要加碼：
- 右邊非正（$x\le-1$）：左邊非負，所以不等式直接成立；再與 $x\ge-3$ 取交集，得 $-3\le x\le-1$。
- 右邊為正（$x>-1$）：兩邊平方，$x+3\ge(x+1)^2$，整理得 $(x+2)(x-1)\le0$，所以 $-2\le x\le1$；與 $x>-1$ 取交集，得 $-1<x\le1$。
合併得到 $-3\le x\le1$。這裡把 $x=-1$ 放進第一種情況；放第二種也可以，只要分段時沒有漏掉就好。
換你動手
練習 1：解 $\sqrt{2x+3}>x$。
點開看詳解
Step 1：$2x+3\geq 0$，即 $x\geq -\frac{3}{2}$。
Step 2：右邊 $x$ 可正可負。
情況一（$x<0$）：非負 > 負，自動成立。與生存條件交集：$-\frac{3}{2}\leq x<0$。
情況二（$x\geq 0$）：兩邊非負，平方：$2x+3>x^2$，即 $x^2-2x-3<0$，$(x-3)(x+1)<0$，得 $-1<x<3$。與 $x\geq 0$ 取交集：$0\leq x<3$。
合併：$-\frac{3}{2}\leq x<3$。
練習 2：解 $\sqrt{x-2}+\sqrt{x+1}\leq 3$。
點開看詳解
Step 1：生存條件是 $x\ge2$。這個範圍內，左邊的兩個根號都非負，右邊 $3$ 也為正，所以可以等價地平方；只是平方後會多出交叉項，根號還沒全部消掉：
$$x-2+2\sqrt{(x-2)(x+1)}+x+1\leq 9$$
沒關係，移項再平方一次（移項後左邊 $2\sqrt{(x-2)(x+1)}$ 非負、右邊 $10-2x$ 必須非負，先記著）：
先整理：$2\sqrt{(x-2)(x+1)}\leq 10-2x$，即 $\sqrt{(x-2)(x+1)}\leq 5-x$。
此時右邊必須 $\geq 0$（否則非負 ≤ 負，無解）：$x\leq 5$。
平方：$(x-2)(x+1)\leq (5-x)^2$，展開 $x^2-x-2\leq x^2-10x+25$，得 $9x\leq 27$，$x\leq 3$。
與生存條件及 $x\leq 5$ 取交集：$2\leq x\leq 3$。
驗一下端點：$x=2$：$\sqrt{0}+\sqrt{3}\approx 1.73\leq 3$ ✓；$x=3$：$1+2=3\leq 3$ ✓。
答案：$2\leq x\leq 3$。
雙重平方的心得：每次平方前，都重新檢查「這次兩邊都非負嗎」。雙重平方可以做，但每多平方一次就多一個要驗的假設，所以能移項整理就先整理，別看到根號就急著兩邊開轟。
練習 3：解 $\dfrac{\sqrt{9-x^2}}{x-1}\geq 0$。
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Step 1：根號內 $9-x^2\geq 0$，即 $-3\leq x\leq 3$；分母 $x\neq 1$。
Step 2：整條式子要 $\geq 0$。分情況：
- 根號為正（$-3<x<3$，$x\ne1$）：分母必須為正，才會得到非負的商。因此 $x>1$，取交集得 $1<x<3$。
- 根號為零（$x=\pm 3$）：整條等於 $0$，滿足 $\geq 0$，收下。$x=3$ 時分母是 $2\neq 0$，OK；$x=-3$ 時分母是 $-4\neq 0$，OK。
- 根號為正、分母為負（$x<1$）：整條為負，不合格。
合併：$x=-3$ 或 $1<x\leq 3$。寫成區間就是 $x=-3$ 或 $(1,3]$。
別漏掉單獨的 $x=-3$。分子為零、分母不為零時，整個分式就是 $0$，符合題目的 $\ge0$；只看分母的正負會漏掉這個端點。
翻出講義上根號不等式的題目，挑三題，這次只做 Step 1：把生存條件寫出來，然後停手，先不要平方。分式型、二次式、帶等號的邊界，全部先擺著。
如果某一題的生存條件算完就已經跟答案長得很像，那題就是白撿的。反過來，如果你寫完生存條件還是看不出該不該平方，把那一題和你寫的範圍丟給我，我們一起看是哪一步的正負號沒定下來。
