威威學長｜高中數學
$\sin 30^\circ=\frac12$、$\sin 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$、$\sin 60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$，這三個值你大概從國三背到高一，靠的是同一張圖：一個直角三角形，斜邊分之對邊。這套算法門檻很低，一把尺就夠。 然後到了高二，課本開始畫正弦函數的圖形，從 $0$ 拉到 $2\pi$。那條線過了 $90^\circ$ 之後還在動，一路往下，甚至整段掉到 $x$ 軸下面。看圖不難，難的是你心裡那個定義撐不住：$120^\circ$ 的對邊，到底是哪一條？ 問題不在圖，在定義。用「一個三角形張開多大」來理解角，範圍天生被鎖在 $0^\circ$ 到 $180^\circ$ 之間，因為三角形不可能張得比一條直線更開。兩個端點也不安全：$0^\circ$ 的時候對邊縮成 $0$，$90^\circ$ 的時候鄰邊縮成 $0$，三角形扁成一條線。所以「$\sin 90^\circ=1$」嚴格說不是三角形算出來的，是課本先幫你約定好的。 還有一類角連討論的機會都沒有：順時針轉出來的角度（負角），以及轉超過一整圈的角度。時鐘指針、方向盤、跑步機履帶，生活裡這種「轉了多少」滿地都是；直角三角形裡卻沒有它們的位置。要往下走就得換定義，而且新定義要通過兩個條件：在 $0^\circ$ 到 $90^\circ$ 之間答案跟舊的一模一樣，出了這個範圍之後還講得出話。
把角從三角形搬到座標平面上
先把角重新想成「轉了多少」。頂點釘在原點，始邊釘在正 $x$ 軸上，這條線從頭到尾不動，像量角器的零刻度；終邊是轉完之後指著的那道光。方向規定逆時針為正、順時針為負，這個約定全世界的數學課都一樣。 在這個看法底下，$390^\circ$ 的意思很具體：逆時針轉一整圈（$360^\circ$）再多轉 $30^\circ$。$-330^\circ$ 也很具體：順時針轉 $330^\circ$。而這兩個角的終邊，跟 $30^\circ$ 的終邊貼在同一道光上，只是轉的過程繞得遠一點、或是倒著走。角變成一個有方向的量之後，「超過一圈」和「負的」就不再是例外，它們只是轉法不同。也因為角現在是「轉動」，它天生適合用弧度講：轉一整圈是 $2\pi$ 弧度，在單位圓上轉 $\theta$ 弧度就是沿著圓周走 $\theta$ 單位長。物理課的角速度寫成每秒多少弧度，量的就是這件事：單位時間內走了多遠的圓周，跟「張開幾度」沒關係。
多轉一圈，位置一樣：同界角
終邊相同的角叫做同界角。任何一個角 $\theta$ 加上或減掉整數個 $360^\circ$，終邊都會回到原來的位置： $$\theta+360^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}$$ 用弧度寫是 $\theta+2\pi k$，因為轉一整圈是 $2\pi$ 弧度。弧度在這裡第一次顯得比度數順手：整圈的代價只是一個 $2\pi$，加減的時候不用一直搬那個 $360$ 出來。 這條規則一開始很像冷知識，但它馬上會在兩個地方咬你。一個是反過來解 $\sin\theta=\frac12$：單位圓上 $y=\frac12$ 的位置有兩個（$30^\circ$ 和 $150^\circ$），每個再加上整數圈的 $360^\circ$，全部都算答案，這就是為什麼三角方程式的答案要寫成一整族。另一個是後面算週期和圖形平移的時候，「同界角的函數值相同」正是那整套技術的地基。
從一個點重新定義 sin、cos、tan
新定義短得有點過分。在座標平面上畫一個圓心在原點、半徑 $1$ 的圓，叫做單位圓；把角的終邊跟這個圓的交點取出來，記成 $P(x,y)$。然後： $$\cos\theta=x,\qquad \sin\theta=y,\qquad \tan\theta=\frac{y}{x}\quad(x\neq 0)$$ 就這三行，而且對每個角都有意義：任何一道終邊都會跟單位圓交在唯一一點，$x$ 與 $y$ 就是那點的座標，不需要三角形存在。$120^\circ$ 的終邊落在第二象限，交點是 $\left(-\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right)$，所以 $\cos 120^\circ=-\frac12$、$\sin 120^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$。$\cos 120^\circ$ 是負的，這件事在直角三角形裡完全講不通（兩個長度相除怎麼會負），但在座標平面上它只是一句話：交點的 $x$ 座標在 $y$ 軸左邊。 你可能會擔心這樣是不是把國中學的東西丟掉了。做個檢查。假設 $\theta$ 是銳角，從 $P$ 往 $x$ 軸作垂線，垂足叫 $H$，三角形 $OPH$ 是一個直角三角形：斜邊 $OP$ 是半徑、長度 $1$，對邊 $PH$ 就是 $y$，鄰邊 $OH$ 就是 $x$。於是 $$\sin\theta=y=\frac{y}{1}=\frac{\text{對邊}}{\text{斜邊}},\qquad \cos\theta=x=\frac{x}{1}=\frac{\text{鄰邊}}{\text{斜邊}}$$ 跟國中的定義一字不差。新定義在銳角上跟舊定義重合，出了銳角之後才開始多做事情。（$\cos 120^\circ=-\frac12$ 這種「算出來是負的」結果，就是它多做的事。）
👑 威威說重點：$\sin$ 是 $y$、$\cos$ 是 $x$、$\tan$ 是 $y$ 除以 $x$。這三句就是整套廣義角的定義，也順便解釋了正負號，不必另外背。 把定義從銳角擴張到所有的角，數學上的說法是「推廣」，這也是「廣義角」這個名字的來源。聽起來像一個新章節，其實整段動作只有一件事：找一個在銳角上跟舊定義吻合、又能往外交代的定義。舊定義像一張只夠遮半張床的被子，新定義是把被子換大一號，角落那塊還是同一塊布。 選半徑 $1$ 純粹是為了省事：半徑是 $1$ 的時候，「比值」這個動作已經被吸收掉了，$\sin$ 直接就是 $y$。半徑換成 $5$ 也能做，代價是每一項都要多除一次 $5$。這正好交代了題目裡常見的另一種問法：給你終邊上一點的座標 $(a,b)$，你可以先算 $r=\sqrt{a^2+b^2}$，把點壓回單位圓（座標除以 $r$），就得到 $\cos\theta=\frac{a}{r}$、$\sin\theta=\frac{b}{r}$、$\tan\theta=\frac{b}{a}$，不用真的畫出圓。 順手把幾個「崩壞」的角補上。$90^\circ$ 的終邊是正 $y$ 軸，交點 $(0,1)$，所以 $\sin 90^\circ=1$、$\cos 90^\circ=0$。$\tan$ 要除以 $x$，這時候 $x=0$ 除不動，所以 $\tan 90^\circ$ 沒有定義：它不等於某個很大的數，是真的不存在。凡是 $\theta=90^\circ+180^\circ k$ 的角都一樣，$\tan$ 在那裡斷掉，圖形上是一條條垂直漸近線。 還有一個贈品：繞完一整圈會回到同一點，所以 $\sin$ 與 $\cos$ 每隔 $2\pi$ 就重複一次。那條上下起伏、永遠不超過 $1$、也不低於 $-1$ 的波形，就是這個「點繞圈」的紀錄。
四個象限的正負號，只是看 x 與 y
有了座標之後，正負號幾乎不用背：$\sin\theta$ 是 $y$ 座標，$\cos\theta$ 是 $x$ 座標，$\tan\theta$ 是兩者相除。
- 第一象限：$x>0$、$y>0$，三個函數都正。
- 第二象限：$x<0$、$y>0$，只有 $\sin$ 正（$\tan$ 是負除以正，得負）。
- 第三象限：$x<0$、$y<0$，兩個都負；相除之後 $\tan$ 反而是正的，$\sin$ 與 $\cos$ 是負的。
- 第四象限：$x>0$、$y<0$，只有 $\cos$ 是正的。
還有一個附帶收穫：單位圓上的點跑不出那顆圓，所以 $x$ 與 $y$ 都被夾在 $-1$ 與 $1$ 之間，$\sin$ 與 $\cos$ 的值域就是 $[-1,1]$。$\tan$ 沒有這種限制，它可以要多大有多大，只在 $x=0$ 的地方斷掉。 課堂上常出現一句英文口訣 All Students Take Calculus，四個字首 $A$、$S$、$T$、$C$ 依序對應第一到第四象限「誰是正的」，中文有人翻成「全部的學生都要考微積分」。這裡講清楚：它是英文的記憶法，不是定理。它好用的前提是那四個英文字本來就在你腦子裡，你會忘的話就退回上一段那條「$\sin$ 看 $y$、$\cos$ 看 $x$」，那條不會記錯，因為它就是定義本身。😎 遇到大角，實際做法是把它「折」回第一象限，再補一個正負號。折的工具叫參考角：終邊跟 $x$ 軸的夾角。$200^\circ$ 的終邊在第三象限，與 $x$ 軸夾 $20^\circ$，所以三個函數的絕對值都由 $20^\circ$ 決定，符號交給象限：$\sin 200^\circ=-\sin 20^\circ$、$\cos 200^\circ=-\cos 20^\circ$、$\tan 200^\circ=+\tan 20^\circ$。
⚠️ 學長的警告：參考角是「跟 $x$ 軸」的夾角，不是跟 $y$ 軸的夾角。第三、第四象限的角特別容易在這一步畫錯，接著整組正負號跟著錯。
特別角不用重背，用對稱長出來
三十度、四十五度、六十度這三個值你已經有了，剩下所有特別角都是它們對稱出來的。三條對稱規則，對應三種變號，看圖比背表快。
- 對 $x$ 軸對稱：$y$ 變號、$x$ 不動。所以 $360^\circ-\theta$ 的交點是 $(x,-y)$，正弦變號、餘弦不變。
- 對 $y$ 軸對稱：$x$ 變號、$y$ 不動。所以 $180^\circ-\theta$ 的交點是 $(-x,y)$，餘弦變號、正弦不變。
- 對原點對稱：兩個都變號。所以 $180^\circ+\theta$ 的交點是 $(-x,-y)$，正弦與餘弦一起變號，$\tan$ 因為負負相除而維持原值。
拿 $30^\circ$ 的交點 $\left(\frac{\sqrt3}{2},\frac12\right)$ 走一遍：$150^\circ$ 是對 $y$ 軸的鏡像，得 $\left(-\frac{\sqrt3}{2},\frac12\right)$；$210^\circ$ 是對原點的鏡像，得 $\left(-\frac{\sqrt3}{2},-\frac12\right)$；$330^\circ$ 是對 $x$ 軸的鏡像，得 $\left(\frac{\sqrt3}{2},-\frac12\right)$。四個象限一次收完，四組數字只差正負號。$45^\circ$ 與 $60^\circ$ 各再走一次，總共十二個特別角的值全部到手，真正要背的只有第一象限那一列😁。
換你動手
練習 1：用同界角化簡，求 $\sin 390^\circ$ 與 $\cos(-330^\circ)$。 $390^\circ=360^\circ+30^\circ$，與 $30^\circ$ 同界，所以 $\sin 390^\circ=\sin 30^\circ=\frac12$。$-330^\circ+360^\circ=30^\circ$，同樣與 $30^\circ$ 同界；而 $\cos$ 是偶函數（對應到座標就是 $x$ 座標不會被正負角改變），所以 $\cos(-330^\circ)=\cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$。兩個答案都落在 $-1$ 到 $1$ 之間，先不管對錯，這個範圍本身就可以當第一道檢查。 練習 2：某個角的終邊經過 $P(-3,4)$，求 $\sin\theta$、$\cos\theta$、$\tan\theta$。 這點不在單位圓上（$(-3)^2+4^2=25\neq 1$），先算它到原點的距離 $r=\sqrt{25}=5$，把座標除以 $5$ 壓回單位圓：交點是 $\left(-\frac35,\frac45\right)$。所以 $\sin\theta=\frac45$、$\cos\theta=-\frac35$、$\tan\theta=\frac{y}{x}=\frac{4}{-3}=-\frac43$。順手驗一條：$\sin^2\theta+\cos^2\theta=\frac{16}{25}+\frac{9}{25}=1$ ✓，這條在單位圓上永遠成立（畢氏定理），可以拿來檢查有沒有抄錯數字。 練習 3：判斷 $\sin 200^\circ$、$\cos 200^\circ$、$\tan 200^\circ$ 的正負，並寫出 $\sin 200^\circ$ 與 $\sin 20^\circ$ 的關係。 $200^\circ$ 在第三象限，$x<0$、$y<0$，所以 $\sin$ 負、$\cos$ 負、$\tan$ 正。參考角 $200^\circ-180^\circ=20^\circ$，符號交給象限，得到 $\sin 200^\circ=-\sin 20^\circ$。要更具體就按計算機：$\sin 20^\circ\approx 0.342$，所以 $\sin 200^\circ\approx -0.342$，兩邊對得上。
找一張空白紙，畫一個單位圓和兩條座標軸，然後挑三個角寫上去：一個超過 $360^\circ$ 的、一個負的、一個落在第二或第三象限的。三個都畫在同一張圖上，標出終邊跟圓的交點，接著只盯著那兩個座標的正負號，把 $\sin$、$\cos$、$\tan$ 的符號寫在旁邊。畫完你會發現，講義上那張密密麻麻的正負號表格，只是這張圖的側面照。 如果某一條終邊畫出來的位置自己看了都覺得怪，那通常只有兩個原因：轉的方向記反，或是始邊沒有釘在正 $x$ 軸上。把圖拍下來丟給我，我們一起看是哪裡滑掉了。
