威威學長｜研究所備考系列
把目標系所的一份考古題放在桌上，旁邊開著當年度招生簡章。同樣叫電機所或數學所，考科也可能不同；在這一步弄錯範圍，後面的讀書表排得再漂亮都會白忙。
確認範圍後，再看距離考試還有一年、半年，還是三個月。下面的週數與時數都是可調整的範例。我會先用基本題找缺口，再把時間放到「確實要考、現在還不熟」的交集裡。
你考的是哪一種研究所？
| 考試類型 | 數學範圍 | 難度 |
|---|---|---|
| 電機／資工所 | 微積分、線性代數、機率統計、離散數學 | 中高 |
| 數學所 | 微積分（含實分析）、線性代數、抽象代數 | 高 |
| 統計所 | 微積分、線性代數、機率論、統計學 | 中高 |
| 管理／經濟所 | 微積分、線性代數、統計學（偏應用） | 中 |
| 工科其他 | 微積分、線性代數 | 中 |
這張表列的是可能遇到的領域，不是各校固定考科。校系、組別與年度都可能不同，先查招生簡章，再把不考的項目刪掉。
三份計畫怎麼選
| 你的情況 | 建議計畫 | 每天投入時間 |
|---|---|---|
| 基礎差 ＋ 時間充裕 | 一年計畫 | 2-3 小時 |
| 基礎中等 ＋ 時間還行 | 半年計畫 | 3-4 小時 |
| 基礎不錯 ＋ 時間緊迫 | 三個月計畫 | 4-5 小時 |
| 基礎差 ＋ 時間緊迫 | 考慮延後考試，或找一對一指導 | 不適用 |
| 想走純數路線 | 一年計畫 ＋ 純數課表 | 3-5 小時 |
一年計畫：穩扎穩打型
適合還有一年左右、想把定義與基本題重新讀穩的人。別用單一科目的成績字母決定適不適合，先拿幾題實際做過再判斷。
這份計畫留比較多時間補基礎，後面才提高完整試卷的比重。
第 1 至 3 個月：重建基礎
先用考古題確認範圍，但練習主力放在課本基本題，暫時不要求自己限時解完整份試卷。
微積分（每週 10-12 小時）：
| 週 | 主題 | 重點 |
|---|---|---|
| 第 1-2 週 | 極限與連續 | epsilon-delta 定義、夾擠定理、中間值定理 |
| 第 3-4 週 | 微分 | 微分定義、鏈鎖法則、隱函數微分、L'Hôpital |
| 第 5-6 週 | 積分 | Riemann 積分、換元法、分部積分、瑕積分 |
| 第 7-8 週 | 級數 | 收斂判定（比較、比值、根值）、冪級數、Taylor 展開 |
| 第 9-10 週 | 多變數微積分 | 偏導數、梯度、方向導數、重積分 |
| 第 11-12 週 | 向量微積分 | 線積分、面積分、Green／Gauss／Stokes |
線性代數（每週 6-8 小時）：
| 週 | 主題 | 重點 |
|---|---|---|
| 第 1-2 週 | 向量空間 | 子空間、基底、維度、線性獨立 |
| 第 3-4 週 | 矩陣運算 | 逆矩陣、LU 分解、秩 |
| 第 5-6 週 | 行列式 | 性質、計算方法、Cramer's rule |
| 第 7-8 週 | 特徵值與特徵向量 | 對角化、Cayley-Hamilton、Jordan form |
| 第 9-10 週 | 內積空間 | 正交、Gram-Schmidt、QR 分解 |
| 第 11-12 週 | 線性變換 | 核、像、秩-零化度定理 |
每個主題的學習流程：看教科書的定理與證明（不是只看計算）→ 做課本習題 10-15 題 → 做 5 題需要證明的題目 → 整理成一頁筆記（公式＋關鍵定理＋常見考法）。
今天就檢查這 5 個基礎概念：
- 極限的 epsilon-delta 寫法，你能不能不看課本寫出來？
- 微積分基本定理的兩個方向：積分上限函數的導數、用反導數算定積分，你能各舉一題嗎？
- 行列式為什麼是「體積的縮放因子」，不只是一條公式？
- 特徵值的幾何意義是什麼？為什麼對角化之後計算變簡單？
- 線性獨立和「沒有冗餘」是同一件事嗎？
五題有兩題寫不出來，就停下，回去補。
證明題能幫你檢查定義用得準不準。例如連續函數在閉有界區間上取得最大值，若卡在證明，就回頭確認區間的緊緻性在哪一步派上用場。寫不出來不等於整章都沒懂，我們先找缺掉的那一小段。
Rudin PMA 第 4 章可拿來練連續性的證明；Munkres《Topology》則可對照連通與緊緻性的例子。先用自己的話寫出每一步用了哪個定義，比反覆照抄同一頁更能找出卡點。
第 4 至 6 個月：題型歸類
開始碰考古題，方式是按題型拆解：
- 收集目標學校近 5-8 年的考古題。
- 把所有題目按知識點分類。
- 統計每個知識點的出現次數與難度，自己填一張表（格式如下，數字由你統計，不要用別人的）。
- 從最高頻的知識點開始練。
| 知識點 | 出現次數 | 難度 | 你的掌握度 |
|---|---|---|---|
每週結構：
| 日 | 任務 | 時間 |
|---|---|---|
| 週一-三 | 各做 3-4 題特定題型（計時） | 各 90 分鐘 |
| 週四 | 整理本週錯題 ＋ 補觀念 | 90 分鐘 |
| 週五-六 | 交叉練另一種題型 | 各 90 分鐘 |
| 週日 | 複習 ＋ 休息 | 60 分鐘 |
第 7 至 9 個月：實戰演練
開始做完整的考古題，計時模擬，每週 1-2 回。
模擬考試規則：計時比正式考試少 10 分鐘（訓練速度）；不翻書、不查資料；做完立刻對答案；每題標記「做對／做錯／半對／跳過」。
檢討重點：做對的題目是真的會，還是碰巧算對？做錯的題目是概念不會，還是計算失誤？跳過的題目是完全沒想法，還是有想法但時間不夠？
若積分上限函數的微分還分不清內外層，可以回讀黎曼與 FTC，把定理條件和差商證明一起看過，再回來做題。
第 10 至 12 個月：衝刺調整
最後 3 個月，重心從「學新的」轉為「穩住已會的」。
| 任務 | 頻率 | 時間 |
|---|---|---|
| 完整模擬考 | 每週 2 回 | 各 2-2.5 小時 |
| 錯題回練 | 每天 | 30-45 分鐘 |
| 弱點專攻 | 每週 2-3 次 | 各 60 分鐘 |
| 公式／定理複習 | 每天 | 15 分鐘 |
最後一個月優先回練常出錯的基本題，少開新的長篇專題；題型是否常見，仍看你自己整理的考古題。最後一週降低練習量，讓作息接近考試日。
一年計畫最常見的三個錯誤：
- 前三個月把考古題當成每天的主要題源，可能太吃力。可以先拿來辨認範圍，把對應的課本基本題補起來，之後再回頭解。
- 第 4-6 個月「題型歸類」做到後面忘記前面。解法：每週日花 60 分鐘，把本週做過的每種題型各挑一題重做（不是全部，每種一題），確認還記得。
- 第 7-9 個月模擬考不檢討。模擬考真正的價值是做完之後那一小時的檢討；沒檢討的模擬考等於沒做。
到第 6 個月若有主題怎麼練都卡住，先標出卡的是先備概念、證明還是計算，再評估考試權重。高權重的基礎缺口值得找人協助；不在範圍或低優先的延伸，才先往後放。
半年計畫：密集型
適合已讀過主要課程、能做基本題，但還需要整理考法的人。每天 3 至 4 小時是這份範例的預算，不是達標門檻，請按你的課表調整。
核心策略：基礎重建和題型歸類同時進行，把前面的時間壓縮掉。
| 階段 | 時間 | 重點 |
|---|---|---|
| 第 1-8 週 | 基礎 ＋ 題型 | 微積分和線代的基礎重建，同時開始做考古題分類 |
| 第 9-16 週 | 實戰演練 | 每週 1-2 回模擬考 ＋ 錯題訓練 |
| 第 17-24 週 | 衝刺 | 密集模擬考 ＋ 弱點強化 ＋ 考前調整 |
每日時間表：
| 時段 | 任務 | 時間 |
|---|---|---|
| 上午 | 基礎概念複習（看書、定理） | 90 分鐘 |
| 下午 | 題目練習（計時做題） | 90 分鐘 |
| 晚上 | 錯題檢討 ＋ 整理 | 60 分鐘 |
風險提醒：
- 最大的風險是「貪快」。基礎沒打好就去做考古題，等於在練習不會的東西，浪費時間。
- 某個基礎概念真的不懂，寧可多花一週補，也不要硬著頭皮往前衝。
- 如果每天排不出原定的 3 至 4 小時，就先刪低優先的範圍，或延長計畫；別把沒完成的任務無限往後堆。
前 8 週同時讀概念和分類考古題，切換會比較多。把同一主題的課本段落與題目排在同一天，可以少花一點重新找思路的時間。何時變順，仍要看你實際解題的情況。
有些主題需要較長時間才能讀懂。先確認它是否在考試範圍、是否依賴尚未補完的內容，再決定暫緩還是請人帶一遍；不要只因為進度表寫到那週，就把自己當成落後。
每隔一兩週，用同類題回測，再調整計畫。若一直錯在同一個定義，就縮小範圍補那個定義；換一本到手感不同的書，不一定能解決同一個問題。
三個月計畫：衝刺型
適合誰：距離考試只剩 3 個月；基礎不錯（至少聽過所有知識點，只是不熟）；之前準備過但中途停了，現在要重新衝刺。
核心策略：直接做考古題，邊做邊補，不求全面、求重點突破。
| 階段 | 時間 | 重點 |
|---|---|---|
| 第 1-4 週 | 快速掃描 | 每天快速過一個知識點 ＋ 偵測弱點 |
| 第 5-8 週 | 重點攻破 | 只練最高頻的題型 |
| 第 9-12 週 | 模擬考衝刺 | 每天做題 ＋ 每週 2 回模擬考 |
每日時間表：
| 時段 | 任務 | 時間 |
|---|---|---|
| 早上 | 公式／定理快速複習 | 30 分鐘 |
| 上午 | 題目練習（計時） | 120 分鐘 |
| 下午 | 錯題檢討 ＋ 補觀念 | 90 分鐘 |
| 晚上 | 回練前幾天的錯題 | 45 分鐘 |
重點突破清單。三個月不可能全部準備完，你要做的是選擇性放棄：
- 一定要拿到：微積分的基本計算（導數、積分、極限）；線代的矩陣運算、行列式、特徵值計算。
- 盡量拿到：微積分的應用題（最值、面積、體積）；線代的對角化、正交投影。
- 有時間再碰：證明題；跨知識點綜合題。
風險提醒：
- 三個月計畫的成功率取決於你的基礎。連微積分基本計算都不熟，三個月可能不夠。
- 這個計畫的壓力很大，需要每天 4-5 小時的投入，不能中斷。
- 不要想著「全部都要會」。把基礎和中等題練到穩，就已經超過很多人。
三個月計畫要特別留意：
- 每回考古題做完都記下卡住的知識點，避免連做幾回卻沒有回補。
- 模擬考要計時，另外留時間檢查題意、書寫與取捨，不能只練手算速度。
- 考前一週減少新內容，把能補上的錯題處理完，也保留休息。
如果證明題是目標考試的大宗，就不能把它整批放棄。先挑使用基本定義、你有機會補起來的證明；太長的專題題目才暫緩。要刪哪一塊，得看考科權重和剩餘時間。
進階課表：純數一年該讀什麼
若目標是數學所，下面是一份四個領域的排課示例。實際範圍先對照考科，再依底子縮減；這不是「一年一定能讀完四本書」的承諾。進度以定義與習題是否真的掌握為準。
| 學期 | 主軸 | 教科書 | 進度 |
|---|---|---|---|
| 第 1 學期前半 | 實分析 | Rudin《Principles of Mathematical Analysis》（PMA） | 實數、基本拓樸、極限、連續、微分與積分 |
| 第 1 學期後半 | 抽象代數 | Dummit & Foote《Abstract Algebra》 | 群論與環論入門；模另排進度 |
| 第 2 學期前半 | 點集拓樸 | Munkres《Topology》 | 拓樸、連通、緊緻性 |
| 第 2 學期後半 | 複變 | Ahlfors《Complex Analysis》 | 複可微、全純函數與複積分 |
讀法建議：
- Rudin PMA 先確認實數、序列與極限，再讀連續和微分。緊緻性在第 2 章的基本拓樸裡，第 3 章是數列與級數；第 7 章才談函數列與一致收斂。不要因為一張讀書表就跳過前提。
- Dummit & Foote 的群論例子，如整數模 $n$ 的群、置換群，先挑小例子自己算。遇到同態與同構，至少能舉一個例子和一個反例，再往後讀。
- Munkres 的拓樸、連通與緊緻性，可以和 Rudin 的度量空間例子對照。卡住時先回到實數線上的集合，別只抄抽象定義。
- Ahlfors 先把複數、複可微與全純的定義分清楚。Cauchy-Riemann 方程的充分性需要附帶正則條件，不能只背「滿足方程就全純」。
這四本的書目資訊：
- Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976，簡稱 PMA，俗稱「Baby Rudin」，實分析的標準入門。
- David S. Dummit & Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004，代數聖經，群、環、域、模、Galois 全包。
- James R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000，點集拓樸加上基礎代數拓樸，後半部可選讀。
- Lars V. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1979，複變標準本，物理和工程也常用。
第二年的書單：
- 測度論：Folland《Real Analysis》
- 代數拓樸：Hatcher《Algebraic Topology》
- 微分幾何：do Carmo《Differential Geometry of Curves and Surfaces》
- 泛函分析：Rudin《Functional Analysis》（別名 Big Rudin）
第二年的書單是延伸選項，並非備考必讀清單。若目前只需要基本複積分，就先把那一段算熟；準備測度論時，再確認集合、極限與積分的先備知識。
讀 Munkres 後面的代數拓樸，先確認群論工具是否足夠；讀 Galois 理論則先補環、域與域擴張。不要只靠章號跨過中間的內容，不同版本的編排也未必相同。
實分析讀到一半卡住的話，可以回頭看 黎曼與 FTC 把基本定理的直覺補上；幾何的專題坑（九點圓、尤拉線）在 歐拉線與九點圓；複變裡的分支切割與開根號陷阱，複數與根號運算的崩壞 寫過一個典型案例。
走純數路線前，先查目標系所的課程、研究方向、經費與畢業生去向，再和自己的生活安排對照。讀證明需要的時間也和刷計算題不同：同一頁卡很久時，先拆它用了哪些定義、缺哪個例子，不必拿每天的題數跟別人比。
通用建議
教科書選擇：
| 科目 | 推薦教科書 | 用途 |
|---|---|---|
| 微積分 | Thomas' Calculus／Stewart | 基礎重建 |
| 微積分 | Apostol／Spivak | 進階證明 |
| 線性代數 | Gilbert Strang／Lay | 基礎重建 |
| 線性代數 | Hoffman & Kunze | 進階證明 |
| 機率 | Sheldon Ross 的機率教材 | 依程度與考科挑選 |
| 實分析 | Rudin PMA | 研究所入門 |
| 抽象代數 | Dummit & Foote | 研究所入門 |
| 拓樸 | Munkres | 研究所入門 |
| 複變 | Ahlfors | 研究所入門 |
考古題取得：各校招生組網站（免費）；書局的考古題彙編（分學校、分年度）；學長姐流傳的筆記與整理。
每天一定要做的事：動手做題（不是看題、不是想題）；記錯題（不只記正確答案，記你當時怎麼想的）；複習公式（每天 15 分鐘快速過一遍，不要等考前才背）。
不要做的事：不要只看不做；不要跳過證明（現在很多考試會考證明）；不要一開始就做難題；不要和別人比進度。
今天就能做的第一件事：打開目標學校的招生網站，把近 5 年的考古題抓下來（大部分免費）。先不要做題，只做分類：把每一題標上知識點，然後數每個知識點出現幾次。
那張你自己統計出來的表，就是你接下來幾個月的作戰順序：出現最多、你掌握度最低的那一格，明天開始先攻它。
如果你做完發現「出現最多的三個知識點」剛好是你最不想碰的三個，把那個排序和你的時程一起寫下來，寄給我，我們來看看時間夠不夠：一年、半年、三個月的答案會完全不一樣。
