威威學長｜高中數學
$\sin 30^\circ$、$\cos 45^\circ$、$\tan 60^\circ$ 這些值，你從高一背下來之後就可以用一輩子。那張表的問題不在表上，在題目問的角度上：表只列了三個特殊角跟它們的親戚，而 $\sin 75^\circ$、$\cos 15^\circ$ 這種東西不在裡面，偏偏考試很愛出。 $75^\circ$ 與 $15^\circ$ 有一個共同點：它們都能拆成兩個表上有的角相加或相減，$75^\circ=45^\circ+30^\circ$、$15^\circ=45^\circ-30^\circ$。看到這個，第一個念頭通常是「那值是不是也可以照著拆」。 先試一個。$\sin 45^\circ+\sin 30^\circ=\frac{\sqrt2}{2}+\frac12\approx 1.207$。可是 $\sin 75^\circ$ 不可能超過 $1$。用單位圓看，$\sin$ 是交點的 $y$ 座標，圓就那麼大，$y$ 最多到 $1$廣義角與單位圓。所以這個答案在動筆之前就該被丟掉。$\cos$ 那邊更離譜：$\cos 45^\circ+\cos 30^\circ\approx 1.573$，而 $\cos 75^\circ$ 按計算機是 $0.259$，差了六倍左右。 所以拆是要拆，但不是各自拆完相加。真正的公式會把 $\sin(A+B)$ 寫成兩個乘積相加，運算裡混進乘號與交叉相乘的項。這也交代了為什麼「$\sin A+\sin B$」這種寫法救不回來。剩下的問題只有兩個：那幾個乘積項長什麼樣，還有減號藏在哪裡。
從單位圓上兩個點，把差角公式挖出來
最乾淨的那一個是 $\cos(A-B)$，而且它只要兩個工具：單位圓的定義，跟國中學過的距離公式。 在單位圓上取兩個點：$P=(\cos A,\sin A)$ 與 $Q=(\cos B,\sin B)$。這兩個點就是終邊落在 $A$ 與 $B$ 的時候，跟圓的交點。同一條線段 $PQ$，我們用兩種方式量它的長度。 第一種是直接算座標差。距離平方等於兩個座標差各自平方之後相加： $$PQ^2=(\cos A-\cos B)^2+(\sin A-\sin B)^2$$ 展開之後有四個平方項與兩個交叉項： $$PQ^2=\cos^2A-2\cos A\cos B+\cos^2B+\sin^2A-2\sin A\sin B+\sin^2B$$ 把 $\cos^2A+\sin^2A$ 與 $\cos^2B+\sin^2B$ 各自收成 $1$，只剩下： $$PQ^2=2-2\,(\cos A\cos B+\sin A\sin B)$$ 第二種是從圓心 $O$ 看過去。$OP$ 與 $OQ$ 都是半徑，長度都是 $1$；而這兩條半徑的夾角，就是終邊從 $A$ 轉到 $B$ 轉掉的角度，也就是 $|A-B|$。用餘弦定理： $$PQ^2=1^2+1^2-2\cdot 1\cdot 1\cdot\cos(A-B)=2-2\cos(A-B)$$ 同一條線段，兩種算法，答案只能一樣。把兩式擺在一起，兩邊的 $2$ 跟 $-2$ 同時消掉： $$\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B$$ 差角公式就是這樣來的。它不是被某個人發明出來的，是被逼出來的：圓上兩點的距離只有一個值，你從兩個方向去算它，等式就自己浮出來。
👑 威威說重點：$\cos(A-B)=$ 兩塊相乘再相加——$A$ 的餘弦乘 $B$ 的餘弦，加上 $A$ 的正弦乘 $B$ 的正弦。口訣沒有用，但它的來源是「同一條弦，兩種算法」。 如果你們班已經教過向量的內積，這整段可以壓成兩行，我自己就是這樣記的😅。$\vec{OP}\cdot\vec{OQ}$ 用座標展開是 $\cos A\cos B+\sin A\sin B$；用內積的幾何定義則是 $1\cdot 1\cdot\cos(A-B)$。兩邊都是同一個數，等式直接掉下來，一個平方都不用展開。
cos 的減號跟 sin 的加號，是同一件事
有了 $A-B$，要做 $A+B$ 就只是把 $B$ 換成 $-B$。這裡要用兩個對稱性，回到坐標看很清楚：$\cos(-B)=\cos B$（點對 $x$ 軸鏡像，$x$ 座標不變），$\sin(-B)=-\sin B$（$y$ 座標變號）。代進去： $$\cos(A+B)=\cos\left(A-(-B)\right)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$$ 那個減號是從哪裡冒出來的？它來自 $\sin(-B)=-\sin B$，跟 $\cos$ 本身一點關係都沒有。角度是「加」，進去之後只有碰到 $\sin$ 的那一項被翻了符號，碰到 $\cos$ 的那一項完全沒動。這就是為什麼兩條公式看起來符號相反。 $\sin$ 的和角公式借道走另一條路：$\sin$ 跟 $\cos$ 差一個 $90^\circ$ 的位移，$\sin\theta=\cos(90^\circ-\theta)$。於是 $$\sin(A+B)=\cos\left(90^\circ-(A+B)\right)=\cos\left((90^\circ-A)-B\right)$$ 括號裡對 $B$ 來說是一條減法，所以現在可以套剛剛證好的差角公式： $$\cos\left((90^\circ-A)-B\right)=\cos(90^\circ-A)\cos B+\sin(90^\circ-A)\sin B=\sin A\cos B+\cos A\sin B$$ 最後一步只是把 $\cos(90^\circ-A)$ 換回 $\sin A$、$\sin(90^\circ-A)$ 換回 $\cos A$。注意這條路上沒有再出現負號：原本的加號先被寫成「減一個 $B$」，減號進去之後遇到差角公式自己的加號，兩者互相抵消，出來還是加。 所以那句常被問的話，「$\cos$ 那條為什麼括號裡是加、展開是減」，答案是：$\cos$ 直接吃到減號，$\sin$ 繞了一趟，把減號用掉了。順便把 $\sin(A-B)$ 補齊：把 $B$ 換成 $-B$，得 $\sin(A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B$。四條公式一起看，規律很短：$\sin$ 的角度與展開同號，$\cos$ 的角度與展開反號。
⚠️ 學長的警告：四個項裡的角度都是分開的，$\sin A\cos B$ 中間不會再出現 $A+B$。另外，遇到 $\sin 2\theta$ 要拆，拆法是 $\sin(\theta+\theta)=2\sin\theta\cos\theta$，不是把 $2$ 提出來塞在 $\sin\theta$ 前面。
tan 沒有自己的公式，它是除出來的
$\tan$ 就是 $\frac{\sin}{\cos}$，所以它的和角公式不用另外證明，把除法做完就自己長出來。從 $\tan(A+B)=\frac{\sin(A+B)}{\cos(A+B)}$ 出發，分子與分母同時除以 $\cos A\cos B$： $$\tan(A+B)=\frac{\dfrac{\sin A\cos B+\cos A\sin B}{\cos A\cos B}}{\dfrac{\cos A\cos B-\sin A\sin B}{\cos A\cos B}}=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}$$ 同理把 $B$ 換成 $-B$，得到 $\tan(A-B)=\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\tan B}$。分子跟角度同號，分母跟角度反號。 這裡有一個可以自己動手檢查的點。當 $A+B=90^\circ$ 的時候，$\tan(A+B)$ 根本不存在（$\cos 90^\circ=0$，除不動），而此時 $\tan A\tan B=1$，公式的分母 $1-\tan A\tan B$ 剛好變成 $0$。公式爆掉的位置，跟函數斷掉的位置是同一個。這種「兩邊一起壞掉」的巧合，是檢查一條公式有沒有抄錯最快的辦法。
用這兩條公式，把 sin 的週期證明完
課本說 $\sin$ 的週期是 $2\pi$，這句話其實有兩半：$2\pi$ 是週期，而且沒有比它更小的正週期。兩半都能用剛剛的公式收掉。 前半段一行就結束。把 $\theta+2\pi$ 丟進和角公式： $$\sin(\theta+2\pi)=\sin\theta\cos 2\pi+\cos\theta\sin 2\pi=\sin\theta\cdot 1+\cos\theta\cdot 0=\sin\theta$$ 其中 $\cos 2\pi=1$、$\sin 2\pi=0$，那是單位圓繞完一整圈回到 $(1,0)$ 的結果。所以 $2\pi$ 確實是一個週期，$\cos$ 那邊同理。 後半段（沒有更小的）課本常常跳過，但它只有三行。假設存在某個 $T>0$，讓 $\sin(\theta+T)=\sin\theta$ 對所有 $\theta$ 都成立。取 $\theta=0$，得 $\sin T=\sin 0=0$，所以 $T$ 只能是 $\pi$ 的整數倍。再取 $\theta=\frac{\pi}{2}$，左邊是 $\sin\left(\frac{\pi}{2}+T\right)=\cos T$，右邊是 $\sin\frac{\pi}{2}=1$，所以 $\cos T=1$，$T$ 只能是 $2\pi$ 的整數倍。兩個條件同時要滿足，$T$ 就只剩 $2\pi,4\pi,6\pi,\dots$，最小的正數是 $2\pi$。 這一小段值得看的不是結論，是方法：先找到一個週期，再排除比它小的。以後遇到 $\sin 2x$ 或 $\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ 這種函數要問週期，走的還是同一條路：「找到一個」跟「證明沒有更小」是兩件事，很多解答只做前一件就交卷了。
換你動手
練習 1：用和角公式求 $\sin 75^\circ$ 與 $\cos 75^\circ$ 的精確值。 $75^\circ=45^\circ+30^\circ$。$\sin 75^\circ=\sin 45^\circ\cos 30^\circ+\cos 45^\circ\sin 30^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$。$\cos 75^\circ=\cos 45^\circ\cos 30^\circ-\sin 45^\circ\sin 30^\circ=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$。驗算：$\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\approx\frac{2.449+1.414}{4}\approx 0.966$，跟計算機的 $\sin 75^\circ\approx 0.966$ 對得上；$\cos 75^\circ$ 那個 $\frac{1.035}{4}\approx 0.259$ 也對得上。要注意 $\cos$ 那條的減號，寫成加號答案會變成 $1.573$，馬上就超界了。 練習 2：求 $\tan 15^\circ$ 的精確值。 $15^\circ=45^\circ-30^\circ$，所以 $\tan 15^\circ=\frac{\tan 45^\circ-\tan 30^\circ}{1+\tan 45^\circ\tan 30^\circ}=\frac{1-\frac{1}{\sqrt3}}{1+\frac{1}{\sqrt3}}$。分子分母同乘 $\sqrt3$ 得 $\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}$，再乘 $\sqrt3-1$ 把分母有理化：$\frac{(\sqrt3-1)^2}{3-1}=\frac{4-2\sqrt3}{2}=2-\sqrt3$。數值大約是 $0.268$，跟計算機的 $\tan 15^\circ$ 一致。順手檢查分母：$1+\tan 45^\circ\tan 30^\circ\approx 1.577$，離 $0$ 很遠，這題不會踩到斷點。 練習 3：$A$、$B$ 都是銳角，$\sin A=\frac35$、$\cos B=\frac{5}{13}$，求 $\sin(A+B)$、$\cos(A+B)$，並判斷 $A+B$ 是否大於 $90^\circ$。 兩個角都在第一象限，所以 $\cos A=\frac45$（$3$、$4$、$5$ 直角三角形）、$\sin B=\frac{12}{13}$（$5$、$12$、$13$）。於是 $\sin(A+B)=\frac35\cdot\frac{5}{13}+\frac45\cdot\frac{12}{13}=\frac{15+48}{65}=\frac{63}{65}$，$\cos(A+B)=\frac45\cdot\frac{5}{13}-\frac35\cdot\frac{12}{13}=\frac{20-36}{65}=-\frac{16}{65}$。$\cos(A+B)$ 是負的，而 $A+B$ 又不可能超過 $180^\circ$（兩個銳角相加最多接近 $180^\circ$），所以 $A+B$ 落在第二象限，確實大於 $90^\circ$。這題的關鍵是「判斷大於 $90^\circ$」要靠 $\cos$ 的正負，$\sin$ 在這個範圍裡一直是正的，幫不上忙。
今天找一張紙，把四條公式（$\sin$ 與 $\cos$ 的和、差）寫下來，然後蓋住課本，自己把 $\sin(A+B)$ 重推一次。卡住的地方幾乎都在 $\sin\theta=\cos(90^\circ-\theta)$ 這個換裝動作，那一步過了，剩下的全是代數。 推完之後再花一分鐘，用 $\theta=0$ 或 $B=0$ 這種極端值檢查每一條：把 $B=0$ 代進 $\cos(A+B)$，應該要得到 $\cos A$ 而不是別的。這種檢查一分鐘，可以省下考場上重新推一次的五分鐘。有哪一條你自己推出來但總覺得哪裡怪，把那幾行拍給我，我們一起看是卡在對稱性還是展開。
