從國中到研究所——用題型地圖與邏輯訓練，把「會」變成「穩定拿分」。每個觀念都用最直白的方式講，不只丟公式叫你背——重點是搞懂「為什麼這樣算」。
|x-2|<3 拆出來是 -1<x<5，一個區間。|x-2|>3 拆出來是 x>5 或 x<-1，兩段。 同樣一個絕對值，一邊變成「而且」（同時符合兩個條件），另一邊變成「或者」（符合其中一個就好）。這兩個字一差，答案的形狀就完全不同：一個是一段，一個是兩段。很多人是靠背的：小於拆成中間、大於拆成兩邊。背下來也能用，但只要題目換成 |x-2|>x 這種右邊也是變數的，那條口訣就沒東西可套了。 會卡…
2026-10-12所以冰淇淋會讓人溺水嗎？當然不是。 這個例子在統計課本裡出現幾十年了，因為它最短、最乾淨地展示了問題：兩件事一起變動，不代表其中一件造成另一件。背後還有第三個東西，就是天氣熱。熱會讓人想吃冰，熱也會讓人下水，而下水才會增加風險。那個第三個東西在推著兩邊走。 混淆：相關消失之後剩下什麼 把「天氣熱」這種變數叫做混淆變數。它必須同時滿足兩個條件：會影響你以為的原因，也會影響結果。 冰淇淋與溺水這個例子…
2026-10-12y=(2x+1)^10。冪次律你會，微分的定義你也會，但你手上這個東西是「某個東西的十次方」，而那個東西本身又是 x 的函數。硬算做得到：把 (2x+1)^10 展開成十一項再逐項微分。只是你不會想做第二次😅。 連鎖律給出 y'=20(2x+1)^9。那個 20 拆開是 10×2：10 來自十次方，2 來自裡面的 2x+1。 如果口訣背得出來，卻不知道最後為什麼要乘 2，先把兩層分開。接下來每一…
2026-10-12把 √(-4)·√(-9) 寫在紙上。兩個根號擺在一起，很容易順手把裡面的數乘起來： 右邊的 √(36)=6 沒算錯。出問題的是問號那一步：兩個根號可以這樣合併嗎？ 先別急著擦掉整行，我們換一條路算同一題。令 i 為虛數單位，滿足 i^2=-1。採用負實數平方根的主值約定，√(-4)=2i、√(-9)=3i，所以 一個算出 6，一個算出 -6。這個負號就卡在 i^2 裡，先把根號合起來會把它漏掉�…
2026-01-13f(x)=x^2、g(x)=x+1。那 f(g(x)) 是什麼？ 把 g(x) 當成一個整體，塞進 f 的洞裡：f(g(x))=(x+1)^2。反過來 g(f(x))=x^2+1。兩個答案不一樣，這件事不意外，但它常常在題目裡被忽略，尤其是在處理定義域的時候。 真正容易出事的地方不是公式，是哪個函數先動，以及內層的值域有沒有落在外層的定義域裡。 順序決定了什麼 f(g(x)) 的意思是：先把 x …
2026-10-12於是有同學舉手問我：「學長，分母那兩坨根號到底是來幹嘛的？為什麼分子分母長得這麼像？而且算完一定卡在 -1 跟 1 之間，這是誰規定的？」😎 這三個問題，今天一次講清楚。聽完你會發現這條公式根本不用背，你自己就寫得出來。 一、散佈圖只能「看」，不能「算」 兩個變數放在一起，第一步當然是畫散佈圖。點從左下往右上爬，我們說「正相關」；從左上往右下溜，叫「負相關」；散得像一盤倒出來的彈珠，就是「沒什麼…
2026-09-13sin^2θ=(1-cos 2θ)/(2)。 第一次看到這個式子的人通常有兩個反應。第一個是「為什麼右邊冒出了一個 2θ」；第二個是「左邊明明比較短，幹嘛換成右邊那麼長」。 第二個問題問得很好，因為它其實是整套三角函數裡最實際的一件事：次方和兩倍角是可以互換的，而且是同一個恆等式的兩個方向。 什麼時候換、換哪一邊，取決於你接下來要做什麼。 二倍角公式先出來 二倍角公式不是新的，它是和角公式取 A=…
2026-10-12√(5+2√(6))。裡面的 5 和 2√(6) 怎麼配都配不出乾淨的東西，看起來就是一個化簡不下去的無理數。 但它等於 √2+√3。驗一下：(√2+√3)² = 2+3+2√6 = 5+2√6，對得上。所以那個看起來拆不開的東西，其實是兩個乾淨根號的平方。 這類題目在課本裡都配得很好，每一題都拆得開。可是你自己拿一個 √(5+2√5) 來試，怎麼配都配不出來，然後開始懷疑是不是自己算錯。你沒算錯…
2026-10-12三角形 A(0,0)、B(6,0)、C(2,4) 的三個「心」算出來是 G=((8)/(3),(4)/(3))（重心）、O=(3,1)（外心）、H=(2,2)（垂心）。三個點畫在同一張紙上，它們沒有散開，剛好排在同一條直線上，而且 OG:GH=1:2。 這條線叫歐拉線（Euler line）。接下來把三個點的位置寫成向量，就能看見比例 1:2 的來源，不必靠圖畫得準不準😎 三角形的四個心 歐拉在…
2026-03-018×4=32，這題當然不用對數也算得出來。先把這三個數換個寫法：8=2^3、4=2^2、32=2^5。原本的乘法就變成 底數一直是 2，指數則從 3、2 加成 5。對數把注意力放在這些指數上：log_2 8=3，讀成「2 要取幾次方才得到 8？」 所以 log_2 8+log_2 4=log_2 32。這個加號有來歷，先記住眼前的 3+2=5，等等看一般式就不會只剩符號🙂 定義旁邊的條件也要讀 …
2026-10-12把 y=2^x 和 y=log_2 x 畫在同一張紙上，兩條線不會碰到。2^x 從左下角貼著 x 軸爬起來，log_2 x 從 y 軸右側往右走但爬得很慢，它們最近的時候還是隔著一段距離。 把底數換小一點。a=0.3 的時候，y=0.3^x 和 y=log_0.3x 都是往下走的，這兩條線會碰到，而且只碰到一個點。 再換小。a=116 的時候，它們碰到三個點。 同一個題目，答案是 0、1、3。這種…
2026-10-301+2+⋯+10=55 是手指頭數得完的範圍。換成 1^5+2^5+⋯+10^5，答案是 220825，就開始需要一點技巧了；等到 n=100，一項一項加根本寫不完，你只能去找封閉解。 麻煩的是課本要你背的封閉解不只一條：平方和一條、立方和一條、四次方和一條，p 每加一就多一條。十七世紀有位德國人叫福爾哈貝（Johann Faulhaber），他做的事就是把這一整排公式收進同一條式子裡。 從一加到…
2025-11-20公式是對的，但如果你跟我一樣，每次都在「到底往左還是往右、到底是幾分之幾」上面打結，那這篇是為你寫的。 是不是有這些疑問？給了 y=sin(2x-(π)/(3))，為什麼有人說往右 (π)/(3)、有人說往右 (π)/(6)，兩個都講得理直氣壯？只給你半個週期的圖、標了波峰跟波谷的座標，要你反推 A、ω、φ、B，到底該從哪一格開始？還有那種四個圖給你挑的選擇題，難道真的要一個一個畫出來？🙃 今天…
2026-10-12sin 30^∘=(1)/(2)、sin 45^∘=(√2)/(2)、sin 60^∘=(√3)/(2)，這三個值你大概從國三背到高一，靠的是同一張圖：一個直角三角形，斜邊分之對邊。這套算法門檻很低，一把尺就夠。 然後到了高二，課本開始畫正弦函數的圖形，從 0 拉到 2π。那條線過了 90^∘ 之後還在動，一路往下，甚至整段掉到 x 軸下面。看圖不難，難的是你心裡那個定義撐不住：120^∘ 的對邊…
2026-10-12把目標系所的一份考古題放在桌上，旁邊開著當年度招生簡章。同樣叫電機所或數學所，考科也可能不同；在這一步弄錯範圍，後面的讀書表排得再漂亮都會白忙。 確認範圍後，再看距離考試還有一年、半年，還是三個月。下面的週數與時數都是可調整的範例。我會先用基本題找缺口，再把時間放到「確實要考、現在還不熟」的交集裡。 你考的是哪一種研究所？ 這張表列的是可能遇到的領域，不是各校固定考科。校系、組別與年度都可能不同，…
2025-12-17最適直線的係數有現成的公式：斜率 a=r(S_y)/(S_x)，截距 b=ȳ-ax̄。把它們算出來，最小平方問題就結束了，一行都不用迭代。 既然這樣，為什麼機器學習的書幾乎每一本都要花一整章講梯度下降？ 因為那一行公式是特例。它之所以存在，是因為最小平方的損失函數長得很乖，可以直接反解出答案。換一個損失函數、換一個模型，通常就沒有這種好事了。梯度下降是那種時候的通用做法。 核心圖像：摸黑下山 想…
2026-10-12一場「去單位化」的革命｜➡️ 下一篇：振幅、中線、對稱軸、對稱中心 課本講到圖形變換，標準動作是丟給你一張密密麻麻的表：左移右移、上移下移、壓縮伸長，每一格還配一句「口訣」。老實說，段考題硬背那張表也能過😅。 但背的時候，你心裡是不是有幾個解不開的結？為什麼往右移是「減」不是「加」？為什麼「先壓縮再平移」跟「先平移再壓縮」答案會不一樣？還有那題經典的：y=sin(2x+(π)/(3)) 到底左移…
2026-10-12課綱沒教但會考的三角… 課本講到 y=Asin(ω x+φ)+B，標準動作是把四個參數的意義整理成一張表，然後直接跳進例題：「看圖，求 φ。」老實說，段考題照著那張表填，大部分時候真的會對😅。 可是你心裡是不是也卡過這幾題？為什麼同一條曲線，A 寫正的也通、寫負的也通？為什麼圖形明明穿過中線，你算出來的 φ 老師卻說「差了一個 π」？還有那個上下平移，什麼時候要加、加了又該加多少？🙃 今天我們…
2026-10-12(x-1)(x-2)^2(x-3)>0。 課本教你畫一條數線、標出 1、2、3，然後從右邊開始畫一條曲線穿過去：奇次方的根穿過去，偶次方的根彈回來。圖畫完，看哪幾段在 x 軸上方，答案就出來了。 但為什麼偶次方要彈回來？「彈回來」這個動詞聽起來像是圖形真的會轉彎，實際上你畫的那條線根本不存在，它只是符號的示意圖。真正的理由完全不需要圖，只要看一件事：那個因式會不會變號。 變號的只有一種因式 整條乘…
2026-10-12這篇講的是我帶學測數學衝刺班的方式：不是那種「從頭教你」的補習班模式，是針對性的、以成績為導向的一對一衝刺。 如果你想要的是一個「有人幫你規劃、盯你進度、幫你找出你看不到的問題」的教學模式，繼續看下去。 誰適合這個課程？ 你適合，如果你是： 高二升高三的暑假，想提前開始準備學測數學 高三上學期，數學成績在 8-12 級分之間，想衝到 14 級分以上 模擬考成績不穩定，好一次壞一次 有在讀書，但「不…
2026-01-16假設離學測還有 12 週，你翻開最近幾份考卷，發現同一類題目一再出錯。先把那幾題圈起來：這份計畫就從你手上的錯題開始，不替你假設「讀過幾遍就一定會」🙂 下面的時數、題量和週進度都是可調整的示例，不保證某個級分。先確認當年度數學 A 或 B 的範圍，估一估每天可用的時間，再把任務排進去。 我會替動筆和檢討各留一段時間。看概念有它的必要，但若整個晚上都在看詳解，就蓋住其中一題重做，確認自己能走到哪一…
2026-01-23條件只有一句：這個不等式的解是 x>-2，求 a。 左邊是「小於」，解集卻寫成 x>-2。把係數除過去時，不等號反向了，所以 a-1<0；a-1=0 只會得到恆成立的 0<6，也不合題意。於是 驗算：a=-2 時原式是 -3x<6，即 x>-2 ✓。 這題先用不等號方向判斷 a-1<0，再用端點 -2 求 a。如果一開始就除以 a-1 卻不管正負，後面的答案很容易朝反方向走😅 括號裡塞一整條 5…
2026-09-02為什麼一定要除以標準差｜➡️ 下一篇：斜率與相關係數的關係，以及「向平均數迴歸」 散佈圖上有 5 個點，你想拉一條線穿過它們。手一動就是一條，換個角度又可以再拉一條，而且每一條看起來都「差不多貼」。 紙上可以畫出無限多條線，憑什麼說某一條最好？要回答這個問題，得先把「好」翻譯成一個能比大小的數字。所以第一步其實不是找線，是定義誤差。 假設心裡已經有一條線 ŷ=ax+b。對每一筆資料，把它的 x …
2026-09-16課本沒說😅 那條公式是怎麼冒出來的？為什麼分子偏偏是「離均差相乘再相加」、分母偏偏是「離均差的平方和」？還有：就算承認它是讓斜率歸零的那個解，憑什麼說它是最小，而不是最大、或者只是個鞍點？推一次大概十分鐘，而且推完你會多知道一件事：這個解到底是極小、極大、還是鞍點。 把「最適」寫成一個能微分的函數 「最適直線」四個字很抽象。要動手算，得先把「適」翻譯成數字。 我們有一組資料 (x_1,y_1),…
2026-10-01推是推出來了，可是推完手上只剩一堆 Σ，心裡大概只有一種感覺：「原來要這樣算」，至於「原來它在幹嘛」，還說不上來😅。（還沒看過的話，先回頭讀最適直線的微積分證明，兩條路對照著看更有味道。） 比如：課本一直說殘差要「正交」於行空間，那個正交到底在正交什麼？為什麼殘差一旦垂直，方程就解得出來？還有最玄的一條：(∂ S)/(∂ b)=-21,e，偏微分和內積這兩樣看起來八竿子打不著的東西，怎麼會是同一…
2026-10-04拿直線 y=x+k 去切拋物線 y=x^2。k=0 時，交點是 (0,0) 和 (1,1)。把直線往下移，也就是減小 k，兩個交點會靠近，碰在一起後消失。 碰在一起時 k 是多少？我們把兩條式子聯立，看看交點的座標在哪一步變成方程式的根。 交點就是「同時滿足」 一個點要在兩條圖形上，它的座標就得同時滿足兩個方程式。所以把兩式中的 y 消掉，剩下的方程式，它的每個實根就對應一個交點。 現在問題變成：…
2026-10-12你第一次看到矩陣乘法的規則，反應大概是「這是誰規定的」。左邊的列去配右邊的行、一項一項乘再加起來、結果放在對應的格子裡。相比之下，矩陣的加法和純量乘法都好相處得多，直接逐項加、逐項乘，一眼就懂。 為什麼單單乘法要這麼麻煩？ 因為那條規則不是被規定的。它是一個被逼出來的結果：如果你希望「先做一個變換、再做一個變換」剛好等於「把兩個矩陣乘起來」，那乘法的算法就只能長那樣。換句話說，不是矩陣乘法發明了那…
2026-10-12多元迴歸的係數不能這樣讀。它多了一個但書，而那個但書不只是一句客套話，它會實際改變係數的大小，甚至改變正負號。 但書是什麼 模型長這樣： b_1 的完整意思是：在 x_2、x_3……都固定不變的前提下，x_1 每增加 1 單位，y 平均增加 b_1。 「其他變數固定」這幾個字，是多元迴歸跟單迴歸唯一但最要緊的差別。 為什麼一定要有這個但書 因為解釋變數之間通常彼此相關。看一個具體的假設情境（底下是…
2026-10-12｜➡️ 下一篇：多項式的「顯微鏡」與三次函數的對稱中心 除以 x-1 餘 5、除以 x+2 餘 11、除以 x-3 餘 -9。要找除以 (x-1)(x+2)(x-3) 的餘式，先把餘式定理用上： 除以 x-1 餘 5 ⟹ f(1)=5 除以 x+2 餘 11 ⟹ f(-2)=11 除以 x-3 餘 -9 ⟹ f(3)=-9 所以題目真正在問的是：一個二次多項式（餘式次數必須小於 3，最高二次）要通…
2026-09-10在單變數的世界裡，切線斜率永遠只有一種答案。你在圖形上選定一個點，沿著 x 軸往右走，函數值怎麼變就是怎麼變，沒有第二個方向可以挑，所以一個題目只會吐出一個數字。 山坡不吃這一套。想像一下你站在一座小山丘上，手上有兩支測坡度的儀器，一支往正東量，一支往正北量。同一個位置，兩支的讀數通常不會一樣：往東也許還在爬，往北已經緩下來，繞到另一側甚至變成下坡。這裡的麻煩不在計算，在詞彙。只說「這裡的坡度是 …
2026-10-12威力彩的玩法是從 1 到 38 號選 6 個，再從 1 到 8 選 1 個當第二區。頭獎機率是 約兩千兩百萬分之一。這只算「單注全中頭獎」的機率，沒有計入其他獎項、稅額或多人均分，不能拿這個分母直接當整張彩券的期望值。 先看選號這件事：同樣六個號碼，寫的順序換了仍是同一注。這就是用組合數的理由。我們先把「什麼算同一個結果」講清楚，再選公式🙂 換個順序，還算同一個結果嗎 這兩個公式假設物件彼此不同…
2026-04-28｜➡️ 下一篇：頂點、開口與那個 a<0 的陷阱 課本把 y=x^3-x^2-x+3 好好地改寫成 y=(x-2)^3+5(x-2)^2+7(x-2)+5。看到這一步，很多人的反應是：曲線本來局部看就像直線啊，幹嘛要多此一舉換成 (x-2)？ 這一問，剛好問到整個單元最核心的一個觀念。 「局部像直線」是曲線的事，跟你怎麼寫無關 先給這個直覺拍拍手 👏。它完全對：一條平滑曲線，你拿放大鏡對準任何一…
2026-09-11用直線去配，殘差沒有隨機散開，它會「中間一段全偏一邊、兩端偏另一邊」：這種有系統性的殘差，是模型形狀不對的訊號。 於是你加了一個 x^2 項。殘差立刻變小，圖看起來也順了。 問題是：繼續加呢？加到 x^5、x^10，殘差還會更小。那什麼時候該停？ 原則沒有變，只是多了一個參數 多項式迴歸用的還是最小平方法，同一條原則：讓殘差平方和 Σ(y_i-ŷ_i)^2 最小。差別只在你用來預測的那條式子變長…
2026-10-12先說一句實話：多項式這一章，課本把它拆成一堆看起來不相干的技術：餘式定理、因式定理、不等式、圖形平移。你一個一個背，會覺得很散😅 但其實它們是同一件事的不同角度：你在研究一個多項式的「長相」。它在哪裡是零、它的圖形長什麼樣、什麼範圍內是正的。學會這幾招之後，多項式就是一個你看得懂的東西。 所以學長把這 7 篇整理成一條線，從最基本的工具一路走到會考常考的逆推題。 🗺️ 閱讀地圖 第一部｜核心工…
2026-10-12你要描述這些點在哪裡，得同時報出 x 座標和 y 座標，兩個數字。但用眼睛看就知道這件事很浪費：那朵雲幾乎是沿著一條斜線攤開的，只要知道它在那條斜線上的位置，就大概知道它在哪了。 主成分分析（PCA）做的就是把那條斜線找出來。 找「散得最開」的那個方向 先講清楚它在找什麼：一個方向，讓所有點投影到這條線上之後，彼此散得最開。 為什麼是「最開」？因為散得開代表資訊多。如果某個方向上所有點都擠在一起，…
2026-10-12y=x^2-4x+3 和 y=(x-2)^2-1。展開來是同一個式子、畫出來是同一條拋物線，但第二個寫法你掃一眼就知道它在哪裡轉彎：頂點 (2,-1)、開口朝上。第一個寫法你得先動筆算 (-b)/(2a) 才會知道同樣的事。 課本把「從第一種寫成第二種」叫配方法，然後給步驟：一次項係數一半的平方，加進去再減掉。這招照著做不會錯，但看起來很像憑空發明的一個技巧。其實頂點的座標本來就藏在原式裡面，配方…
2026-10-12題目若給幾張圖形要你判斷可能性，可以從配方下手。 先把頂點位置與開口方向分開看，不急著替 a,b 猜數字。 配方之後，頂點的位置跟 a 有多大無關 先配方：f(x)=a(x-1)^2+b-a。頂點直接讀成 (1,b-a)；若用公式，記得本題已假設 a≠0，才能除以 2a。 頂點的 x 座標：-(-2a)/(2a)=1（固定的！跟 a 多大無關） 頂點的 y 座標：f(1)=a-2a+b=b-a 題…
2026-09-02y=x^2-4x+3。配方得 (x-2)^2-1，頂點 (2,-1)，所以最小值是 -1。這題每個人都會。 換一題：同一個函數，但限制 3≤ x≤5。 如果你還是回答「最小值 -1」，那就錯了，因為 x=2 根本不在 3 到 5 之間，你算的那個最低點不在允許的範圍裡。在 3≤ x≤5 上，函數一路往上爬，最小值發生在 x=3：f(3)=9-12+3=0。 同一個函數、同一條拋物線，只是換了範圍，…
2026-10-12把後面那個近似值平方，得到約 0.600005，跟 0.6 的差只來自捨入。 決定係數 R^2 從迴歸的平方和算出來，相關係數 r 則從離均差的乘積算出來，為什麼結果會對上？把資料各自減掉平均後，就能用兩條向量的夾角解釋：r=cosθ，而 R^2=cos^2θ。R^2 仍是統計量，角度給了我們另一種讀法。 先約定條件：這篇用同一批資料做含截距的簡單線性最小平方法迴歸，x、y 都不是常數。缺少截距，…
2026-09-28老實說，如果只是要應付段考，這樣背真的夠用😅。 但每次教到這裡，我心裡都會冒出幾個小小的問號：好端端的 360 不用，為什麼要換成一個看起來醜醜的 π？那個「1 弧度大約 57.3 度」是誰規定的？而且最詭異的是，換過去之後，弧長、面積、微分、極限，一整排公式突然全部變漂亮。這中間是不是有人在偷偷幫我們？😎 今天我們就來聊聊弧度量。我們會發現，弧度根本不是「另一種量角度的單位」，它是一個把單位…
2026-10-12√(x^2-25)>x-1。敢不敢兩邊直接平方？平方得到 x^2-25>(x-1)^2，解出 x>13。數字乾淨漂亮，但答案是錯的：x≤ -5 那整段憑空消失了。 這裡少的是平方前的正負判斷。右邊 x-1 可以為負，不能把原不等式和平方後的不等式直接當成同一個條件😅 為什麼平方會出事 平方會丟掉正負號資訊，先看這個簡單的例子： 一個明明成立的「大於」，平方後竟然變「小於」。所以規則很簡單：只有兩…
2026-09-02有一條捷徑叫「比較係數」：既然兩個式子的解區間一樣，那就假設它們成比例，把係數對一對收工。它快，但它有前提。前提不成立的時候，它會無聲無息地給你錯答案。 先把題目整理乾淨 第一步永遠一樣：全部移到同一邊，通分。 分子展開別急，一步一步來：(bx+1)(x-1)=bx^2-bx+x-1，所以 ax-(bx^2-bx+x-1)=-bx^2+(a+b-1)x+1。對。 快路：根與係數（有條件） 解區間的…
2026-09-14真實工作不會這樣做，一行程式就解決了。 但第一次寫迴歸的程式，最危險的地方不是寫錯，而是跑出數字就相信它。程式不會告訴你它有沒有搞錯係數順序、有沒有用錯分母；它只會很篤定地印出一個數字。 所以這篇的做法是：先挑一組小到你可以手算的資料，把電腦算出來的每一個數字都跟手算的答案對一次。對上了，你才有資格相信它在別的資料上也對。 先挑一組可以對帳的資料 這組資料的手算答案（x̄=3、ȳ=4，所以 Σ(…
2026-10-13兩條迴歸線… 同一組資料，x 的單位從「小時」換成「分鐘」，最適直線的斜率就從 2 掉到 0.033。兩個數字都對，線也還是同一條線，變的只是單位。 而另一種東西完全不動：換單位前後，相關係數一模一樣。這兩件事擺在一起，就會逼出一條式子，它順便還解掉統計學裡最被誤解的一句話：「向平均數迴歸」。 這條式子不是巧合 n 筆資料 (x_1,y_1),(x_2,y_2),ṡ,(x_n,y_n)，平均記作…
2026-09-19x^200 除以 x^2+x+1，直接長除會留下很長一串計算。先觀察除式：乘上 x-1，剛好得到 x^3-1。 下面的 (x) 表示「除以 D(x) 後餘式相同」。這裡的 D(x)=x^2+x+1： 然後把 x^200 拆開： x^2 跟除式一樣是二次，還不能當最後的餘式。再用 x^2≡-x-1 降一次，才得到 -x-1。看到次方變小很容易就想停筆，這裡再多看一眼次數😅 那為什麼能拿 1 替換 …
2026-09-02兩條迴歸線…｜➡️ 下一篇：SSE 偏微分與 Hessian 最小值檢定 一條配好的迴歸直線，報告裡寫著 R^2=0.6。這個數字不算漂亮，但也不算難看，多數人看到這裡就收工了。 可是把殘差一個一個算出來、按 x 的順序排成一列，你可能會看到它們不是亂的：左邊負、中間正、右邊又負。那是一個倒 U 的形狀。 R^2 完全不會告訴你這件事。它是把所有殘差平方後加總起來的一個數字，加總這個動作會把「排列…
2026-10-13算 ∫_0^3 x^2 dx：找反導數 F(x)=(x^3)/(3)，代上下限相減，答案是 9。三行結束。 但如果不知道反導數長什麼樣，你只能回到定義硬算： 到這裡還得先知道 Σ_i=1^ni^2=(n(n+1)(2n+1))/(6)（這正是 Faulhaber 公式 的特例之一）才有辦法往下走。同一題，一條路三行，另一條路十幾行。 微積分基本定理（Fundamental Theorem of C…
2025-12-15開車的時候儀表板上至少要看兩個數字：時速與加速度。時速告訴你車子現在跑多快，加速度告訴你這個速度自己在變大還是變小。只看時速會漏掉一整個維度，因為「速度 100 正在增加」和「速度 100 正在減少」是兩種完全不同的處境。 函數的圖形也有同樣兩層資訊。一階導數講的是函數值怎麼變，二階導數講的是「一階導數自己在怎麼變」。你已經很會用 f'(x)=0 找出圖形上「平的地方」，也會左右各代一個數字確認那…
2026-10-12公式都是對的，段考硬背也不太會出事。 可是背的時候，你心裡是不是有幾個小小的聲音？振幅為什麼要掛絕對值，直接寫 A 會怎樣？中線那條公式怎麼長得那麼像「平均數」？對稱軸那個 x=((π)/(2)+kπ-φ)/(ω)，ω 為什麼只除一次、而且還除在最後？還有最實際的那句：這四條，考場上到底要背幾分鐘才寫得完？🙃 今天我們就來聊聊這四個特徵。我們會發現它們其實只有兩類，分清楚之後，公式在考場上三十秒…
2026-10-12先講一件很現實的事。課本講到「數據分析」這一章，流程大概是這樣：散佈圖畫一畫，相關係數那條公式抄下來，最適直線的 a、b 再抄一組，然後開始算例題。老實說，段考想拿分，這樣真的夠了😅。公式背熟一點，題目照樣全對，看起來一切都很和平。 可是你心裡是不是有幾個問號卡在那裡？😎 比如：r 算出來是 0.86，然後呢？這數字到底算「很強」還是「還好」？那條「最適直線」，到底是誰規定它「最適」的？我如果…
2026-10-12sin 30^∘、cos 45^∘、tan 60^∘ 這些值，你從高一背下來之後就可以用一輩子。那張表的問題不在表上，在題目問的角度上：表只列了三個特殊角跟它們的親戚，而 sin 75^∘、cos 15^∘ 這種東西不在裡面，偏偏考試很愛出。 75^∘ 與 15^∘ 有一個共同點：它們都能拆成兩個表上有的角相加或相減，75^∘=45^∘+30^∘、15^∘=45^∘-30^∘。看到這個，第一個念頭…
2026-10-12把計算機切到弧度模式，輸入 sin 0.1，螢幕會吐出一串數字：0.099833…。這個動作你按過幾百次，快得像是理所當然，但整件事其實有點離奇：計算機的電路不認識「對邊除以斜邊」，它手上只有加減乘除和比較大小。真正跑進處理器裡的，是把 sin 換成一串加減乘除。 這裡先用泰勒展開理解多項式近似。真實的計算機或函式庫可能採取不同演算法，也可能先把角度縮到較小的範圍，再用控制過誤差的多項式計算；不能…
2026-10-12把某個港口的潮位對時間畫成圖，是一條上下起伏的曲線。把彈簧下端掛的重物，它的高度對時間畫成圖，也是一條上下起伏的曲線。摩天輪上某個座位的離地高度，同樣是。 三件看起來毫無關係的事，用的是同一個數學模型： 這不是巧合。它們的成因一樣：某個東西繞著一個中心來回，而「繞圈的投影」就是正弦。 四個參數各自負責什麼 這個模型裡有四個可以調的數字，每一個都對應一個你看得出來的現象： B 是中線。圖形上下振動時…
2026-10-12課本講到三角函數的圖形，標準流程是這樣：先丟給你 y=Asin(ω x+φ)+B，然後列出「振幅 =|A|、週期 =(2π)/(|ω|)、左右平移看 φ」，接著例題就開始了。老實說，段考想過，背這三行真的夠😅。 但每次上到這裡，我心裡都會冒出幾個問號：那個 (2π)/(ω) 為什麼不是乾脆的 2π？先伸縮還是先平移，為什麼老師講的順序跟我自己算的剛好相反？φ 前面那個負號，到底要往左還是往右？還…
2026-10-12但你心裡是不是有個聲音：那 sin^2 x 呢？課綱根本沒寫平方啊，為什麼考試可以考？如果換成四次方、六次方，甚至 tan 的次方，我該怎麼判斷？🙃 今天我們就來聊「次方版」的週期。看完你會發現，這根本不是新東西，只是二倍角公式換了一件衣服。 先說一個真實場景。 上週有位同學傳訊息來，問題很短但很銳利： 「三角函數平方的週期，課綱裡面沒有啊，他為什麼可以考平方呢？平方週期怎麼判斷？如果他是其他的…
2026-10-12這個式子第一次看到會覺得怪。左邊是 3θ 的正弦，右邊卻冒出了 sin^3θ，同一個角的平方、三次方，怎麼會跑進來？ 而且它不是對稱的：sin 的版本是 3 配 -4，cos 的版本是 4 配 -3，兩個數字剛好顛倒。 會出現三次方其實有很直接的原因：三倍角是「三個 θ 疊在一起」，每展開一層就多帶一個因子；等到最後用平方關係把 cos 全部換成 sin，剩下的東西自然就是三次的。 推導：只是多做…
2026-10-12但如果你在考卷上把這條線寫成「用 y 預測 x 的最適直線」，那一格是零分，因為那條線不是移項來的，它是拿同一批點重新配出來的另一條線。 移項只是換寫法，配線是重新配一條 y=2x+1 移項確實會得到 x=(1)/(2)y-(1)/(2)，這是國中一元一次方程式，沒錯。但注意：你只是把同一條線換個寫法，線本身一根頭髮都沒動。 「用 y 預測 x 的最適直線」是另一件事。它是把資料點的 x 當成被預…
2026-09-25